Potencial de Pöschl-Teller modificado

El potencial de Pöschl-Teller modificado es una función de la energía potencial de un campo electrostático, propuesto por los físicos Hertha Pöschl y Edward Teller [1] como una aproximación a la energía de una molécula diatómica, alternativa al potencial de Morse

U(x)={\frac {-U_{0}}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}=-U_{0}\,\mathrm {sech} ^{2}ax

La profundidad potencial del pozo generalmente se parametriza como: $tu_{0}$

U_{0}={\frac {\hbar^{2}}{2m}}a^{2}\lambda (\lambda -1)

La solución de la ecuación de Schrödinger con energía potencial en forma de pozo de Pöschl-Teller modificado se representa mediante las funciones de Legendre .

Ecuación de Schrödinger con potencial de Pöschl-Teller modificado

La ecuación estacionaria de Schrödinger con el potencial de Pöschl-Teller modificado tiene la forma:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}\Psi (x)=E\Psi (x).

Si ingresa la notación , tomará la forma: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}+a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax} }\derecha)\Psi(x)=0.

Solución vía funciones hipergeométricas

Después del cambio de variable

y=\mathrm {ch^{2}}ax

obtenemos

y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)-\left({\frac {k ^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{4y}}\right)\Psi (y)=0.

Si sustituimos la solución en la forma

\Psi(y)=y^{\frac {\lambda}{2}}v(y)

entonces la ecuación se reduce a la forma hipergeométrica

y(1-y)v''(y)+\left(\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)-(\lambda -1)y\right)v '(y)-{\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}+{\frac {k^{2}}{a^{2}}}\right)v=0

denotando

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda +i{\frac {k}{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ izquierda(\lambda -i{\frac {k}{a}}\derecha)

la solución general tomará la forma

v(y)=A\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2));1-y\right)+iB(1-y) ^{\frac {1}{2}}\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}});{ \frac{3}{2}};1-y\right)

Como sistema fundamental de soluciones a la ecuación original, conviene elegir una solución par e impar, es decir, las funciones propias del operador de paridad :

{\sombrero {P}}\Psi_{\pm}(x)=\pm \Psi_{\pm}(x),

Una solución par corresponde a y ${\ estilo de visualización A = 1}$ ${\ estilo de visualización B = 0}$

\Psi _{+}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2} };-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)

La solución impar corresponde a y $A=0$ ${\ estilo de visualización B = 1}$

\Psi _{-}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;\mathrm {sh} ax\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac { 1}{2)),b+{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)

Energía de estados ligados

Por conveniencia, denotamos , luego la energía se escribe como $k=i\kappa$

E=-{\frac {\hbar^{2}\kappa^{2}}{2m}}.

Los parámetros de las funciones hipergeométricas toman la forma

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda -{\frac {\kappa {a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ izquierda(\lambda +{\frac {\kappa}{a}}\derecha).

Para obtener funciones normalizadas, es necesario eliminar los términos de las asintóticas que son ilimitadas en el infinito; para funciones impares, esta condición toma la forma

{\frac {\kappa}{a}}=\lambda -2-2k

incluso para

{\frac {\kappa}{a}}=\lambda -1-2k

Combinando estas condiciones, obtenemos los niveles de energía:

E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}a^{2}}{2m}}(\lambda -1-n)^{2},\qquad n\leqslant \lambda - 1,\;n\en \mathbb {Z} _{+}

Coeficientes de reflexión y transmisión

Los coeficientes de reflexión y transmisión tienen la forma:

R={\frac {1}{1+p^{2}}},\qquad T={\frac {p^{2}}{1+p^{2}}},

donde la notación

p={\frac {\mathrm {sh} {\frac {\pi k}{a))}{\sin \pi \lambda )).

Cuando conseguimos eso y ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} _{+))$ $p=\infty$

R=0,\qquad T=1.

Así, en , el potencial de Pöschl-Teller modificado se vuelve reflexivo. ${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ mathbb {N}}$

Solución a través de las funciones de Legendre

Por sustitución , la ecuación de Schrödinger se puede reducir a la ecuación $u=\mathrm {th} hacha$

((1-u^{2})\Psi '(u))'+\lambda (\lambda -1)\Psi (u)+\left({\frac {k}{a}}\ derecha)^{2}{\frac {1}{1-u^{2}}}\Psi (u)=0.

La solución a esta ecuación se puede representar en términos de las funciones de Legendre

\Psi (u)=AP_{\lambda -1}^{\mu }(u)+BQ_{\lambda -1}^{\mu }(u),

donde _ $\mu=ik/a$

Véase también

Potencial de Pöschl-Teller

Notas

↑ G. Poschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (alemán) // Zeitschrift für Physik. - 1933. - Bd. 83 , núm. 3-4 . — S. 143–151 . -doi : 10.1007/ BF01331132 .

Literatura

Z. Flugge. Problemas de mecánica cuántica. - Editorial LKI, 2008. - T. 1.

IG Kaplan. Interacciones intermoleculares . — 2006.

Pablo Harrison. Pozos cuánticos, cables y puntos . — 2005.

Modelos de mecánica cuántica
Unidimensional sin espín	partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo
Multidimensional sin giro	oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial
Incluye giro	átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio