Nudo invariante

Una invariante de nudo  es cualquier característica de un nudo (en el número más simple, pero puede ser un polinomio , un grupo , etc.) que se define para cada nudo y es la misma para nudos equivalentes. Una equivalencia generalmente viene dada por una isotopía ambiental , pero también puede darse como un homeomorfismo .

El estudio de las invariantes está motivado no solo por la tarea principal de la teoría -distinguir los nudos- sino también por la necesidad de comprender las propiedades fundamentales de los nudos y su relación con otras áreas de las matemáticas.

Desde un punto de vista moderno, es natural determinar la invariante de un nudo a partir de su diagrama . Por supuesto, la invariante debe permanecer sin cambios bajo los movimientos de Reidemeister , esta propiedad es equivalente a la invariancia de la característica.

Ejemplos

• El ejemplo más simple de un invariante es la capacidad de colorear en tres colores y el número de dichos colorantes.
• Una de las invariantes más convenientes para distinguir nudos son los polinomios de nudos.
  • polinomio de Jones ;
  • Polinomio de Alejandro
• Los invariantes de tipo finito  son una clase de invariantes de nudo caracterizados por una cierta relación con todas las resoluciones de un nudo singular con un número determinado de autointersecciones.
• Se pueden determinar otras invariantes considerando algunas funciones enteras en diagramas de nudos, tomando su mínimo entre todos los diagramas posibles de un nudo dado. Este tipo incluye el número de secciones, que es el número mínimo de cruces entre todos los diagramas de nudos, así como el número mínimo de puentes . Tales invariantes son fáciles de definir pero casi imposibles de calcular.
• El teorema de Gordon-Luc establece que el complemento de un nudo (como espacio topológico ) es un "invariante completo" de un nudo, en el sentido de que distingue un nudo dado de todos los demás hasta la isotopía ambiental y la reflexión del espejo . Entre las invariantes asociadas con el complemento del nudo está el grupo de nudos , que es simplemente el grupo fundamental de su complemento. El nudo quandle también es una invariante completa en este sentido, pero los quandles son difíciles de comparar por su isomorfismo.
• La estructura hiperbólica en el complemento de un enlace hiperbólico está determinada únicamente por la rigidez de Mostow , por lo que el volumen hiperbólico es invariable para estos nudos y enlaces . El volumen y otras invariantes hiperbólicas han demostrado ser eficaces para compilar tablas de nudos extensas .
• invariantes de nudos homológicos , que categorizan (traducidos en términos de teoría de categorías ) invariantes bien conocidos. Por ejemplo
  • La homología de Hygard Flor  es una teoría de homología cuya característica de Euler es el polinomio del nudo de Alexander . Resultó útil para obtener nuevos resultados sobre invariantes clásicas.
  • Otra línea de investigación es la teoría de la cohomología definida combinatoriamente, denominada homología de Khovanov , cuya característica de Euler es el polinomio de Jones .

Literatura

• S. V. Duzhin, S. V. Chmutov. Nudos y sus invariantes  // Matem. translúcido, serie ~ 3. - 1999. - T. 3 . - S. 59-93 .