Función convexa

Una función convexa ( función convexa hacia arriba ) es una función para la cual el segmento entre dos puntos cualquiera de su gráfico en el espacio vectorial no se encuentra más alto que el arco correspondiente del gráfico. Equivalentemente: convexo es una función cuyo subgrafo es un conjunto convexo .

Una función cóncava ( función convexa hacia abajo ) es una función cuya cuerda entre dos puntos cualquiera del gráfico no se encuentra más abajo que el arco formado del gráfico o, de manera equivalente, cuyo epígrafe es un conjunto convexo.

Los conceptos de funciones convexas y cóncavas son duales , además, algunos autores definen una función convexa como cóncava, y viceversa [1] . A veces, para evitar malentendidos, se utilizan términos más explícitos: función convexa hacia abajo y función convexa hacia arriba.

El concepto es importante para el análisis matemático clásico y el análisis funcional , donde se estudian especialmente los funcionales convexos , así como para aplicaciones como la teoría de la optimización , donde se distingue una subsección especializada: el análisis convexo .

Definiciones

Una función numérica definida en un cierto intervalo (generalmente, en un subconjunto convexo de algún espacio vectorial ) es convexa si para dos valores cualesquiera del argumento , y para cualquier número , se cumple la desigualdad de Jensen : $X$ $y$ $t\in\left[0,1\right]$

f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y \Correcto)

Notas

Si esta desigualdad es estricta para todo y , entonces se dice que la función es estrictamente convexa . $t\in\left(0,1\right)$ $x\ney$
Si se cumple la desigualdad inversa, se dice que la función es cóncava (respectivamente, estrictamente cóncava en el caso estricto).
Si para algunos la desigualdad más fuerte se mantiene $\varepsilon >0$ $f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y \right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|xy\right|^{2}$

entonces se dice que la función es fuertemente convexa .

Propiedades

Una función que es convexa en un intervalo es continua en todo , diferenciable en todo excepto en un conjunto contable de puntos como máximo, y dos veces diferenciable en casi todas partes . $F$ ${\ matemáticas {yo}}$ ${\ matemáticas {yo}}$ ${\ matemáticas {yo}}$
Cualquier función convexa es subdiferenciable (tiene un subdiferencial ) en todo el dominio de definición.
Una función convexa tiene un hiperplano de apoyo de su epígrafe que pasa por cualquier punto .
Una función continua es convexa si y sólo si la desigualdad $F$ ${\ matemáticas {yo}}$ $x,y\in {\mathbb{I}}$ $f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}}$
Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si su gráfico no se encuentra debajo de la tangente ( hiperplano de referencia ) dibujada a este gráfico en cualquier punto del intervalo de convexidad.
Una función convexa de una variable en un intervalo tiene derivadas por la izquierda y por la derecha; la derivada por la izquierda en un punto es menor o igual que la derivada por la derecha; la derivada de una función convexa es una función no decreciente.
Una función dos veces diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si su segunda derivada es no negativa en este intervalo. Si la segunda derivada de una función diferenciable dos veces es estrictamente positiva, entonces dicha función es estrictamente convexa, pero lo contrario no es cierto (por ejemplo, la función es estrictamente convexa en , pero su segunda derivada en un punto es igual a cero) . ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{4))$ ${\ estilo de visualización \ izquierda [-1,1 \ derecha]}$ $x=0$
Si las funciones , son convexas, entonces cualquiera de sus combinaciones lineales con coeficientes positivos , también es convexa. $F$ $gramo$ $af+bg$ $a$ $b$
El mínimo local de una función convexa es también el mínimo global (respectivamente, para funciones convexas hacia arriba, el máximo local es el máximo global).
Cualquier punto estacionario de una función convexa será un extremo global.

Notas

↑ Klyushin V. L. Matemáticas superiores para economistas / ed. I. V. Martinova. - Edición educativa. - M. : Infra-M, 2006. - S. 229. - 448 p. — ISBN 5-16-002752-1 .

Literatura

Convexidad y concavidad / Telyakovsky S. A. // Gran Enciclopedia Rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.
Convexidad y concavidad // Kazajstán. Enciclopedia Nacional . - Almaty: Enciclopedias kazajas , 2004. - T. I. - ISBN 9965-9389-9-7 . (Ruso) (CC POR SA 3.0)