Transformaciones integrales

Uno de los medios más poderosos para resolver ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como, especialmente, en derivadas parciales , es el método de las transformaciones integrales . Fourier, Laplace, Hankel y otras transformaciones se utilizan para resolver problemas en la teoría de la elasticidad , la conductividad térmica , la electrodinámica y otras secciones de la física matemática . El uso de transformaciones integrales permite reducir una ecuación diferencial, integral o integro-diferencial a una algebraica , y también, en el caso de una ecuación diferencial parcial, reducir la dimensión de .

Las transformaciones integrales vienen dadas por la fórmula

Tf(u)=\int \limits _{{S}}K(t,u)\,f(t)\,dt

donde las funciones se denominan original e imagen , respectivamente, y son elementos de algún espacio funcional , mientras que la función se denomina núcleo de la transformación integral. ${\ estilo de visualización f, Tf}$ $L$ $k$

La mayoría de las transformaciones integrales son reversibles, es decir, a partir de una imagen conocida, se puede restaurar el original, a menudo también mediante una transformación integral:

f(t)=\int \limits_{{S'}}K^{{-1}}(u,t)\,(Tf(u))\,du.

Aunque las propiedades de las transformaciones integrales son bastante extensas, tienen mucho en común. Por ejemplo, cada transformación integral es un operador lineal .

Tabla de transformación (caso unidimensional)

Si la transformación integral y su inversión están dadas por las fórmulas

Tf(u)=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}K(t,u)\,f(t)\,dt

f(t)=\int \limits_{{u_{1}}}^{{u_{2}}}K^{{-1}}(u,t)\,(Tf(u))\, du

después:

Tabla de transformaciones integrales (caso unidimensional)

transformación	Designacion	$k$	t1 _	t2_ _	$K^{{-1}}$	tu 1	tu 2
Transformada de Fourier	${\ matemáticas {F}}$	${\frac{e^{{-iut}}}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac{e^{{+iut}}}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-\infty$	$\infty$
Transformada de Fourier del seno	${\mathcal {F}}_{s}$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$
Transformada de Fourier del coseno	${\mathcal {F}}_{c}$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$
Transformada de Hartley	${\ matemáticas {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{{\sqrt {2\pi ))))$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{{\sqrt {2\pi ))))$	$-\infty$	$\infty$
Transformada de Mellin	${\ matemáticas {M}}$	${\ estilo de visualización t^{u-1}}$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Transformada de Laplace bilateral	${\ matemáticas {B}}$	${\displaystyle e^{-ut))$	$-\infty$	$\infty$	${\frac{e^{{+ut}}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Transformada de Laplace	$\mathcal{L}$	${\displaystyle e^{-ut))$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$	${\frac{e^{{+ut}}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Transformación de Weierstrass	${\ matemáticas {W}}$	${\frac {e^{-(ut)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{{+(ut)^{2}/4))}{i{\sqrt {4\pi ))))$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Transformada de Hankel		$t\,J_{\nu}(ut)$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$	$u\,J_{\nu}(ut)$	${\ estilo de visualización 0}$	$\infty$
Transformada integral de Abel		${\frac{2t}{{\sqrt {t^{2}-u^{2))))}$	$tu$	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2))))}{\frac {d}{du))$	$t$	$\infty$
Transformada de Hilbert	${\mathcal {H}}il$	${\frac{1}{\pi}}{\frac{1}{ut}}$	$-\infty$	$\infty$	$-{\frac {1}{\pi}}{\frac {1}{ut}}$	$-\infty$	$\infty$
Núcleo venenoso		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$	${\ estilo de visualización 0}$	$2\pi$
Transformación idéntica		${\ estilo de visualización \ delta (ut)}$	$t_{1}<u$	$t_{2}>u$	${\ estilo de visualización \ delta (tu)}$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$

Lista de transformaciones integrales

Literatura

Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. Transformaciones integrales y cálculo operativo. —M.: Fizmagiz, 1961.

Véase también

Transformadas discretas

Enlaces

Tablas de transformaciones integrales en EqWorld: EL MUNDO DE LAS ECUACIONES MATEMÁTICAS.

Transformaciones integrales
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