El vigésimo primer problema de Hilbert

El vigésimo primer problema de Hilbert ( el problema de Riemann-Hilbert ) es uno de los 23 problemas que David Hilbert propuso el 8 de agosto de 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos , que consistía en confirmar o refutar la hipótesis de la existencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales para un sistema dado arbitrario de puntos singulares y una matriz monodrómica .

Resuelto construyendo un contraejemplo en 1989 por Andrei Bolibrukh [1] . Al mismo tiempo, durante mucho tiempo se consideró resuelto en 1908 por Josip Plemel , sin embargo, en su solución positiva en la década de 1970, Yuli Ilyashenko descubrió un error: la construcción de Plemel hizo posible construir el sistema requerido solo si al menos una de las matrices de monodromía era diagonalizable) [ 2] .

Redacción original:

21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales con un grupo monodrómico dado. <...> Siempre existe una ecuación diferencial lineal de Fuchsian con puntos singulares dados y un grupo monodrómico dado. <…> [3]

Texto original  (alemán)[ mostrarocultar] 21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe. Problem hinweisen, welches wohl bereits Riemann im Sinne gehabt hat, und welches darin besteht, zu zeigen, daß es stets einetellechung der Fuchsen Schen einer gegebenen Monodromiegruppe giebt. Die Aufgabe verlangt also die Auffindung von n Functionen der Variabeln z, die sich überall in der complexen z-Ebene regulär verhalten, außer etwa in den gegebenen singulären Stellen: in diesen dürfen sie nur von endlich hoher Ordnung unendlich werden und der Beim Ubelz um dieselben erfahren sie die gegebenen linearen Substitutionen. Die Existenz solcher Differentialgleichungen ist durch Constantenzählung wahrscheinlich gemacht worden, doch gelang der strenge Beweis bisher nur in dem besonderen Falle, wo die Wurzeln der Fundamentalgleichungen der gegebenen Substitutionen sämtlich vom absoluten Betrage 1 sind. Diesen Beweis hat L. Schlesinger {Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 2, Teil 2 No. 366} auf Grund der Poincaréschen Theorie der Fuchsschen zeta-Functionen erbracht. Es würde offenbar die Theorie der linearen Diferentialgleichungen ein wesentlich abgeschlosseneres Bild zeigen, wenn die allgemeine Erledigung des bezeichneten Problems gelänge. [4] .


Notas

  1. ↑ A. A. Bolibrukh, "El problema de Riemann-Hilbert en la línea proyectiva compleja" , Mat. notas, 46:3 (1989), 118-120
  2. ↑ Yu. S. Ilyashenko, "Problema no lineal de Riemann-Hilbert ", Ecuaciones diferenciales con tiempo real y complejo, Colección de artículos, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, pág. 10-34.
  3. ↑ Traducción del informe de Hilbert del alemán - M. G. Shestopal y A. V. Dorofeev , publicado en el libro Hilbert's Problems / ed. P. S. Alexandrova . - M. : Nauka, 1969. - S. 39. - 240 p. — 10.700 copias. Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 30 de diciembre de 2009. Archivado desde el original el 17 de octubre de 2011. 
  4. ↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (alemán) . — Texto del informe leído por Hilbert el 8 de agosto de 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos de París. Consultado el 27 de agosto de 2009. Archivado desde el original el 8 de abril de 2012.

Literatura

 problemas de hilbert