Monoide

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Un monoide es un semigrupo con un elemento neutro . Más detalladamente, un monoide es un conjunto sobre el que se da una operación asociativa binaria , normalmente llamada multiplicación , y en el que existe un elemento tal que para cualquier . El elemento se llama la unidad y se denota a menudo . Cada monoide tiene exactamente un 1. $METRO$ $mi$ ${\ estilo de visualización ex = x = xe}$ $x\en M$ $mi$ $una$

Los monoides surgen en varias áreas de las matemáticas ; por ejemplo, los monoides se pueden considerar como categorías de un solo objeto. Por lo tanto, los monoides generalizan propiedades de composición de funciones . Además, los monoides se utilizan en informática y en la teoría de los lenguajes formales .

Ejemplos

Todo grupo es un monoide.
El conjunto de todas las aplicaciones de un conjunto arbitrario en sí mismo es un monoide con respecto a la operación de ejecución secuencial (composición) de aplicaciones. La unidad es el mapeo idéntico . $S$
El conjunto de endomorfismos de cualquier álgebra universal es un monoide con respecto a la operación de superposición , y la unidad es el endomorfismo identidad. $A$
Cualquier semigrupo S se puede convertir en un monoide simplemente agregando un elemento e y definiendo e*s = s = s*e para todo s ∈ S.
Los números no negativos (Números naturales y cero) forman un monoide conmutativo (monoide con una operación conmutativa ) tanto en la multiplicación como en la suma.
El conjunto de todas las cadenas finitas con elementos del alfabeto Σ forma un monoide, generalmente denotado por Σ ∗ . La operación se define como concatenación de cadenas .
Fijar un monoide M . Entonces el conjunto de todas las funciones de un conjunto fijo en M forma un monoide; cuya unidad es una función que mapea todo el conjunto a la unidad M , la operación se define puntualmente.
Una lista con una operación de concatenación y la lista vacía como elemento neutral.
Diccionario. El elemento neutral es un diccionario vacío. La operación es la unión de diccionarios por clave, si la clave es igual para los valores, se debe definir la operación de fusión (nota: si la operación de fusión de valores es no conmutativa, entonces la fusión de diccionarios también será no -conmutativo). Por ejemplo, puede definir una operación de combinación como
- agregar números
- concatenar cadenas
- concatenar listas
- para diccionarios anidados, realice la operación recursivamente

Por ejemplo, diccionarios

{"a" => 2, "b" => "cd", "c" => [1, 2], "d" => {"e" => 1}, "f" => 1} {"a" => 3, "b" => "e", "c" => [3], "d" => {"e" => 2}, "g" => 1}

se puede combinar en

{"a" => 5, "b" => "cde", "c" => [1, 2, 3], "d" => {"e" => 3}, "f" => 1 , "g" => 1}

Propiedades

Cualquier monoide puede representarse como el monoide de todos los endomorfismos de algún álgebra universal .

Para cualquier elemento de un monoide, uno puede definir el grado cero como Dado que el monoide es un caso especial del semigrupo , entonces se define un grado natural para sus elementos . Las propiedades de grado siguen siendo válidas para . $a^{0}=e,\forall a$ ${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}a^{n},(a^{m})^{n}=a^{mn))$ $\mathbb {N} \taza \{0\}$

Se puede introducir la definición de elemento invertible de un monoide: x es invertible si existe un elemento y tal que xy = yx = e . Si y y z son dos elementos con esta propiedad, entonces por asociatividad y = ( zx ) y = z ( xy ) = z , por lo tanto, el elemento inverso se define unívocamente [1] (generalmente se denota x −1 ). El conjunto de todos los elementos invertibles de un monoide forma un grupo (posiblemente trivial ).

Por otro lado, no todos los monoides se pueden incrustar en un grupo. Por ejemplo, es muy posible que haya elementos ayb en un monoide tal que ab = ayb no sea un elemento neutro. Si este monoide fuera un subconjunto de algún grupo, podríamos multiplicar ambos lados de la igualdad por un −1 a la izquierda y obtendríamos una contradicción. Se dice que un monoide M tiene la propiedad de cancelación si, para cualquiera de sus elementos, y . Un monoide conmutativo con la propiedad de cancelación se puede incrustar en un grupo utilizando la construcción de grupos de Grothendieck . Esto generaliza la forma en que el grupo aditivo de números enteros se puede reconstruir a partir del grupo aditivo de números naturales. $ab=ac\Rightarrow b=c$ $ba=ca\Rightarrow b=c$

Un monoide finito con la propiedad de cancelación es siempre un grupo. De hecho, sea x un elemento arbitrario de tal monoide. Del principio de Dirichlet se sigue que x n = x m para algún m > n > 0. Pero entonces la propiedad de cancelación implica que x m − n = e , donde e es la unidad. Por lo tanto x * x m − n −1 = x m − n −1 * x = e , entonces x es invertible.

Un homomorfismo de un monoide M a un monoide N es una función tal que (para cualquier x e y de M ) y . $f\dos puntos M\to N$ $f(xy)=f(x)\cdot f(y)$ ${\ estilo de visualización f (e) = e}$

Relación con la teoría de categorías

Los axiomas de un monoide coinciden con los que se aplican a la composición de morfismos de un objeto en una categoría , es decir, los monoides pueden considerarse como categorías de un objeto.

De manera similar, los homomorfismos monoides son exactamente funtores entre las categorías correspondientes. [2] Esta construcción define una equivalencia entre la categoría de (pequeños) monoides Mon y una subcategoría completa en Cat .

También existe una noción categórica de monoide , que generaliza las propiedades de un monoide a una categoría monoide arbitraria . Por ejemplo, un monoide en la categoría de conjuntos es el monoide habitual definido anteriormente, mientras que un monoide en la categoría de grupos abelianos es un anillo asociativo con identidad.

Véase también

Notas

↑ Jacobson, I.5. pags. 22
↑ Awodey, Steve (2006). teoría de categorías. Guías lógicas de Oxford 49. Oxford University Press. pags. 10. ISBN 0-19-856861-4 . Zbl 1100.18001.

Literatura

Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica 1 (2.ª ed.), Dover - ISBN 978-0-486-47189-1 .

Enlaces

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Monoid , Enciclopedia de Matemáticas, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4