Teoría de zonas

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La teoría de zonas de un cuerpo sólido es una teoría mecánica cuántica del movimiento de los electrones en un cuerpo sólido .

Los electrones libres pueden tener cualquier energía , su espectro de energía es continuo. Sin embargo, los electrones pertenecientes a átomos aislados , de acuerdo con los conceptos de la mecánica cuántica , tienen ciertos valores discretos de energía. En un cuerpo sólido, el espectro de energía de los electrones es significativamente diferente; consiste en bandas de energía permitidas separadas por bandas de energías prohibidas.

Fundamentos físicos de la teoría de bandas

Según los postulados de Bohr , en un átomo aislado, la energía de un electrón puede tomar valores estrictamente discretos (también dicen que el electrón está en uno de los orbitales ).

En el caso de varios átomos unidos por un enlace químico (por ejemplo, en una molécula ), los orbitales electrónicos se escinden en una cantidad proporcional al número de átomos, formando los llamados orbitales moleculares . Con un mayor aumento en el sistema a un cristal macroscópico (el número de átomos es más de 10 20 ), el número de orbitales se vuelve muy grande y la diferencia de energía de los electrones ubicados en los orbitales vecinos es correspondientemente muy pequeña, los niveles de energía se dividen en conjuntos discretos prácticamente continuos - bandas de energía. La banda de energía más alta permitida en semiconductores y dieléctricos , en la que a una temperatura de 0 K todos los estados de energía están ocupados por electrones, se denomina banda de valencia , seguida de la banda de conducción . En los metales , la banda de conducción es la banda más alta permitida en la que se encuentran los electrones a una temperatura de 0 K.

La teoría de bandas se basa en las siguientes aproximaciones principales [1] :

Un sólido es un cristal perfectamente periódico .
Las posiciones de equilibrio de los nodos de la red cristalina son fijas, es decir, los núcleos de los átomos se consideran inmóviles ( aproximación adiabática ). Las pequeñas vibraciones de los átomos alrededor de las posiciones de equilibrio, que pueden describirse como fonones , se introducen posteriormente como una perturbación del espectro de energía electrónica.
El problema de muchos electrones se reduce a uno de un solo electrón : la acción de todos los demás sobre un electrón dado se describe mediante algún campo periódico autoconsistente promediado .

Una serie de fenómenos que son esencialmente multielectrónicos, como el ferromagnetismo , la superconductividad y aquellos en los que los excitones juegan un papel , no se pueden considerar de manera consistente dentro del marco de la teoría de bandas. Al mismo tiempo, con un enfoque más general de la construcción de la teoría de sólidos, resultó que muchos resultados de la teoría de bandas son más amplios que sus supuestos iniciales.

Localización de zonas en diferentes tipos de materiales

En diferentes sustancias, así como en diferentes formas de la misma sustancia, las zonas de energía están ubicadas de manera diferente. De acuerdo con la disposición mutua de estas zonas, las sustancias se dividen en tres grandes grupos (ver Fig. 1):

conductores: la banda de conducción y la banda de valencia se superponen, formando una zona, llamada zona de superposición, por lo que el electrón puede moverse libremente entre ellas, habiendo recibido cualquier pequeña energía permitida. Así, cuando se aplica una diferencia de potencial a un cuerpo , los electrones se mueven libremente desde un punto de menor potencial a un punto de mayor potencial, formando una corriente eléctrica. Los conductores incluyen todos los metales;
semiconductores : las bandas no se superponen y la distancia entre ellas (la brecha de banda) es inferior a 2,0 eV [2] . A temperatura cero absoluta, no hay electrones en la banda de conducción, y la banda de valencia está completamente llena de electrones que no pueden cambiar su estado mecánico cuántico, es decir, no pueden moverse de manera ordenada cuando se les aplica un campo eléctrico. Por lo tanto, a temperatura absoluta cero, los semiconductores intrínsecos no conducen corriente eléctrica. Con un aumento de la temperatura debido al movimiento térmico, una parte de los electrones que crece con el aumento de la temperatura es "lanzada" desde la banda de valencia a la banda de conducción y su propio semiconductor se vuelve eléctricamente conductor, y su conductividad aumenta con el aumento de la temperatura, ya que el concentración de portadores de carga: electrones en la banda de conducción y huecos en la banda de valencia. Para los semiconductores, la brecha de banda es relativamente pequeña, por lo tanto, para transferir electrones de la banda de valencia a la banda de conducción, se requiere menos energía que para un dieléctrico, razón por la cual los semiconductores puros (intrínsecos, sin dopar) tienen una conductividad notable en condiciones normales. temperatura cero;
dieléctricos : las zonas, como las de los semiconductores, no se superponen, y la distancia entre ellas es, condicionalmente, más de 2.0 eV . Por lo tanto, para transferir un electrón de la banda de valencia a la banda de conducción, se requiere una energía (temperatura) significativa, por lo que los dieléctricos prácticamente no conducen corriente a bajas temperaturas.

La división de sustancias en semiconductores y dieléctricos es muy arbitraria, porque los materiales con una banda prohibida de más de 3-4 eV y menos de 4-5 eV a veces se denominan semiconductores de brecha amplia, materiales que combinan las propiedades de ambos dieléctricos. y semiconductores. Los semiconductores de brecha ancha incluyen diamante (5-6 eV), GaN (3,4 eV), ZnS (3,56 eV), ZnO (3,4 eV). Al mismo tiempo, TiO 2 (3,0 eV), Ta 2 O 5 (4,4 eV), Al 2 O 3 (~ 7 eV), SiO 2 (~ 9 eV), HfO 2 (~ 5,4 eV) y muchos otros. etc. A temperaturas suficientemente altas, todos los dieléctricos adquieren un mecanismo semiconductor de conductividad eléctrica. La adscripción de una sustancia a una u otra clase depende más del método de uso o del tema de estudio de la sustancia por parte de uno u otro autor. A veces, en la clase de semiconductores, se distingue una subclase de semiconductores de brecha estrecha, con una brecha de banda de menos de 1 eV.

La teoría de zonas es la base de la teoría moderna de sólidos. Permitió comprender la naturaleza y explicar las propiedades más importantes de los conductores, semiconductores y dieléctricos. La banda prohibida entre la banda de valencia y la banda de conducción es una cantidad clave en la teoría de bandas, determina las propiedades ópticas y eléctricas del material.

Dado que uno de los principales mecanismos para transferir energía a un electrón es térmico, la conductividad de los semiconductores depende mucho de la temperatura . Además, la conductividad se puede aumentar creando un nivel de energía permitido en la banda prohibida mediante el dopaje . Todos los dispositivos semiconductores se crean con la ayuda del dopaje: células solares (convertidores de luz a electricidad), diodos , transistores , láseres semiconductores y otros.

La transición de un electrón de la banda de valencia a la banda de conducción se denomina proceso de generación de portadores de carga (electrón negativo y hueco positivo ), la transición inversa es el proceso de recombinación .

La estructura de zonas y métodos de su cálculo

Asignar la energía a la banda permitida supone que en un estado con algún vector de onda , el electrón tiene tal energía. Para el vacío, la relación tiene una forma simple (aquí está la masa de un electrón libre, es la constante de Planck reducida ). Las dependencias de un cuerpo rígido son mucho más complicadas y se caracterizan por la anisotropía, por lo que solo se pueden especificar en su totalidad mediante una matriz de números. Además, no suele haber una, sino una serie de dependencias . Se pueden trazar gráficos para las direcciones cristalográficas más importantes (ver ejemplo en la figura de la derecha). $mi$ $\vec{k}$ ${\ Displaystyle E ({\ vec {k)})}$ $E({\vec {k)))={\mbox{const}}+\hbar^{2}k^{2}/2m_{e}$ $yo$ $\hbar$ ${\ Displaystyle E ({\ vec {k)})}$ ${\ Displaystyle E ({\ vec {k)})}$ $E(k)$

Así, tanto la banda de conducción como la de valencia tienen una estructura compleja y combinan varias ramas a la vez. ${\ Displaystyle E ({\ vec {k)})}$

El espectro de energía de los electrones en un cristal en la aproximación de un electrón se describe mediante la ecuación de Schrödinger :

\left\{-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m_{0}}}{\triangledown }^{2}+U({\mathbf r})\right\}\psi ({ \mathbf r})=E\psi ({\mathbf r})

donde es el potencial periódico del cristal. $U({\mathbf r})$

Encontrar las funciones propias y los valores de la ecuación de Schrödinger consta esencialmente de dos partes. La primera parte es la definición del potencial periódico, la segunda se reduce a resolver la ecuación para un potencial dado [3] . El cálculo de la estructura de banda de semiconductores específicos es extremadamente difícil debido a una serie de razones y principalmente porque no existe una expresión analítica para . Por lo tanto, en cualquier cálculo, las fórmulas contienen algunos parámetros, cuyo valor se determina sobre la base de la comparación con datos experimentales. Por ejemplo, la brecha de banda se determina solo experimentalmente [4] . $U({\mathbf r})$

Los siguientes métodos son los más utilizados en los cálculos concretos de la estructura de la banda [5] :

Método de combinaciones lineales de órbitas atómicas ( LCAO ).
Método de ondas planas adjuntas (APW o APW - Augmented Plane Waves).
Método de la función de Green (Korringa-Kohn-Rostocker o KKR).
Método de ondas planas ortogonalizadas (OPW).
El método del pseudopotencial .
Varios esquemas de interpolación ( método - , método de pseudopotencial empírico, método de pseudopotencial combinado y LCAO). ${\mathbf k}{\sombrero {{\mathbf p))}$

Véase también

Literatura

Gurtov V. A. Electrónica de estado sólido
Tsidilkovskiy IM Electrones y huecos en semiconductores. Espectro de energía y dinámica. M.: "Nauka", 1972
Kireev P. S. Física de semiconductores. M .: "Escuela Superior" 1975

Notas

↑ Tsidilkovskiy I. M. Electrones y huecos en semiconductores. Espectro de energía y dinámica. M.: "Nauka" 1972 - S. 12
↑ Ashcroft N., Mermin N. Solid State Physics T. 2. M.: Mir, 1979 - S. 185.
↑ Tsidilkovskiy I. M. Electrones y huecos en semiconductores. Espectro de energía y dinámica. M.: "Nauka" 1972 - S. 85
↑ Kireev P. S. Física de semiconductores. M .: "Escuela Superior" 1975 - S. 143
↑ Tsidilkovskiy I. M. Electrones y huecos en semiconductores. Espectro de energía y dinámica. M.: "Nauka" 1972 - S. 91

Métodos de cálculo de la estructura electrónica.
Teoría de los enlaces de valencia	Hibridación de orbitales teoría de la resonancia Enlace de tres centros de dos electrones doble enlace enlace triple
Teoría de los orbitales moleculares	Método de combinaciones lineales de orbitales atómicos Método Hartree-Fock Método de clúster vinculado Método cuántico de Montecarlo
Teoría de zonas	metodo kp método de pseudopotencial Aproximación de electrones fuertemente unidos Aproximación de electrones casi libres Método de onda plana aumentada método de la función de Green Teoría funcional de la densidad potencial de MT