Función de distribución de muestra

La función de distribución muestral (empírica) en estadística matemática es una aproximación de la función de distribución teórica , construida a partir de una muestra de la misma.

Definición

Sea una muestra de tamaño generada por una variable aleatoria dada por la función de distribución . Supondremos que , donde , son variables aleatorias independientes definidas sobre algún espacio de resultados elementales . deja _ Definamos la función de la siguiente manera: $X_{1},\ldots,X_{n}$ $norte$ $X$ $F(x)$ $X_{yo}$ $i\in \left\{1,n\right\},n\in \mathbb {N}$ $\Omega$ $x \en \mathbb{R}$ ${\ sombrero {F}} (x)$

{\hat {F}}(x)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i }\leq x\}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\theta (x-X_{i})

donde está el indicador de evento , es la función de Heaviside . Así, el valor de la función en un punto es igual a la frecuencia relativa de los elementos muestrales que no superan el valor de . La función se denomina función de distribución muestral de la variable aleatoria o función de muestreo empírico y es una aproximación de la función . Existe el teorema de Kolmogorov , que establece que para , la función converge uniformemente a , e indica la tasa de convergencia. Para cada positivo , hay una variable aleatoria con valor . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\el impuesto)$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {F}}}$ $X$ $X$ ${\ sombrero {F}} (x)$ $X$ $F(x)$ $n\to\infty$ ${\ sombrero {F}} (x)$ $F(x)$ $X$ ${\ sombrero {F}} (x)$ ${\frac {k}{n}},k\en \izquierda\{0,n\derecha\}$

Propiedades básicas

Sea fijo el resultado elemental . Entonces es la función de distribución de la distribución discreta dada por la siguiente función de probabilidad : $\omega \en \Omega$ ${\sombrero {F}}(x,\omega )$

p_{i}=p(x_{i})={\frac {N_{x_{i))}{n)),\;i=1,\ldots,n

donde , y es el número de elementos de la muestra igual a . En particular, si todos los elementos de la muestra son distintos, entonces . ${\ estilo de visualización x_ {i} = X_ {i} (\ omega)}$ $N_{x}=\sum \limits _{j=1}^{n}\mathbf {1} _{\{x=x_{j}\))$ $X$ $N_{x_{i}}=1,\;\para todas las i$

La expectativa matemática de esta distribución es:

\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {N_{ x_{i}}}{n}}={\overline {X}}(\omega )

Por tanto, la media muestral es la media teórica de la distribución muestral. De manera similar, la varianza de la muestra es la varianza teórica de la distribución de la muestra.

La variable aleatoria tiene una distribución binomial : $n{\sombrero {F}}(x)$

n{\hat {F}}(x)\sim \mathrm {Bin} (n,F(x))

La función de distribución muestral es una estimación no sesgada de la función de distribución : ${\ sombrero {F}} (x)$ $F(x)$

\mathbb {E} \left[{\hat {F}}(x)\right]=F(x)

La varianza de la función de distribución muestral tiene la forma:

\mathrm {D} \left[{\hat {F}}(x)\right]={\frac {F(x)(1-F(x))}{n}}

De acuerdo con la ley fuerte de los grandes números , la función de distribución muestral converge casi con seguridad a la función de distribución teórica:

{\sombrero {F}}(x)\a F(x)

casi seguro en .

n\to\infty

La función de distribución muestral es una estimación asintóticamente normal de la función de distribución teórica. si , entonces $0<F(x)<1,\;\forall x\in \mathbb {R}$

{\sqrt {n}}\left({\hat {F}}(x)-F(x)\right)\to \mathrm {N} \left(0,F(x)(1- F(x))\derecha)

por distribución en .

n\to\infty

Función de distribución de muestra

Definición

Propiedades básicas

Véase también