Número piramidal cuadrado

Un número piramidal cuadrado (a menudo denominado simplemente número piramidal ) es un número figurativo espacial que representa una pirámide con una base cuadrada . Los números piramidales cuadrados también expresan el número de cuadrados con lados paralelos a los ejes de coordenadas en una red de N  ×  N puntos.

Inicio de secuencia:

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, ... ( secuencia OEIS A000330 ).

Fórmula

La fórmula general para el enésimo número piramidal cuadrado en orden es:

Este es un caso especial de la fórmula de Faulhaber , que es fácil de probar por inducción . Por primera vez, se dio una fórmula equivalente en el " Libro del Ábaco " de Fibonacci (siglo XIII).

En las matemáticas modernas, la formalización de los números rizados ocurre con la ayuda de los polinomios de Hérard . El polinomio de Herard L ( P , t ) del politopo P es un polinomio que cuenta el número de puntos enteros en una copia del politopo P , que se incrementa multiplicando todas sus coordenadas por el número t . El polinomio de Erard de una pirámide cuya base es un cuadrado de lado 1 con coordenadas enteras, y cuyo vértice está a una altura de 1 sobre la base, se calcula mediante la fórmula [1] :

( t  + 1)( t  + 2)(2 t  + 3)/6 =  PAGS t  + 1 .

Función generadora

La función generadora para números piramidales cuadrados es:

Conexión con otros números rizados

Los números piramidales cuadrados también se pueden expresar como una suma de coeficientes binomiales :

Los coeficientes binomiales que aparecen en esta expresión presentada son números tetraédricos . Esta fórmula expresa números piramidales cuadrados como la suma de dos números, al igual que cualquier número cuadrado es la suma de dos números triangulares sucesivos . En esta suma, uno de los dos números tetraédricos cuenta el número de bolas en la pirámide apilada que se encuentran arriba oa un lado de la diagonal de la base cuadrada de la pirámide; y el segundo, ubicado al otro lado de la diagonal. Los números piramidales cuadrados también están relacionados con los números tetraédricos de la siguiente manera [2] :

La suma de dos números piramidales cuadrados consecutivos es un número octaédrico .

El problema de encontrar números piramidales cuadrados que también sean números cuadrados se conoce como el problema de apilamiento de balas de cañón y fue formulado por Lucas (1875) [3] .

Notas

  1. ↑ Beck, M.; De Loera, JA; Develin, M. & Pfeifle, J. (2005), Coeficientes y raíces de polinomios de Ehrhart, Puntos enteros en poliedros: geometría, teoría de números, álgebra, optimización , vol. 374, Contemp. Math., Providence, Rhode Island: Amer. Matemáticas. Soc., pág. 15-36 
  2. ↑ Deza E., Deza M., 2016 , pág. 75.
  3. ↑ Eduardo Lucas. Pregunta 1180 // Nouv. Ana. Matemáticas. - 1875. - Emisión. 14. - S. 336.

Literatura

Enlaces