Curva modular

Una curva modular es una superficie de Riemann, o la curva algebraica correspondiente , construida como un factor de la mitad superior compleja del plano H a partir de un subgrupo congruente del grupo modular de matrices enteras 2×2 SL(2, Z ). El término curva modular también se puede utilizar para referirse a las curvas modulares compactadas , que son compactaciones obtenidas al agregar un número finito de puntos (llamados cúspides de curva ) a un factor (actuando sobre el semiplano superior complejo extendido ). Los puntos de una curva modular parametrizan las clases de isomorfismo de las curvas elípticas , junto con alguna estructura adicional dependiente del grupo . Esta interpretación nos permite dar una definición puramente algebraica de curvas modulares sin referencia a números complejos y, además, prueba que las curvas modulares son un campo de definición ya sea sobre el campo Q de números racionales , o sobre un campo circular . El último hecho y sus generalizaciones son de fundamental importancia en la teoría de números. $Y(\mathrm {\Gamma } )$ $\mathrm {\Gamma }$ $X(\mathrm {\Gamma } )$ $\mathbf {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma }$

Definición analítica

El grupo modular SL(2, Z ) actúa sobre la mitad superior del plano a través de transformaciones lineales fraccionarias . La definición analítica de una curva modular implica la elección de un subgrupo congruente del grupo SL(2, Z ), es decir, un subgrupo que contiene el subgrupo principal de nivel N congruencias para un entero positivo N , donde $\mathrm {\Gamma }$ ${\ Displaystyle \ mathrm {\ Gamma} (N)}$

\Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv \pm 1\mod N,b,c\ equivalente a 0\mod N\right\}.

El mínimo tal N se llama el nivel . La estructura compleja se puede superponer al factor para producir una superficie de Riemann no compacta , generalmente denotada como . $\mathbf {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H}$ $Y(\mathbf {\Gamma } )$

Curvas modulares compactadas

La compactación global se obtiene sumando un número finito de puntos, llamados vértices de la curva . Más específicamente, esto se hace por convención, lo cual es válido en el semiplano complejo extendido . Introducimos la topología eligiendo una base: $Y(\mathrm {\Gamma } )$ $\mathrm {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{*}=\mathbf {H} \cup \mathbf {Q} \cup \{\infty \))$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {H} ^ {*}}$

cualquier subconjunto abierto de H ,
para todo r > 0, el conjunto ${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im))(\tau )>r\))$
para cualquier número coprimo a , c y todo r > 0, la imagen bajo la acción ${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im))(\tau )>r\))$

{\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}

donde m , n son números enteros tales que an + cm = 1.

Esto se convierte en un espacio topológico, que es un subconjunto de la esfera de Riemann . El grupo actúa sobre un subconjunto , dividiéndolo en un número finito de órbitas , llamadas cúspides de grupo . Si actúa transitivamente sobre , el espacio se convierte en una compactación de Alexandrov . De nuevo, se puede imponer una estructura compleja al factor , convirtiéndolo en una superficie de Riemann, denotada , y ahora es compacta . Este espacio es una compactación de la curva [1] . ${\ estilo de visualización \ mathbf {H} ^ {*}}$ $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$ $\mathrm {\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} \cup \{\infty \))$ $\mathbf {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} \cup \{\infty \))$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} ^{*}$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H}$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} ^{*}$ $X(\mathrm {\Gamma } )$ $Y(\mathrm {\Gamma } )$

Ejemplos

Los ejemplos más generales de curvas son y asociados con subgrupos y . ${\ estilo de visualización X (N), X_ {0} (N)}$ ${\ estilo de visualización X_ {1} (N)}$ $\mathrm {\Gamma } (N),\mathrm {\Gamma } _{0}(N)$ ${\ Displaystyle \ mathrm {\ Gamma} _ {1} (N)}$

La curva modular X (5) tiene género 0 - es una esfera de Riemann con 12 cúspides ubicadas en los vértices de un icosaedro regular . El recubrimiento se realiza por la acción del grupo icosaédrico sobre la esfera de Riemann. Este grupo es un grupo simple de orden 60 isomorfo a A 5 y PSL(2, 5). ${\ estilo de visualización X (5) \ flecha derecha X (1)}$

La curva modular X (7) es una cuartica de Klein de género 3 con 24 cúspides. Puede interpretarse como una superficie con 24 heptágonos con cúspides en el centro de cada cara. Esta teselación se puede ver usando dibujos de niños y el teorema de Belyi : las cúspides son puntos que se encuentran sobre (puntos rojos), mientras que los vértices y los puntos medios de los bordes (puntos blancos y negros) son puntos que se encuentran sobre 0 y 1. El Galois de una cubierta es un grupo simple de orden 168 isométrico a PSL(2, 7) . $\infty$ ${\ estilo de visualización X (7) \ flecha derecha X (1)}$

Hay un modelo clásico explícito para , la curva modular clásica . A veces se le llama curva modular . La definición se puede reformular de la siguiente manera: es un subgrupo de un grupo modular que es el núcleo de un módulo de reducción N . Entonces es el subgrupo más grande de matrices triangulares superiores módulo N : ${\ estilo de visualización X_ {0} (N)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {\ Gamma} (N)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {\ Gamma} _ {0} (N)}$

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},

a es un grupo intermedio definido como: ${\ estilo de visualización \ mathbf {\ Gamma} _ {1} (N)}$

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\ \mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.

Estas curvas tienen una interpretación directa como el espacio de módulos para curvas elípticas con estructura de nivel y por esta razón juegan un papel importante en la geometría aritmética . El nivel N de una curva modular X ( N ) es el espacio de módulos para curvas elípticas con base N - torsión . Para X 0 ( N ) y X 1 ( N ) la estructura de nivel es un subgrupo cíclico de orden N y un punto de orden N, respectivamente. Estas curvas han sido estudiadas en detalle y, en particular, se sabe que X 0 ( N ) puede definirse sobre Q .

Las ecuaciones que definen curvas modulares son ejemplos bien conocidos de ecuaciones modulares . Los "mejores modelos" pueden diferir sustancialmente de los modelos tomados directamente de la teoría de funciones elípticas . Los operadores de Hecke se pueden estudiar geométricamente como una correspondencia de pares conectados de curvas modulares.

Observación : los factores de H , que son compactos, resultan diferentes para los grupos fucsianos de los factores para los subgrupos del grupo modular. Su clase, construida a partir de álgebras de cuaterniones , es de interés en teoría de números. $\mathbf {\Gamma }$

Género

La tapa es una tapa de Galois con el grupo de Galois SL(2, N )/{1, −1}, que es igual a PSL(2, N ) si N es primo. Utilizando la fórmula de Riemann-Hurwitz y el teorema de Gauss-Bonnet, se puede calcular el género de X ( N ). Para un nivel fácil , ${\ estilo de visualización X (N) \ flecha derecha X (1)}$ $p\geqslant 5$

-\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,

donde es la característica de Euler de , es el orden del grupo PSL(2, p ), y es el defecto de esquina del triángulo esférico (2,3, p ). Esto conduce a la fórmula ${\ estilo de visualización \ chi = 2-2g}$ ${\ estilo de visualización | G | = (p + 1) p (p-1)/2}$ $D=\pi -\pi /2-\pi /3-\pi /p$

g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).

Entonces X (5) tiene género 0, X (7) tiene género 3 y X (11) tiene género 26. Para p = 2 o 3, también se debe tener en cuenta la ramificación, es decir, la existencia de elementos de orden p en , y el hecho, que tiene orden 6 en lugar de 3. Hay una fórmula más complicada para el género de una curva modular X ( N ) de cualquier nivel N que usa N divisores . $\mathrm {PSL} (2,\mathbf {Z} )$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {PSL} (2,2)}$

Género cero

El campo de funciones modulares es el campo de funciones una curva modular (o, a veces, algunos otros espacios de módulos , que resultan ser variedades irreducibles ). Género cero significa que tal campo de funciones tiene una única función trascendental como generador. Por ejemplo, la función j genera un campo de funciones X (1) = PSL(2, Z )\ H . El nombre tradicional para dicho generador, que es único hasta la transformada de Möbius y puede normalizarse adecuadamente, es Hauptmodul (tomado del alemán, la traducción literal es módulo principal ).

Los espacios X 1 ( n ) tienen género cero para n = 1, …, 10 y n = 12. Dado que estas curvas están definidas sobre Q , se deduce que hay infinitos puntos racionales en cada una de esas curvas y, por lo tanto, hay infinitos muchas curvas elípticas, definidas sobre Q con n -rotación para estos valores de n . Lo contrario, que solo sean posibles estos valores de n , es el teorema de torsión de Mazur .

Contacto con el grupo Monster

Las curvas modulares de género 0, que son bastante raras, resultan especialmente importantes porque están relacionadas con la conjetura de disparates monstruosos . Los primeros siete coeficientes de las extensiones q de su módulo principal ya se calcularon en el siglo XIX, pero qué sorpresa cuando los mismos enteros grandes resultaron ser las dimensiones de las representaciones del grupo Monstruo simple más grande.

Otra conexión es que la curva modular correspondiente al normalizador de un subgrupo del grupo SL(2, R ) tiene género cero si y solo si p es igual a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71, que son exactamente los divisores primos del orden de los monstruos . El resultado se debe relativamente a Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson (década de 1970), y la observación sobre el monstruo se debe a Ogg, quien prometió una botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que fuera el primero en hacerlo . explicar este hecho, y este fue el punto de partida de la teoría de la "tontería monstruosa" [2] . ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } _{0}(p)^{+))$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {\ gamma} _ {0} (p)}$ ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } _{0}(p)^{+))$

Las conexiones son muy profundas y, como ha demostrado Richard Borcherds , aquí están involucradas las álgebras generalizadas de Kac-Moody . El trabajo en esta área enfatiza la importancia de las funciones modulares meromórficas , que pueden contener polos y cúspides, a diferencia de las formas modulares que son holomorfas en todas partes, incluidas las cúspides, un importante objeto de estudio en el siglo XX.

Véase también

El teorema de Manin-Drinfeld
teorema de modularidad
Variedad de Shimur , una generalización de curvas modulares a dimensiones superiores

Literatura

Jean Pierre Serre. Curso de aritmética. — 2do. - Press Universitaires de France, 1977. - Vol. 2. - (Le Mathématicien).
Goro Shimura. Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas. - Princeton University Press , 1994. - Vol. 11. - (Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón). - ISBN 978-0-691-08092-5 .
Panchishkin AA, Parshin AN Curva modular // Enciclopedia de Matemáticas . — ISBN 1-4020-0609-8 .
Andrés P. Ogg. Automorphismes de courbes modulaires // Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Teoría de los nombres (1974-1975) . - 1974. - T. 16.