Signo de dirichlet

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 13 de noviembre de 2018; las comprobaciones requieren 4 ediciones .

La prueba de Dirichlet es un teorema que indica condiciones suficientes para la convergencia de integrales impropias y la sumabilidad de series infinitas . Nombrado en honor al matemático alemán Lejeune Dirichlet .

La prueba de Dirichlet para la convergencia de integrales impropias

Considere funciones y definidas en el intervalo , y que tienen una singularidad (de primera o segunda clase) en el punto. Que se cumplan las siguientes condiciones: $F$ $gramo$ $[a; b)$ $a\in {\matemáticas {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $b$

una integral con límite variable superior está definida para todos y limitada a ; ${\ estilo de visualización \ int \ límites _ {a}^ {x} f (t) \, dt}$ $x\in[a; b)$ $[a; b)$
la función es monótona en y . $g(x)$ $[a; b)$ $\lim _{x\to b-}g(x)=0$

Luego converge. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Prueba

Considere la integral para algunos (sin pérdida de generalidad, supondremos ). Dado que es monótono en , es integrable en él y, por lo tanto, integrable en como un producto de funciones integrables. $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt$ ${\ estilo de visualización x_ {1}, x_ {2} \ en [a; b)}$ ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2))$ $g(t)$ ${\ estilo de visualización [x_{1};x_{2}]}$ ${\ estilo de visualización f (t) g (t)}$ ${\ estilo de visualización [x_{1};x_{2}]}$

$pie)$ — integrable, — monótono. Las condiciones del segundo teorema del valor medio se cumplen y existe un punto tal que $g(t)$ ${\ estilo de visualización \ xi \ en [x_ {1}; x_ {2}]}$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt=g(x_{1})\int \limits _{x_{1} }^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt

La función está limitada a , lo que significa que existe tal que , . Después: $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt$ ${\ estilo de visualización [a; b)}$ ${\ estilo de visualización M \ geq 0}$ $\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|\leq M$ $\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq M$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|=\left|g(x_{1})\ int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t) \,dt\right|\leq |g(x_{1})|\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|+|g( x_{2})|\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq |g(x_{1})|M+|g( x_{2})|M=M(|g(x_{1})|+|g(x_{2})|)

$g(x)$ motónicamente tiende a cero, por lo tanto, está limitado por un lado , y por el otro . Entonces y ${\ estilo de visualización g (a)}$ ${\ estilo de visualización 0}$ $|g(x_{2})|\leq |g(x_{1})|$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1})|

${\ estilo de visualización g (x) \ a 0}$ , que por definición significa

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\colon |g(x)|<\varepsilon

Entonces ( toma menor o igual que ) $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta;b)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\leq 2M|g(x_{1})|<2M\varepsilon

que no es más que el criterio de Cauchy para la convergencia de una integral impropia.

El signo también se puede formular para el caso en que la singularidad está en el punto . Sea , y se defina en . En este caso, las condiciones se modifican de la siguiente manera: $a$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \))$ $b\en \mathbb {R}$ $F$ ${\ estilo de visualización (a; b]}$

la integral con límite variable inferior está definida para todos y limitada a ; ${\ estilo de visualización \ int \ límites _ {x}^ {b} f (t) \, dt}$ $x \en (a; b]$ $(a;b]$
$g(x)$ es monótona en y . $(a;b]$ $\lim _{x\to a+}g(x)=0$

Luego converge. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Tampoco es necesario que . Si , entonces la convergencia es equivalente a la convergencia de . $a<b$ $a>b$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\, dx$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ $\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$

Si la integral satisface las condiciones del criterio de Dirichlet, entonces la siguiente estimación es verdadera para su resto:

|r_{\xi }|=\left|\int \limits _{\xi }^{b}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(\xi ) |

Aquí , es un número arbitrario del intervalo, y es el número por el cual está acotada la integral con el límite superior de la variable. Usando esta estimación, uno puede aproximar el valor de la integral impropia por la integral propia con cualquier precisión predeterminada. $\xi$ $METRO$

El criterio de Dirichlet para la convergencia de series de tipo abeliano

Definición (serie tipo Abel)

La serie , donde y la secuencia es positiva y monótona (a partir de un lugar determinado, al menos en el sentido más amplio de la palabra), se denomina serie tipo Abel . $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}b_{n}$ $|B_{n}|=\left|\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}\right|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$ $\{un}\}$

Teorema (Prueba de Dirichlet para la convergencia de series de tipo abeliano)

Que se cumplan las siguientes condiciones:

La sucesión de sumas parciales está acotada, es decir, . $B_{n}=\sum_{{k=1}}^{n}b_{k}$ $\existe M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$
$a_{n}\geqslant a_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$ .
$\lim _{{n\to \infty}}a_{n}=0$ .

Entonces la serie converge. $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}b_{n}$

La prueba de Dirichlet para la convergencia de series abelianas es análoga a la prueba de Dirichlet para la convergencia de una integral impropia del primer tipo.
Es fácil ver que el criterio de Leibniz para la convergencia de series alternas es un caso especial de este teorema, a saber:

\sum _{{n=1}}^{\infty}(-1)^{{n+1}}c_{n},\quad c_{n}>0,\;c_{{n+1} }\leqslant c_{n}\quad \forall n\in \mathbb{N} ,\quad \lim _{{n\to \infty }}c_{n}=0;

b_{n}=(-1)^{n+1}\Rightarrow |B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+ 1 }\right|\leqslant 1\quad \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow

convergencia de la serie de Leibniz basada en la prueba de Dirichlet.

Estimación del resto de una serie de tipo abeliano
Considere la serie y deje que se cumplan las condiciones del criterio de Dirichlet. Entonces se realiza la siguiente estimación: . $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}b_{n}$ $|r_{n}|=\left|\sum_{{k=n+1}}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant 2Ma_{{n+1}}\quad \forall n\en \mathbb{N}$
La demostración del criterio de Dirichlet se deriva de la transformación de Abel .

El criterio de Dirichlet para la convergencia uniforme de una integral impropia con el parámetro

Deje que la función y se defina en el conjunto , y se supone que la integral para algunos puntos tiene una singularidad en el punto . Que se cumplan las siguientes condiciones: $F$ $gramo$ ${\ estilo de visualización [a; b) \ veces Y}$ $a\in {\matemáticas {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ ${\ estilo de visualización \ int \ límites _ {a}^ {b} f (x, y) \, dx}$ $y\en y$ $b$

la integral con un límite variable superior está definida para todos y uniformemente acotada en ; ${\ estilo de visualización \ int \ límites _ {a}^ {x} f (t, y) \, dt}$ $x\in[a; b)$ $y\en y$ ${\ estilo de visualización [a; b) \ veces Y}$
la función es monótona en sobre para cada concreto y para . ${\ estilo de visualización g (x, y)}$ $X$ $[a; b)$ $y\en y$ $g(x,y)\rightrightarrows 0$ ${\ estilo de visualización x \ a b-}$

Luego converge uniformemente. $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)g(x,y)\,dx$

Prueba

La demostración es casi idéntica al caso de una integral sin parámetro. Arreglamos y consideramos más las funciones y como funciones de una variable . Para ellos, hacemos todo igual que en la prueba de integrales sin parámetro, excepto que tomamos lo mismo para todos (esto se puede hacer por acotación completa). Ven a $y\en y$ $f(x,y)$ ${\ estilo de visualización g (x, y)}$ $X$ $METRO$ $y\en y$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{ 1},y)|

${\ estilo de visualización g (x, y)}$ tiende uniformemente a cero. Escribimos la definición de convergencia uniforme:

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\forall y\in Y\colon |g(x,y)|< \varepsilon

Después $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2},\forall y\in Y$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\leq 2M|g(x_{1},y)| <2M\varepsilon

Llegamos al criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de una integral impropia con un parámetro.

Véase también

signo de abel

Literatura

A. K. Boyarchuk "Funciones de una variable compleja: teoría y práctica" Libro de referencia sobre matemáticas superiores. T.4 M.: Editorial URSS, 2001. - 352p.

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich