Hiperoperador

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Hiperoperador - una generalización de las operaciones aritméticas tradicionales - suma , multiplicación y exponenciación , consideradas como hiperoperadores de 1°, 2° y 3° orden, respectivamente - a órdenes superiores ( tetración , pentación , etc.).

En virtud de la no conmutatividad (en el caso general), el hiperoperador tiene dos funciones inversas: la hiperraíz y el hiperlogaritmo. La hiperraíz y el hiperlogaritmo de la suma y la multiplicación coinciden, formando la resta y la división , respectivamente, pero ya para la exponenciación, las funciones inversas se vuelven diferentes ( raíz y logaritmo ). Las operaciones inversas se generalizan a un hiperoperador de cualquier orden.

Historia

Históricamente, el primer hiperoperador es la función de Ackermann (1928), construida como un ejemplo de una función computable recursiva no primitivamente definida en todas partes de tres argumentos , de modo que define las operaciones de suma, multiplicación y exponenciación, respectivamente: ${\ estilo de visualización \ varphi (a, b, n)}$ ${\ estilo de visualización n = 0,1,2}$

{\ estilo de visualización \ varphi (a, b, 0) = a + b}

{\ estilo de visualización \ varphi (a, b, 1) = a \ cdot b}

{\ estilo de visualización \ varphi (a, b, 2) = a ^ {b))

;

en notación de flecha de Knuth [1] :

{\ estilo de visualización \ varphi (a, b, n) = a \ flecha arriba ^ {n-1} (b + 1)}

Posteriormente, Goodstein desarrolló secuencias de funciones que implementan con mayor precisión el concepto de hiperoperadores.

Definición

Un hiperoperador de orden con argumentos y (en lo sucesivo, ) se define recursivamente como el resultado de aplicar repetidamente el hiperoperador de orden a una secuencia de argumentos idénticos (comenzando con la multiplicación, cada uno igual a ): $norte$ $a$ $b$ ${\ estilo de visualización a ^ {(n)} b}$ $n-1$ $b$ $a$

suma y - aumentar el número por el número de unidades, igual a : $a$ $b$ $a$ $b$ $a{^{{(1)}}}b=a+\soporte {1+1+\puntos +1}_{{b}}=a+b$
multiplicación por - sumando un número a sí mismo veces: $a$ $b$ $a$ $b$ $a{^{{(2)}}}b=\soporte {a+a+\puntos +a}_{{b}}=a\veces b$
elevar a a la potencia de b es multiplicar un número por sí mismo por : $a$ $b$ $a{^{{(3)}}}b=\soporte {a\times a\times \dots \times a}_{{b}}=a^{b}$
$...$
$a{^{{(n)}}}b=\soporte {a^{{((n-1)}}a^{{(n-1)}}\puntos a^{{(n-1) } }a}_{{b}}$

En la última expresión, las operaciones se realizan de derecha a izquierda, lo cual es significativo ya que los hiperoperadores de orden no son ni conmutativos ni asociativos . Los hiperoperadores de cuarto, quinto y sexto orden se denominan tetración , pentación y hexación , respectivamente. $n>2$

En el caso más simple, los valores de las variables , y se limitan a números naturales . Las posibles generalizaciones de hiperoperadores a números reales o complejos arbitrarios aún están poco estudiadas. $a$ $b$ $norte$ ${\ Displaystyle n \ geqslant 4}$

Diferentes matemáticos denotan hiperoperadores de diferentes maneras; Whip usa flechas $\flecha arriba$ , Conway usa flechas $\a$ :

a{^{{(n)}}}b={\textrm {hiper}}(a,n,b)=a\uparrow ^{{n-2}}b=a\to b\to (n- 2)

Operaciones alternativas

Se puede obtener una operación alternativa calculando de izquierda a derecha, y debido a la conmutatividad y asociatividad de las operaciones de suma y multiplicación, esta operación coincide con el hiperoperador en : ${\ estilo de visualización n<4}$

${\ estilo de visualización a+b=(a+(b-1))+1}$ ,
$a\veces b=(a\veces (b-1))+a$ ,
$a^{b}=(a^{{(b-1)}})\veces a$ .

Para un hiperoperador , el cálculo de izquierda a derecha (es decir, la operación alternativa) difiere del hiperoperador y conduce a un resultado diferente, por ejemplo, obtenemos el hiperoperador de tetración : . ${\ Displaystyle n \ geqslant 4}$ ${\ estilo de visualización n = 4, a = 3, b = 3}$ $3\flecha arriba ^{2}3={}^{3}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7{\text{ }}625{\text{ }} 597{\texto{ }}484{\texto{ }}987$

Pero calcular la torre de energía de izquierda a derecha conducirá a un resultado incorrecto: . $3^{3^{3}}\neq \left(3^{3}\right)^{3}=3^{3^{2}}=3^{9}=19{\texto { }}683$

Notas

↑ Cristian Calude, Solomon Marcus, Ionel Tevy. El primer ejemplo de una función recursiva que no es recursiva primitiva // Historia Mathematica. — 1979-11. - T. 6 , núm. 4 . — S. 380–384 . — ISSN 0315-0860 . - doi : 10.1016/0315-0860(79)90024-7 .

Literatura

Evnin A. Yu. Los superpoderes y sus diferencias // Educación matemática. - 2001. - Nº 1 (16) . - S. 68-73 .
Shustov VV Acción numérica general y algunas de sus propiedades. - 2008. - 64 págs. - ISBN 978-5-382-00546-1 .

Grandes números
Números	gogol Número de Shannon googolplex número de sesgos número de Moser número de graham ÁRBOL(3) Número de Rayo
Funciones	Función de Ackermann Función Veblen Funciones psi de Buchholz tetración pentación hiperoperador Jerarquía de rápido crecimiento Jerarquía de crecimiento lento Jerarquía resistente
Notaciones	Notación de Steinhaus-Moser Notación de flecha Knuth Notación de flecha de Conway Notación masiva de Bowers