Cuádrica

Una cuádrica , o cuádrica , es una hipersuperficie n - dimensional en un espacio n +1-dimensional, definida como el conjunto de ceros de un polinomio de segundo grado . Si ingresa las coordenadas { x 1 , x 2 , ..., x n +1 } (en espacio euclidiano o afín ) , la ecuación cuádrica general tiene la forma [1]

\sum_{{i,j=1}}^{{n+1}}x_{i}Q_{{ij}}x_{j}+\sum_{{i=1}}^{{n+ 1 }}P_{i}x_{i}+R=0.

Esta ecuación se puede reescribir de forma más compacta en notación matricial :

xQx^{T}+Px^{T}+R=0

donde x = { x 1 , x 2 , ..., x n +1 } es un vector fila , x T es un vector transpuesto , Q es una matriz de tamaño ( n +1)×( n +1) (it se supone que aunque uno de sus elementos es distinto de cero), P es un vector fila y R es una constante. Muy a menudo, las cuádricas se consideran sobre números reales o complejos . La definición puede extenderse a cuádricas en el espacio proyectivo , ver más abajo .

Más generalmente, el conjunto de ceros de un sistema de ecuaciones polinómicas se conoce como variedad algebraica . Así, una cuádrica es una variedad algebraica ( afín o proyectiva ) de segundo grado y codimensión 1.

Cuádricas en el espacio euclidiano

Las cuadráticas en el plano euclidiano corresponden al caso n = 1, es decir, son curvas . No suelen llamarse cuádricas, sino cónicas o secciones cónicas .

Las cuádricas en el espacio euclidiano (real tridimensional) tienen dimensión n = 2 y se denominan superficies de segundo orden . Al hacer un cambio de base ortogonal , cualquier cuádrica en el espacio euclidiano se puede reducir a una forma normal. Hay 17 formas de este tipo en el espacio euclidiano tridimensional. [2] De estos, 5 son no singulares (es decir, la matriz es no singular [3] ). Las formas degeneradas incluyen planos, líneas, puntos e incluso cuádricas sin puntos reales. [cuatro] ${\begin{pmatrix}Q&{\dfrac {P^{T}}{2}}\\{\dfrac {P}{2}}&R\end{pmatrix}}$

Cuádricas reales no degeneradas en el espacio euclidiano
elipsoide	${x^{2} \sobre a^{2}}+{y^{2} \sobre b^{2}}+{z^{2} \sobre c^{2}}=1$
paraboloide elíptico	${x^{2} \sobre a^{2}}+{y^{2} \sobre b^{2}}-z=0$
paraboloide hiperbólico	${x^{2} \sobre a^{2}}-{y^{2} \sobre b^{2}}-z=0$
Hiperboloide de una hoja	${x^{2} \sobre a^{2}}+{y^{2} \sobre b^{2}}-{z^{2} \sobre c^{2}}=1$
Hiperboloide de dos hojas	${x^{2} \sobre a^{2}}+{y^{2} \sobre b^{2}}-{z^{2} \sobre c^{2}}=-1$

Espacio afín y proyectivo

La clasificación de las cuádricas en el espacio afín tridimensional coincide con la clasificación de las cuádricas en el espacio euclidiano. [5] La diferencia es que dos cuádricas cualesquiera de la misma clase pueden traducirse entre sí mediante una transformación afín , mientras que la transformación ortogonal correspondiente no siempre existe (por ejemplo, un elipsoide no puede traducirse por movimiento en un elipsoide ). $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=1$

De una cuádrica en espacio afín se puede pasar a una cuádrica en espacio proyectivo introduciendo coordenadas homogéneas . Introduciendo coordenadas en el espacio afín, entonces en la ecuación de la cuádrica basta con multiplicar los términos lineales por y el término libre por La ecuación de la cuádrica proyectiva en coordenadas homogéneas tiene la forma $(x_{1},x_{2},\l puntos x_{{n+1}}),$ $x_0,$ $x_{0}^{2}.$

Q(x)=\sum_{{ij}}a_{{ij}}x_{i}x_{j}=0.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la matriz es simétrica, es decir, una cuádrica proyectiva se llama no degenerada si la forma cuadrática correspondiente es no degenerada . $q$ $a_{{ij}}=a_{{ji}}.$

En un espacio proyectivo real, según la ley de inercia de las formas cuadráticas , cualquier forma cuadrática no degenerada puede reducirse ( mediante una transformación proyectiva ) a la forma

Q(x)=\pm x_{0}^{2}\pm x_{1}^{2}\pm \cdots \pm x_{{n+1}}^{2}

Dado que la firma de una forma cuadrática es su invariante , hay exactamente tres clases de equivalencia en la dimensión n = 2 :

Q(x)={\begin{casos}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\x_{ 0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{ 2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{casos}}

Un elipsoide, un paraboloide elíptico y un hiperboloide de dos hojas pertenecen a la segunda clase, y un paraboloide hiperbólico y un hiperboloide de una hoja pertenecen a la tercera (las dos últimas cuádricas son ejemplos de superficies regladas ). Ninguna cuádrica en un espacio proyectivo real pertenece a la primera clase, ya que la ecuación correspondiente define un conjunto vacío . En un espacio proyectivo complejo , todas las cuádricas no degeneradas son equivalentes.

Pronunciación del término

Los diccionarios dan diferentes acentos: quadric [6] [7] (pronunciación "rusa") y quadric [8] [9] (pronunciación "extranjera").
El lenguaje hablado utiliza la pronunciación tanto de la cuádrica (Escuela Geométrica de Kaliningrado) como de la cuádrica [10] [11] [12] . No se conocen ejemplos de otras pronunciaciones.

Literatura

Enciclopedia Matemática . En cinco tomos. Volumen 2, p.795 (artículo "Quadric"). Moscú: Enciclopedia soviética, 1979-1985.

Notas

↑ Silvio Levy. geom.uiuc.edu Cuádrica . Fórmulas y hechos de geometría, extraídos de la 30.ª edición de las tablas y fórmulas matemáticas estándar de CRC (CRC Press) . Consultado el 30 de julio de 2013. Archivado desde el original el 18 de julio de 2018.
↑ Sameen Ahmed Khan. Superficies Cuadráticas en Ciencias e Ingeniería . Boletín de la IAPT, 2(11), 327-330 (noviembre de 2010). (Publicación de la Asociación India de Profesores de Física). Consultado el 30 de julio de 2013. Archivado desde el original el 13 de agosto de 2013.
↑ Kostrikin A. I. Introducción al álgebra. Parte 2. Álgebra lineal. - M. : FIZMATLIT, 2000. - S. 230. - 368 p.
↑ Stewart Venit, Wayne Bishop , Elementary Linear Algebra (cuarta edición), International Thompson Publishing, 1996.
↑ P. S. Alexandrov. Curso de Geometría Analítica y Álgebra Lineal. Pág. 275.
↑ Diccionario enciclopédico matemático, Moscú, Enciclopedia soviética , 1988, página 265.
↑ O. E. Ivanova y otros; resp. edición V. V. Lopatin. Diccionario de ortografía rusa: - 2ª ed., 2005, 943 p., p.285
↑ Diccionario ruso-inglés de las ciencias matemáticas AJ de Lohwater. Editado por R. P. Boas. 1990. página 155
↑ Diccionario ruso-portugués y portugués-ruso de física y matemáticas / V.V. Logvinov. M.: Rus.yaz., 1989, p.114
↑ "las superficies de grado 2 se llaman cuádricas" 21 min 55 seg - 22 min 05 seg Archivado el 4 de abril de 2016 en Wayback Machine (Summer School "Modern Mathematics", 2015. Curso "Twenty-seven lines".)
↑ "Cuádrica en espacio proyectivo", 1 min - 1 min 05 seg Copia de archivo del 4 de abril de 2016 en la Wayback Machine (Centro Científico y Educativo MIAN . Curso "Geometría Algebraica Clásica", 2015/2016.)
↑ “Sea X una cuádrica, supongamos que hay un punto en esta cuádrica”, 6 min 36 seg - 6 min 56 seg Copia de archivo fechada el 4 de abril de 2016 en la Wayback Machine (Seminario Matemático All-Institute of the St. Petersburg Sucursal del MIAN , 23 de septiembre de 2010.)