Variedad Shimura

Una variedad de Shimura (a veces una variedad de Shimura ) es un análogo de la curva modular en dimensiones superiores que surge como un cociente de un espacio simétrico hermitiano por un subgrupo congruente del grupo algebraico reductivo definido sobre Q. El término "variedad de Shimura" se refiere a dimensiones altas, en el caso de variedades unidimensionales se habla de curvas de Shimura . Las superficies modulares de Hilbert y las variedades modulares de Siegel se encuentran entre las clases más conocidas de variedades de Shimura.

Goro Shimura introdujo casos especiales de variedades de Shimura en el curso de la generalización de la teoría de la multiplicación compleja (curvas modulares). Shimura demostró que, inicialmente definidos analíticamente, los objetos son aritméticos en el sentido de que satisfacen modelos definidos sobre un campo numérico , el campo de reflexión de una variedad de Shimura. En la década de 1970, Pierre Deligne creó un marco axiomático para el trabajo de Shimura. Casi al mismo tiempo, Robert Langlands notó que las variedades de Shimura forman un dominio natural de ejemplos para los cuales se puede verificar la equivalencia entre funciones L motívicas y automórficas , postuladas en el programa Langlands . Las formas automórficas , tal como se implementan en la cohomología múltiple de Shimura, son más fáciles de estudiar que las formas automórficas generales . En particular, hay una construcción que les une representaciones de Galois .

Definición

Antecedentes de Shimura

Sea S = Res C / R G m la restricción de Weil del grupo multiplicativo de números complejos a números reales . Es un grupo algebraico cuyo grupo de R - puntos es S ( R ) -C * , y el grupo de C -puntos es . Los datos iniciales de Shimura son un par ( G , X ) que consta de un grupo algebraico reductivo G definido sobre el campo Q de números racionales y una clase de conjugación G ( R ) X de homomorfismos h : que satisfacen los siguientes axiomas: $\mathbf {C} ^{*}\times \mathbf {C} ^{*}$ $S\rightarrow G{\mathbf {R} }$

Para cualquier h de X , solo los pesos (0,0), (1,−1), (−1,1) pueden ocurrir en g C , es decir, el álgebra de Lie complejizada del grupo G se descompone en una suma directa

{\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{- },

donde para cualquier z ∈ S h ( z ) actúa trivialmente sobre el primer término de la suma y, mediante y ) sobre el segundo y tercer término, respectivamente.

z/{\bar {z))

{\ estilo de visualización {\ bar {z}}/z}

La acción conjugada h( i ) genera una involución de Cartan sobre el grupo conjugado del grupo G R .
El grupo conjugado para G R no obedece al factor H definido sobre Q , por lo que la proyección de h sobre H es trivial.

Estos axiomas implican que X tiene una estructura múltiple compleja única (posiblemente desconectada) tal que para cualquier representación , la familia es una familia holomorfa de estructuras de Hodge . Además, forma una variación de la estructura de Hodge y X es una unión finita de regiones hermitianas simétricas (disjuntas) . $\rho :G_{\mathbf {R} }\rightarrow GL(V)$ ${\ estilo de visualización (V \ rho \ cdot h)}$

Variedad Shimura

Sea A ƒ el anillo adele del grupo Q . Para cualquier subgrupo abierto compacto suficientemente pequeño K de G ( A ƒ ) la doble clase lateral

Sh_{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\barra invertida X\times G(\mathbb {A}_{f})/K

es una unión finita de variedades localmente simétricas de la forma , donde el superíndice más denota una componente conexa . Las variedades son variedades algebraicas complejas y forman un sistema inverso sobre todos los subgrupos abiertos compactos suficientemente pequeños de K . Este sistema inverso ${\ estilo de visualización \ Gamma \ smallsetminus X^{+))$ $Sh_{K}(G,X)$

(Sh_{K}(G,X))_{K}

Obedece a la acción del derecho natural . También se denomina variedad de Shimura asociada con los datos originales de Shimura ( G , X ) y se denota como Sh ( G , X ). $G(\mathbf {A} _{f})$

Historia

Para tipos especiales de dominios simétricos hermitianos y subgrupos congruentes Γ , Goro Shimura introdujo la variedad algebraica de la forma y su compactación en una serie de artículos durante la década de 1960. El enfoque de Shimura, presentado más tarde en sus monografías, fue en gran medida fenomenológico y persiguió el objetivo de una amplia generalización de la formulación de la ley de reciprocidad de la teoría de la multiplicación compleja (curvas modulares). Retrospectivamente, el nombre "variedad de Shimura" fue acuñado por Deligne , quien trató de aislar las propiedades abstractas que juegan un papel en la teoría de Shimura. En la formulación de Deligne, las variedades de Shimura son el dominio de parámetros de algún tipo de estructura de Hodge . Luego forman una generalización natural de las curvas modulares de dimensiones superiores , que se consideran como espacios de módulos de curvas elípticas con una estructura de nivel. $\Gamma \smallsetminus X=Sh_{K}(G,X)$

Ejemplos

Sea F un cuerpo numérico completamente real y D un álgebra de cuaterniones de división sobre F . El grupo multiplicativo D × genera una variedad canónica de Shimura. Su dimensión d es el número de infinitos lugares en los que se divide D. En particular, si d = 1 (por ejemplo, si F = Q y ), fijando un subgrupo aritmético suficientemente pequeño del grupo D × , obtenemos la curva de Shimura y las curvas derivadas de esta construcción ya son compactas (es decir, proyectivas ). $D\otimes \mathbf {R} \cong \mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )$

Algunos ejemplos de curvas con ecuaciones conocidas dadas por superficies Hurwitz de bajo género :

Klein quartic (género 3)
Superficie Macbeath (género 7)
Primer triplete de Hurwitz (género 14)

y la curva de Fermat de grado 7 [1] .

Otros ejemplos de colectores Shimura incluyen superficies modulares Picard y colectores Hilbert-Blumenthal .

Modelos canónicos y puntos especiales

Cualquier variedad de Shimura que se pueda definir sobre un campo numérico canónico E se denomina campo de reflexión . Este importante resultado, debido a Shimura, muestra que las variedades de Shimura, que a priori son solo variedades complejas, tienen un campo algebraico de definición y por lo tanto tienen un valor aritmético. Esto constituye el punto de partida en la formulación de la ley de reciprocidad, en la que ciertos puntos especiales definidos aritméticamente juegan un papel importante .

La naturaleza cualitativa del cierre de Zariski de conjuntos de puntos en una variedad de Shimura se describe mediante la conjetura de André-Oort . Los resultados condicionales se pueden derivar de esta hipótesis, basados en la hipótesis generalizada de Riemann .

Papel en el programa Langlands

Los colectores Shimura juegan un papel destacado en el programa Langlands . De la relación de congruencia de Eichler-Shimura se deduce que la función zeta de Hasse-Weyl de una curva modular es el producto de funciones L asociadas con formas modulares de peso 2 explícitamente definidas . De hecho, Goro Shimura introdujo sus variedades y demostró su ley de reciprocidad en la generalización de este teorema. Las funciones zeta de las variedades de Shimura asociadas con el grupo GL 2 sobre otros campos numéricos y sus formas internas (es decir, los grupos multiplicativos de álgebras de cuaterniones) fueron estudiadas por Eichler, Shimura, Kuga, Sato e Ihara. Con base en sus resultados, Robert Langlands predijo que la función zeta de Weyl de cualquier variedad algebraica W definida sobre un cuerpo numérico debe ser el producto de potencias positivas y negativas de funciones L automórficas, es decir, debe surgir de un conjunto de representaciones automórficas . . Sin embargo, afirmaciones de este tipo pueden probarse si W es una variedad de Shimura. Según Langlands:

La afirmación de que todas las funciones L asociadas con las variedades de Shimura, y luego con cualquier motivo definido por una variedad de Shimura, pueden expresarse en términos de funciones L automórficas [de su artículo de 1970] es más débil, incluso muy débil, que la afirmación de que todas las funciones L motívicas son iguales a tales funciones L. Sin embargo, si bien se espera que la declaración más estricta sea cierta, no hay una buena razón, que yo sepa, para esperar que todas las funciones L motívicas estén asociadas a las variedades de Shimura.

Notas

↑ Elkis , sección 4.4 (págs. 94-97) en Levy, 1999 .

Literatura

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