Raíz cuadrada de 5

Números irracionales ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π y π
Notación	Número estimado √ 5
Decimal	2.23606797749978969…
Binario	10.0011110001101111…
duodecimal	2.29BB1325405891918…
hexadecimal	2.3C6EF372FE94F82C...
Sexagésimo	2;14 09 50 40 59 18 …
Aproximaciones racionales	7/3 ; _ _ 9/4 ; _ _ 20/9 ; _ _ 29/13 ; _ _ 38/17 ; _ _ 123/55 ; _ _ 161/72 ; _ _ 360/161 ; _ _ 521/233 ; _ _ 682/305 ; _ _ 2207/987 ; _ _ 2889 / 1292 (enumerados en orden creciente de precisión)
fracción continua	$2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots ))))))))))$

2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 2563780489 9414414408 3787822749 6950817615 0773783504 2532677244 4707386358 6360121533 4527088667 7817319187 9165811276 6453226398 5658053576 1350417533 7850034233 9241406444 2086432539 0972525926 2722887629 9517402440 6816117759 0890949849 2371390729 7288984820 8864154268 9894099131 6935770197 4867888442 5089754132 9561831769 2149997742 4801530434 1150359576 6833251249 8815178139 4080005624 2085524354 2235556106 3063428202 3409333198 2933959746 3522712013 4174961420 2635904737 8855043896 8706113566 0045757139 9565955669 5691756457 8221952500 0605392312 3400500928 6764875529 7220567662 5366607448 5853505262 3306784946 3342224231 7637277026 6324076801 0444331582 5733505893 0981362263 4319868647 1946989970 1808189524 2644596203 4522141192 2329125981 9632581110 4170495807 0481204034 5599494350 6855551855 5725123886 4165501026 2436312571 0244496187 8942468290 3404474716 1154557232 0173767659 0460918529 57560357 79 8439805415 5380779064 3936397230 2875606299 9482213852 1773485924 5351512104 6345555040 7072278724

Los primeros 1000 caracteres del valor son √ 5 [1] .

La raíz cuadrada de 5 es un número real positivo que, cuando se multiplica por sí mismo, da 5 . Es un número irracional y algebraico [2] .

El valor redondeado de 2,236 es correcto dentro del 0,01 %. La precisión calculada por computadora es de al menos 1,000,000 de caracteres [3] .

Se puede expresar como una fracción continua [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...], secuencialmente estas son fracciones:

{\color {VerdeOliva}{\frac {2}{1))},{\frac {7}{3)),{\color {VerdeOliva}{\frac {9}{4))},{\frac {20}{9)),{\frac {29}{13)),{\color {VerdeOliva}{\frac {38}{17))},{\frac {123}{55)),{\ color {verde oliva}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {verdeoliva}{\frac {682} {305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {verde oliva}{\frac {2889}{1292}}},\puntos

Mediante un radical anidado infinito: $\sqrt{5}={\sqrt{\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...)))}}}\puntos$

método babilónico

Cálculo de la raíz de , comenzando con , donde : $5$ ${\ estilo de visualización r_ {0} = 2}$ $r_{n+1}={\frac {r_{n}+{\tfrac {5}{r_{n)))){2))$

{\frac {2}{1}}=2,0,\quad {\frac {9}{4}}=2,25,\quad {\frac {161}{72}}=2,23611\dots,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots

Proporción áurea

La proporción áurea es la media aritmética de 1 y la raíz cuadrada de 5 [4] . ( ) se puede expresar algebraicamente de la siguiente manera: $\Fi$ ${\ estilo de visualización \ varphi = 1/\ Phi}$

{\sqrt {5}}=\varfi +\Phi =2\varphi +1=2\Phi -1

\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

\Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}.

Los números de Fibonacci se pueden expresar en términos de la raíz cuadrada de 5 así:

F\left(n\right)={{\Phi ^{n}-(1-\Phi )^{n)) \over {\sqrt {5))}.

La razón de √5 a y viceversa da interesantes dependencias de fracciones continuas con números de Fibonacci y números de Lucas [5] : $\Fi$

{\frac {\sqrt {5}}{\Phi }}=\varphi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}= 1.3819660112501051518\puntos =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\puntos]

{\frac {\Phi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\varphi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt { 5}}}{10}}=0.72360679774997896964\puntos =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\puntos].

{1,{\frac {3}{2)),{\frac {4}{3)),{\frac {7}{5)),{\frac {11}{8)),{\frac {18}{13)),{\frac {29}{21)),{\frac {47}{34)),{\frac {76}{55)),{\frac {123}{89} }},\puntos\puntos [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\puntos]

{1,{\frac {2}{3)),{\frac {3}{4)),{\frac {5}{7)),{\frac {8}{11)),{\frac {13}{18)),{\frac {21}{29)),{\frac {34}{47)),{\frac {55}{76)),{\frac {89}{123} }},\puntos\puntos [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\puntos].

Álgebra

El anillo contiene números de la forma , donde ayb son números enteros y es un número imaginario . Este anillo es un ejemplo de un dominio de integridad que no es un anillo factorial . $\mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]$ $a\,+\,b{\sqrt {-5}}$ ${\sqrt {-5}}=i{\sqrt {5}}$

El número 6 se representa en este anillo de dos formas:

6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5)))(1+{\sqrt {-5))).

El campo es una extensión abeliana de los números racionales. $\mathbb {Q} \left[\,{\sqrt {5}}\,\right]$

El teorema de Kronecker-Weber establece que la raíz de 5 se puede expresar como una combinación lineal de raíces de la unidad :

{\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.

Identidades de Ramanujan

La raíz de 5 aparece en el conjunto de identidades de Ramanujan con fracciones continuas [6] [7] .

Por ejemplo, el caso de las fracciones continuas de Rogers-Ramanujan:

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{{-2\pi}}}{1+{\cfrac {e^{{-4\pi}}}{1+{\cfrac {e ^{{-6\pi }}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {{\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}} }-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi /5}}=e^{{2\pi /5}}\left({ \sqrt {\varphi {\sqrt {5))))-\varphi \right).

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{{-2\pi {\sqrt {5))))}{1+{\cfrac {e^{{-4\pi {\sqrt { 5}}}}}{1+{\cfrac {e^{{-6\pi {\sqrt {5}}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{ \sqrt {5}} \over 1+\left[5^{{3/4}}(\varphi -1)^{{5/2}}-1\right]^{{1/5}}} -\varphi\right)e^{{2\pi /{\sqrt {5))))

4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{{-x{\sqrt {5}}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1 +{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}} {1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }})))))))))))))))).

Prueba de irracionalidad

Demostremos que el número es un número irracional. Probaremos por contradicción. Supongamos que un número se puede representar como una fracción irreducible , donde es un número entero y es un número natural: ${\ sqrt {5}}$ ${\ sqrt {5}}$ ${\frac{n}{m))$ $metro$ $norte$

{\sqrt {5}}={\frac {n}{m}}\Rightarrow 5={\frac {n^{2}}{m^{2}}}\Rightarrow 5m^{2} =n^{2}

$n^{2}$ es divisible por , lo que significa que también es divisible por ; por lo tanto, es divisible por , y por lo tanto también es divisible por . Es decir, la fracción se puede reducir y esto contradice la afirmación original. Por lo tanto, la declaración original era falsa y es un número irracional. $5$ $norte$ $5$ $n^{2}$ $25$ $metro$ $m^{2}$ $5$ ${\ sqrt {5}}$

Véase también

Notas

↑ La raíz cuadrada de cinco . Fecha de acceso: 15 de febrero de 2015. Archivado desde el original el 11 de septiembre de 2015. (indefinido)
↑ Dauben, Joseph W. (junio de 1983) Scientific American Georg Cantor y los orígenes de la teoría de conjuntos transfinitos. Volumen 248; Página 122.
↑ R. Nemiroff y J. Bonnell: El primer millón de dígitos de la raíz cuadrada de 5. Archivado el 5 de enero de 2011 en Wayback Machine .
↑ Browne, Malcolm W. (30 de julio de 1985) New York Times Los cristales desconcertantes sumergen a los científicos en la incertidumbre. Sección: C; Página 1. (Nota: este es un artículo ampliamente citado).
↑ Richard K. Guy : "La Ley Fuerte de los Números Pequeños". Revista Matemática Estadounidense , vol. 95, 1988, págs. 675-712
↑ Ramanathan, KG (1984), Sobre la fracción continua de Rogers-Ramanujan , Academia India de Ciencias. Actas. Ciencias Matemáticas T. 93 (2): 67-77 , MR : 813071 , ISSN 0253-4142
↑ Eric W. Weisstein, Fracciones continuas de Ramanujan , < http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html > Archivado el 24 de enero de 2011 en Wayback Machine en MathWorld .

Enlaces

Prueba de que la raíz cuadrada de 5 es irracional ( enlace descendente )
Theodorus' Constant Archivado el 18 de marzo de 2020 en Wayback Machine en MathWorld

Numeros irracionales
Constante de Apéry ( ζ(3) ) Constante de Erdős-Borwein ( E ) constantes de Feigenbaum Sueño sofomoriano Número primo constante (ρ) Número plástico (ρ) Logaritmo de dos (ln 2) raíz 12 de 2 ( 12 √ 2 ) Raíz cuadrada de 2 ( √ 2 ) Raíz cuadrada de 3 ( √ 3 ) Raíz cuadrada de 5 ( √5 ) Proporción áurea (φ) Súper proporción áurea (ψ) Sección de plata ( δS ) mi π Constante de Gelfond ( e π ) Constante de Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) Constante inversa de Fibonacci (ψ)
trascendental Trigonométrico