Variación de función

En análisis matemático , una variación de una función es una característica numérica de una función de una variable real, asociada con sus propiedades diferenciales. Para una función de un segmento sobre la recta real, in es una generalización del concepto de longitud de la curva, dado en esta función. $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{n}$

Definición

deja _ Entonces la variación (también variación total o cambio total ) de una función sobre un segmento es el siguiente valor: $f:[a,\;b]\to \mathbb{R} ^{n}$ $F$ $[a,\;b]$

V_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{{k=0}}^{m }\|f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\|,

es decir, el límite superior mínimo sobre todas las particiones del segmento de longitudes de líneas discontinuas en , cuyos extremos corresponden a los valores en los puntos de partición. $PAGS$ $[a,\;b]$ $\mathbb{R} ^{n}$ $F$

Definiciones relacionadas

Las funciones cuya variación está limitada en un segmento se denominan funciones de variación limitada , y la clase de tales funciones se denota o simplemente . $V[a,\;b]$ $V$
- En este caso, se define una función llamada función de variación total para . $v(x)=V_{a}^{x}f$ $F$
La variación positiva de una función de valor real en un segmento se llama la siguiente cantidad: $F$ $[a,\;b]$ $P_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits_{{P}}\sum \limits_{{k=0}}^ {m}\max\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\}.$
La variación negativa de una función se define de manera similar : $N_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}-\inf \limits_{{P}}\sum \limits_{{k=0}} ^{m}\min\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{{k}})\}.$
Así, la variación total de una función se puede representar como una suma $V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.$

Propiedades de las funciones de variación limitada

La suma y el producto de funciones de variación acotada también tendrán variación acotada. El cociente de dos funciones de tendrá variación limitada (es decir, pertenecerá a la clase ) si el valor absoluto del denominador es mayor que una constante positiva en el intervalo . $V$ $V$ $[a,\;b]$
Si , a , entonces . $a<x\leqslant y<b$ $f\en V[a,\;b]$ $V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f$
Si la función es continua en un punto de la derecha y pertenece a , entonces . $F$ $a$ $V[a,\;b]$ $\lim \limits _{{{x\to a{+}}}v(x)=0$
Una función dada en un intervalo es una función de variación acotada si y solo si puede representarse como una suma de funciones crecientes y decrecientes ( expansión de Jordan ). $f(x)$ $[a,\;b]$ $[a,\;b]$
Cualquier función de variación acotada está acotada y no puede tener más que un conjunto numerable de puntos de discontinuidad , y todos ellos son del primer tipo.
Una función de variación acotada se puede representar como la suma de una función absolutamente continua , una función singular y una función de salto ( expansión de Lebesgue ).

Todas estas propiedades fueron establecidas por Jordan [1] [2] .

Cálculo de variación

Variación de una función continuamente diferenciable

Si una función pertenece a la clase , es decir, tiene derivada continua de primer orden sobre el segmento , entonces es una función de variación acotada sobre este segmento, y la variación se calcula mediante la fórmula: $f:[a,\;b]\to \mathbb{R} ^{n}$ $c ^ 1$ $[a,\;b]$ $F$

\int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,

es decir, igual a la integral de la norma de la derivada.

Historia

Las funciones de variación acotada fueron estudiadas por C. Jordan [1] .

Inicialmente, K. Jordan introdujo la clase de funciones con variación acotada en relación con una generalización del criterio de Dirichlet para la convergencia de series de Fourier de funciones monótonas por partes. Jordan demostró que la serie de Fourier de funciones periódicas de la clase converge en todos los puntos del eje real. Sin embargo, en el futuro, las funciones de variación acotada encontraron una amplia aplicación en varias áreas de las matemáticas, especialmente en la teoría de la integral de Stieltjes . $2\pi$ $V[0,\;2\pi ]$

Variaciones y generalizaciones

La longitud de una curva se define como una generalización natural de la variación al caso de aplicaciones a un espacio métrico.

En el caso de múltiples variables, hay varias definiciones diferentes de variación de función:
- Variación Frechet ,
- variación plana de Tonelli .

Φ-variación de la función

También se considera la clase , la cual se define de la siguiente manera: $V_{\Fi}[a,\;b]$

V_{{\Phi \,a}}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits_{{a\leqslant x\leqslant b}}\ suma \limits _{{k=1}}^{n}\Phi (|f(x_{k})-f(x_{{k-1}})|),

donde ( ) es una función continua que es positiva como monótonamente creciente; $\fi (x)$ $x\geqslant 0,\;\Phi (0)=0$ $x>0$

$a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=b$ es una partición arbitraria del segmento . $[a,\;b]$

La cantidad se llama variación de la función en el segmento . $V_{{\Phi \,a}}^{b}f$ $\Fi$ $f(x)$ $[a,\;b]$

Si , entonces la función tiene variación acotada en el intervalo . La clase de todas estas funciones se denota por o simplemente como [3] . La definición de la clase fue propuesta por L. Young[4] ( L. C. Young ). $V_{{\Phi \,a}}^{b}f<\infty$ $f(x)$ $\Fi$ $[a,\;b]$ $V_{\Fi}[a,\;b]$ $V_ {\Phi}$ $V_{\Fi}[a,\;b]$

Las clases Jordan son un caso especial de las clases Yang, y . Si para , entonces se obtienen las clases de N. Wiener [5] ( N. Wiener ). $\phi(x)=x$ $\Phi(x)=x^{p}$ $1<p<\infty$ $V_{p}$

Propiedades

Si consideramos dos funciones y tales que $\Phi_{1}(x)$ $\Phi_{2}(x)$

\varlimsup_{{x\to 0^{+))}{\frac {\Phi_{1}(x)}{\Phi_{2}(x)))<\infty,

entonces para sus variaciones se cumple la siguiente relación: $\Fi$

V_{{\Phi_{2}}}[a,\;b]\subconjunto V_{{\Phi_{1}}}[a,\;b].

En particular,

V_{{x^{p))}\subconjunto V_{{x^{q))}\subconjunto V_{{\exp(-x^{{-\alpha )))))\subconjunto V_{{\exp (-x^{{-\beta}})}}

en . $1\leqslant p<q<\infty,\;0<\alpha <\beta <\infty$

Véase también

Literatura

Lebesgue, A. Integración y búsqueda de funciones primitivas / Per. del francés - M. - L. : ONTI, 1934. - 324 p.
Natanson, I. P. Teoría de funciones de una variable real. - M. : Nauka, 1974. - 484 p.
Bari, N. K. Serie trigonométrica. - M. : Editorial estatal de literatura física y matemática, 1961. - 936 p.

Notas

↑ 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1881. - t. 92. - Nº 5. - pág. 228-230.
↑ Natanson, I.P. Teoría de funciones de una variable real. - M. : Nauka, 1974. - S. 234-238. — 484 pág.
↑ Bari, N.K. Serie trigonométrica. - M. : Editorial estatal de literatura física y matemática, 1961. - S. 287. - 936 p.
↑ Young L. C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1937. - t. 204. - Nº 7. - pág. 470-472.
↑ Wiener N. Revista de Matemáticas y Física de Massachusetts. - 1924. - v. 3. - pág. 72-94.