Anillo de Krull

El anillo de Krull es un anillo conmutativo con propiedades de descomposición relativamente buenas . Fueron investigados por primera vez por Wolfgang Krull en 1931 [1] . Los anillos de Krull son una generalización multidimensional de los anillos de Dedekind : un anillo de Dedekind es exactamente un anillo de Krull de dimensión como máximo 1.

En este artículo, la palabra "anillo" significa "un anillo conmutativo con unidad".

Definición

Sea un dominio de integridad y sea el conjunto de todos los ideales primos de altura 1, es decir, ideales primos que no contienen otros ideales primos distintos de cero. es un anillo Krull si y solo si: $A$ $PAGS$ $A$ $A$

$A_{\mathfrak{p}}$ es un anillo de valoración discreto para todos , ${\mathfrak {p}}\en P$
$A$ es igual a la intersección de estos anillos de valoración discretos (considerados como subanillos del campo cociente ). $A$
Cualquier elemento distinto de cero está contenido como máximo en un número finito de ideales primos de altura 1. $A$

Propiedades

Un anillo de Krull es factorial si y sólo si todo ideal primo de altura 1 es principal [2] .

Sea un anillo Zariski (por ejemplo, un anillo local noetheriano ). Si la finalización es un anillo Krull, también lo es un anillo Krull. [3] $A$ $\ancho de sombrero {A}$ $A$

Ejemplos

Cualquier anillo noetheriano integralmente cerrado es un anillo Krull. En particular, los anillos de Dedekind son anillos de Krull. Por el contrario, todos los anillos de Krull están integralmente cerrados, por lo que para un anillo noetheriano la propiedad "ser un anillo de Krull" es equivalente a la propiedad "estar integralmente cerrado".
Si es un anillo de Krull, entonces el anillo de polinomios y el anillo de series de potencias formales son anillos de Krull. $A$ ${\ estilo de visualización A [x]}$ ${\ estilo de visualización A [[x]]}$
Un anillo polinomial en infinitas variables sobre un anillo factorial es un ejemplo de un anillo de Krull que no es noetheriano. Más generalmente, todos los anillos factoriales son anillos de Krull. $R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots]$ $R$
Sea un dominio noetheriano con un campo de cocientes y sea una extensión finita de . Entonces todo el cierre es un anillo de Krull (un caso especial del teorema de Mori-Nagata) [4] . $A$ $k$ $L$ $k$ $A$ $L$

Grupo de clase divisor

Todos los ideales divisores de un anillo de Krull se descomponen (únicamente) en un producto de ideales primos de altura 1, de modo que el grupo puede verse como el grupo de combinaciones lineales formales (con coeficientes enteros) de ideales primos de altura 1. Los divisores principales forman un subgrupo , el factor sobre este grupo se llama el grupo de clase divisor . Este grupo es trivial si y solo si el anillo es factorial. $D(A)$ $D(A)$ $A$

El divisor de Cartier es un divisor localmente principal. Los divisores de Cartier forman un subgrupo del grupo de divisores . Todos los divisores principales son divisores de Cartier, y el factor de los divisores de Cartier con respecto a ellos es el grupo de Picard de poleas invertibles en . $D(A)$ ${\ Displaystyle Especificaciones (A)}$

Ejemplo: en un anillo , el grupo de clase divisor tiene orden 2 (generado por un divisor ), mientras que el grupo de Picard es trivial. $k[x,y,z]/(xy-z^{2})$ $y=z$

Notas

↑ Krull, Wolfgang (1931), Allgemeine Bewertungstheorie Archivado el 6 de enero de 2013 . J. Reine Angew. Matemáticas. 167:160-196
↑ Anillo Krull - artículo de Encyclopedia of Mathematics . V. I. Danilov
↑ Bourbaki, capítulo 7, n.º 10, Proposición 16.
↑ Cierre Integral de Ideales, Anillos y Módulos, Volumen 13

Literatura

Bourbaki N. Álgebra conmutativa. - M: Mir, 1971.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Anillo de Krull , Enciclopedia de Matemáticas, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Hideyuki Matsumura , Teoría de los anillos conmutativos. Traducido del japonés por M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 págs. - ISBN 0-521-25916-9 .
Samuel, Pedro. Conferencias sobre dominios de factorización única . Instituto Tata de Investigación Fundamental Conferencias sobre Matemáticas 30, Bombay: Instituto Tata de Investigación Fundamental (1964). Consultado: 29 de julio de 2013.