Grupo ortogonal indefinido

Un grupo ortogonal indefinido es el grupo de Lie de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial real n - dimensional que deja una forma bilineal simétrica no degenerada con firma , donde . La dimensión del grupo es . ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$ $(p,q)$ ${\ estilo de visualización n = p + q}$ ${\ estilo de visualización n (n-1)/2}$

El grupo ortogonal especial indefinido es el subgrupo que consta de todos los elementos con determinante 1. A diferencia del caso definido, el grupo no está conectado: tiene dos componentes y dos subgrupos adicionales con un índice finito, a saber, conectado y , que tiene dos componentes - ver sección Topología , que define y prueba este hecho. ${\ estilo de visualización \ mathrm {SO} (p, q)}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {SO} (p, q)}$ $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ $\mathrm {O} ^{+}(p,q)$

La firma de la forma define el grupo hasta un isomorfismo . El intercambio de p y q hace que el producto escalar cambie de signo, dando el mismo grupo. Si p o q es cero, el grupo es isomorfo al grupo ortogonal habitual O( n ). En lo que sigue, suponemos que p y q son positivos.

El grupo se define para espacios vectoriales sobre los reales . Para espacios complejos , todos los grupos son isomorfos al grupo ortogonal ordinario , ya que la transformación cambia la firma de la forma. ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$ $\mathrm {O} (p,q;\mathbb {C} )$ $\mathrm {O} (p+q;\mathbb {C} )$ ${\displaystyle z_{j}\mapsto iz_{j))$

En un espacio de dimensión uniforme , un grupo se conoce como grupo ortogonal dividido . ${\ estilo de visualización n = 2p}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, p)}$

Ejemplos

El ejemplo principal es el grupo (componente de identidad) de transformaciones lineales que conservan la hipérbola de identidad . Específicamente, estas son matrices que pueden interpretarse como rotaciones hiperbólicas, al igual que el grupo SO(2) puede interpretarse como rotaciones circulares. $\mathrm {SO} ^{+}(1,1)$ $\left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],$

En física , el grupo de Lorentz juega un papel importante, siendo el fundamento de la teoría del electromagnetismo y la relatividad especial . ${\ estilo de visualización \ mathrm {O} (1,3)}$

Definición de matriz

Puede definirse como un grupo matriz , al igual que el grupo ortogonal clásico . Considere la matriz diagonal dada por: ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {O} (n)}$ ${\ estilo de visualización (p + q) \ veces (p + q)}$ $gramo$

g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots,-1} _{q}).

Ahora podemos definir una forma bilineal simétrica en la fórmula ${\ estilo de visualización [\ cdot, \ cdot] _ {p, q))$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q))$

[x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1} y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}

donde está el producto interno estándar en . $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q))$

Luego definimos , como un grupo de matrices que conservan esta forma bilineal [1] : ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$ ${\ estilo de visualización (p + q) \ veces (p + q)}$

\mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y] _{p,q}\,\para todo x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}

Más explícitamente consiste en matrices tales que [2] : ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$ $A$

{\displaystyle gA^{\mathrm {T} }g=A^{-1))

donde es la matriz traspuesta para . $A^{\mathrm {T} }$ $A$

Obtenemos un grupo isomorfo (además, un subgrupo conjugado del grupo ) reemplazando g con cualquier matriz simétrica con p valores propios positivos y q valores negativos. La diagonalización de esta matriz da la conjugación de este grupo con el grupo estándar . ${\ estilo de visualización \ matemáticas {GL} (p + q)}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$

Topología

Si tanto p como q son positivos, entonces ninguno es conexo , ya que tienen cuatro y dos componentes, respectivamente. es un grupo de Klein cuádruple en el que cada factor conserva o invierte las orientaciones en los espacios dimensionales p y q en los que se define la forma. Tenga en cuenta que invertir la orientación en solo uno de estos subespacios invierte la orientación en el espacio completo. El grupo ortogonal especial tiene componentes que conservan ambas orientaciones o cambian ambas orientaciones, en cualquier caso conservando la orientación completa. ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {SO} (p, q)}$ ${\displaystyle \pi _{0}(\mathrm {O} (p,q))\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2))$ ${\displaystyle \pi _{0}(\mathrm {SO} (p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\))$

El componente de unidad de un grupomenudo se denota comoy se puede identificar con el conjunto de elementosque conservan orientaciones. La notación está relacionada con la notacióndel grupo ortocrónico de Lorentz , donde + indica la conservación de la orientación en la primera dimensión (correspondiente al tiempo). ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$ $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {SO} (p, q)}$ $\mathrm {O} ^{+}(1,3)$

El grupo tampoco es compacto , pero contiene subgrupos compactos y actúa sobre los subespacios sobre los que se define el formulario. De hecho, es el subgrupo compacto máximo del grupo, mientras que es el subgrupo compacto máximo del grupo . De manera similar, es el subgrupo compacto máximo del grupo . Entonces, hasta la homotopía espacial , estos subgrupos son el producto de grupos ortogonales (especiales) a partir de los cuales se pueden calcular invariantes algebraico-topológicos. ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p)}$ $\mathrm {O} (q)$ $\mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q)$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (p, q)}$ $\mathrm {S} (\mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q))$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {SO} (p, q)}$ $\mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)$ $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$

En particular, el grupo fundamental de un grupo es el producto de los grupos fundamentales de los componentes y viene dado por: $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ $\pi _{1}(\mathrm {SO} ^{+}(p,q))=\pi _{1}(\mathrm {SO} (p))\times \pi _{1} (\mathrm {SO} (q))$

$\pi _{1}(\mathrm {SO} ^{+}(p,q))$	p = 1	p = 2	$p\geqslant 3$
q = 1	${\ estilo de visualización \ mathrm {C} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ matemáticas {Z}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {C} _ {2}}$
q = 2	${\ estilo de visualización \ matemáticas {Z}}$	$\mathrm {Z} \times \mathrm {Z}$	$\mathrm {Z} \times \mathrm {C} _{2}$
q ≥ 3	${\ estilo de visualización \ mathrm {C} _ {2}}$	$\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {Z}$	$\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$

Dividir grupos ortogonales

En espacios de dimensión uniforme, los grupos medios se conocen como grupos ortogonales divididos , que son de particular interés. Este es el grupo de Lie dividido correspondiente al álgebra de Lie compleja so 2 n (el grupo de Lie de la forma real dividida del álgebra de Lie). Más precisamente, el componente de identidad es una división del grupo de Lie, ya que los componentes que no son de identidad no se pueden recuperar del álgebra de Lie. En este sentido, es lo opuesto a la definición de un grupo ortogonal , que es la forma real compacta de un álgebra de Lie compleja. ${\ estilo de visualización \ matemáticas {O} (n, n)}$ $\mathrm {O} (n):=\mathrm {O} (n,0)=\mathrm {O} (0,n)$

El caso (1, 1) corresponde al grupo multiplicativo de números complejos divididos .

En términos de un grupo de tipo Lie , es decir, la construcción de un grupo algebraico a partir de un álgebra de Lie, los grupos ortogonales divididos son grupos de Chevalley , mientras que los grupos ortogonales no divididos son construcciones un poco más complejas y son grupos de Steinberg .

Los grupos ortogonales divididos se utilizan para construir una variedad de bandera generalizada sobre campos no cerrados algebraicamente.

Véase también

grupo ortogonal
grupo lorentz
grupo de poincaré
Forma bilineal simétrica

Notas

↑ Hall, 2015 , pág. Sección 1.2.3.
↑ Hall, 2015 , pág. Capítulo 1, Ejercicio 1.

Literatura

Brian C Hall. Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental. - Springer, 2015. - V. 222. - (Textos de Posgrado en Matemáticas). — ISBN 978-3319134666 .
Antonio Knap. Grupos de mentiras más allá de una introducción // Progreso en Matemáticas. - Segunda edicion. - Boston: Birkhäuser, 2002. - Vol. 140. - ISBN 0-8176-4259-5 . - ver página 372 para una descripción del grupo ortogonal indefinido
V. L. Popov. Grupo ortogonal // Enciclopedia matemática. - M . : "Enciclopedia soviética", 1977. - T. 4.
José un lobo. Espacios de curvatura constante. — 6to. - Providence, Rhole Island: publicación AMS Chelsea, 2011. - P. 335. - ISBN 978-0-8218-5282-8 .