Conjunto de secciones

El conjunto de secciones de un punto en una variedad de Riemann es el subconjunto de puntos a través de los cuales ninguno de los caminos más cortos de . $pags$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {C} _ {p} \ subconjunto M}$ $pags$

El conjunto de particiones también se llama catlocus , del inglés. lugar de corte .

Ejemplos

El conjunto de secciones puntuales de la esfera estándar consta de un punto opuesto a . $pags$ $pags$
El conjunto de división de un punto sobre la superficie de un cilindro circular infinito es una recta paralela al eje del cilindro, que pasa por la superficie del cilindro desde el lado opuesto al punto elegido.

Propiedades

El conjunto de particiones es un conjunto cerrado .
El conjunto de particiones tiene volumen cero.
Un subconjunto es difeomorfo a una bola. $M\barra invertida \nombre del operador {C} _{p}$
Si hay dos curvas más cortas diferentes entre los puntos y , entonces y . $pags$ $q$ ${\displaystyle p\in \operatorname {C} _{q))$ ${\ estilo de visualización q \ en \ nombre del operador {C} _ {p}}$
Si la línea más corta entre los puntos y es única, entonces se conjugan en la continuación . ${\displaystyle p\in \operatorname {C} _{q))$ $\gama$ $pags$ $q$ $\gama$
Si es una variedad analítica de Riemann, entonces el conjunto de particiones admite una triangulación localmente finita sobre simples analíticos abiertos. $METRO$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {C} _ {p}}$
- Sin analiticidad , un conjunto puede incluso no estar triangulado . $METRO$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {C} _ {p}}$
La distancia de un punto a su conjunto de sección es igual al radio de inyectividad de ese punto.

Véase también

Eje mediano

Literatura

Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Introducción a la geometría riemanniana. - San Petersburgo. : Nauka, 1994. - 318 p.