Multi-índice

Multi -índice (o multi-índice ) es una generalización del concepto de un índice entero a un índice vectorial, que ha encontrado aplicación en varias áreas de las matemáticas asociadas con funciones de muchas variables. El uso de un índice múltiple ayuda a simplificar (escribir de manera más concisa) las fórmulas matemáticas.

Notación matemática para un índice múltiple

n - índice múltiple dimensional es un vector

{\ estilo de visualización \ alfa = (\ alfa _ {1}, \ alfa _ {2}, \ ldots, \ alfa _ {n}),}

formado por números no negativos. Para dos índices múltiples y un vector , ingrese: ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta \ en \ mathbb {N} _ {0}^ {n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\en \mathbb {R} ^{n))$

Suma y resta por componentes

\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots,\,\alpha _ {n} \ pm \ beta _ {n})

Orden parcial

{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots,n\))

Valor absoluto como suma de componentes

{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n))

Factorial

\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!

Coeficiente binomial

{\alpha \elegir \beta }={\alpha _{1} \elegir \beta _{1}}{\alpha _{2} \elegir \beta _{2}}\cdots {\alpha _ {n} \elegir \beta _{n}}

exponenciación

x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n} }

Derivada parcial más alta

\parcial ^{\alpha }=\parcial _{1}^{\alpha _{1}}\parcial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \parcial _{n}^ {\alfa _{n))

dónde

\parcial _{i}^{\alpha _{i}}:=\parcial ^{\alpha _{i}}/\parcial x_{i}^{\alpha _{i}}

Algunas aplicaciones

El uso de un índice múltiple permite extender fácilmente muchas fórmulas del análisis clásico al caso multidimensional. Aquí hay unos ejemplos:

Coeficientes multinomiales

Esto se refiere a la generalización de la fórmula de Bernoulli al caso multidimensional:

{\biggl (}\sum_{i=1}^{n}x_{i}{\biggr)}^{k}=\sum_{|\alpha |=k}{\frac {k !}{\alfa !}}\,x^{\alfa }

Fórmula de Leibniz

Para funciones suaves f y g

\parcial ^{\alpha }(fg)=\sum_{\nu \leq \alpha }{\alpha \choose \nu }\parcial ^{\nu }f\,\parcial ^{\alpha - \nu }p.

Expansión de la serie de Taylor

Una función analítica f de n variables satisface la expansión

f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n))^{}{{\frac {\parcial ^{\alpha }f(x )}{\alfa !}}h^{\alfa }}.

De hecho, para funciones suficientemente suaves, la fórmula final de Taylor se cumple

f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}({\frac {\parcial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x, h),

donde el último término (resto) se puede escribir de varias formas. Por ejemplo, en la forma de Cauchy (integral), obtenemos

R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _ {0}^{1}(1-t)^{n}\parcial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.

Operador de diferenciación

El operador formal para tomar una derivada parcial de orden N en un espacio n -dimensional se escribe de la siguiente manera:

P(\parcial)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\parcial ^{\alpha )).

Integración por partes

Para funciones finitas suficientemente suaves en un dominio acotado , tenemos: $\Omega \subconjunto {\mathbb {R}}^{n}$

\int_{\Omega}}{}{u(\parcial^{\alpha}v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int_{\Omega}^{} {(\parcial ^{\alpha }u)v\,dx}.

Esta fórmula se utiliza en la definición de funciones generalizadas y derivadas débiles .

Un ejemplo de uso en el teorema

Si son multiíndices y , entonces ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta \ en \ mathbb {N} _ {0}^ {n}}$ $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$

\parcial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{casos}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!))x^{\beta -\alpha }&{\hbox{si}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{de lo contrario.}}\end{casos}}

Prueba

La prueba se basa en la regla de tomar la derivada ordinaria de una función de potencia:

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{casos}{\frac {\beta !}{(\beta -\ alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{de lo contrario.}}\end{casos}} \qquad(1)

Sea , y . Después $\alpha =(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})$ $\beta =(\beta _{1},\ldots,\beta _{n})$ $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$

{\begin{alineado}\parcial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\parcial ^{\vert \alpha \vert }}{\parcial x_{1}^{\ alfa _{1))\cdots \parcial x_{n}^{\alpha _{n))))x_{1}^{\beta _{1))\cdots x_{n}^{\beta_{ n))\\&={\frac {\parcial ^{\alpha _{1))}{\parcial x_{1}^{\alpha _{1))))x_{1}^{\beta _ {1}}\cdots {\frac {\parcial ^{\alpha _{n}}}{\parcial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta_{ n}}.\end{alineado}}

Aquí, cada derivación se reduce a la derivada ordinaria correspondiente , ya que para cada i de {1, . . ., n }, la función depende únicamente de . Por lo tanto, de la ecuación (1) se sigue que desaparece tan pronto como α i > β i para al menos una i de {1, . . ., n } De lo contrario (cuando α ≤ β ) obtenemos $\parcial /\parcial x_{i}$ ${\ Displaystyle d / dx_ {i}}$ $x_{i}^{\beta _{i))$ $x_{yo}$ ${\displaystyle \parcial ^{\alpha }x^{\beta ))$

{\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\ fracción {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}

para todos $i$ $\Caja$

Enlaces

Saint Raymond, Xavier (1991). Introducción elemental a la Teoría de Operadores Pseudodiferenciales . Capítulo 1.1. Prensa C.R.C. ISBN 0-8493-7158-9

Este artículo utiliza material del derivado de múltiples índices PlanetMath de una página de poder , que tiene licencia CC-BY-SA .