Polinomios de Gegenbauer | |
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información general | |
Fórmula | |
producto escalar | |
Dominio | |
características adicionales | |
Ecuación diferencial | |
Norma | |
Lleva el nombre de | Leopoldo Gegenbauer |
Los polinomios de Gegenbauer o polinomios ultraesféricos en matemáticas son polinomios ortogonales en el intervalo [−1,1] con una función de peso . Se pueden representar explícitamente como
donde es la función gamma , y denota la parte entera del número n/2 .
Los polinomios de Gegenbauer son una generalización de los polinomios de Legendre y Chebyshev y son un caso especial de los polinomios de Jacobi . Además, los polinomios de Gegenbauer están relacionados con la representación del grupo ortogonal especial [1] . Llevan el nombre del matemático austriaco Leopold Gegenbauer (1849-1903).
Los polinomios de Gegenbauer se pueden definir en términos de la función generadora [2] :
Como la función generadora no cambia con el reemplazo simultáneo de , , entonces
de donde se sigue que para n par, los polinomios de Gegenbauer contienen sólo grados pares de z , y para n impar , sólo grados impares de z .
A través de la función generadora se pueden obtener los valores de los polinomios de Gegenbauer en z=1 y z=0 como coeficientes de expansión y, respectivamente:
(para n par ), (para n impar ),donde se usa la notación estándar para el símbolo de Pochhammer ,
.Los polinomios de Gegenbauer satisfacen la siguiente relación de recurrencia , que se puede utilizar para construir polinomios con :
En particular [3] ,
y así.
Los polinomios de Gegenbauer satisfacen la ecuación diferencial de Gegenbauer [4]
Cuando esta ecuación se reduce a la ecuación diferencial de Legendre y, en consecuencia, los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Legendre .
Los polinomios de Gegenbauer se pueden expresar en términos de una serie hipergeométrica finita
Los polinomios de Gegenbauer son un caso especial de los polinomios de Jacobi c :
La derivada del polinomio de Gegenbauer se expresa en términos de un polinomio con índices desplazados
Se pueden expresar en términos de la fórmula de Rodrigues .
Para un dado , los polinomios de Gegenbauer son ortogonales en el intervalo [−1,1] con la función de peso , es decir, (para n ≠ m ) [5] ,
Se normalizan como [5]
Si , donde y son variables reales (y también es real), entonces las partes real e imaginaria de los polinomios de Gegenbauer se pueden expresar de la siguiente manera:
polinomios ortogonales | |
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