Desigualdad

La desigualdad en matemáticas es una relación que conecta dos números u otros objetos matemáticos utilizando uno de los signos enumerados a continuación [1] .

Desigualdades estrictas

$a<b$ significa menos que $a$ $b.$
$a>b$ significa más que $a$ $b.$

Las desigualdades son equivalentes . Dicen que los signos y son opuestos ; por ejemplo, la expresión "se ha invertido el signo de la desigualdad" significa que se ha sustituido por o viceversa. $a>b$ $b<a$ $>$ $<$ $<$ $>$

Desigualdades no estrictas

$a\leqslant b$ significa menor o igual que $a$ $b.$
$a\geqslant b$ significa mayor o igual que $a$ $b.$

La tradición del idioma ruso de escribir los signos ⩽ y ⩾ corresponde al estándar internacional ISO 80000-2 . En el extranjero, a veces se utilizan los signos ≤ y ≥ o ≦ y ≧. También se dice que los signos ⩽ y ⩾ son opuestos .

Otros tipos de desigualdades

$a\neq b$ - significa no igual a . $a$ $b$
${\ estilo de visualización a \ gg b}$ significa que el valor es mucho mayor que $a$ $b.$
${\ estilo de visualización a \ ll b}$ significa que el valor es mucho menor que $a$ $b.$

Más adelante en este artículo, a menos que se especifique lo contrario, el concepto de desigualdad se refiere a los primeros 4 tipos.

En matemáticas elementales se estudian las desigualdades numéricas (racionales, irracionales, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales). En general, el álgebra , el análisis , la geometría , las desigualdades también se consideran entre objetos de naturaleza no numérica.

Definiciones relacionadas

Las desigualdades con los mismos signos se denominan desigualdades del mismo nombre (a veces se usa el término "mismo significado" o "mismo significado").

Se permite una desigualdad doble o incluso múltiple, combinando varias desigualdades en una sola. Ejemplo:

a<b<c

es una forma abreviada de un par de desigualdades: y

a<b

{\ estilo de visualización b<c.}

Desigualdades numéricas

Las desigualdades numéricas contienen números reales ( la comparación de más o menos no está definida para números complejos ) y también pueden contener símbolos de incógnitas.Las desigualdades numéricas que contienen cantidades desconocidas se dividen (de manera similar a las ecuaciones ) en algebraicas y trascendentales. Las desigualdades algebraicas, a su vez, se subdividen en desigualdades de primer grado, segundo grado, etc. Por ejemplo, la desigualdad es algebraica de primer grado, la desigualdad es algebraica de tercer grado, la desigualdad es trascendental [2] . ${\ estilo de visualización (x, y, \ puntos).}$ ${\ estilo de visualización 18x <414}$ $2x^{3}-7x+6>0$ $2^{x}>x+4$

Propiedades

Las propiedades de las desigualdades numéricas son, en algunos aspectos, cercanas a las propiedades de las ecuaciones [1] :

Puedes sumar el mismo número a ambos lados de la desigualdad.
Puedes restar el mismo número de ambos lados de la desigualdad. Corolario: en cuanto a las ecuaciones, cualquier término de la desigualdad se puede trasladar a otra parte con el signo contrario. Por ejemplo, se sigue que ${\ estilo de visualización a + b <c}$ $a<cb.$
Ambos lados de la desigualdad se pueden multiplicar por el mismo número positivo .
Se pueden sumar desigualdades del mismo nombre: si, por ejemplo, y entonces Las desigualdades con signos opuestos se pueden restar de manera similar término por término. $a<b$ ${\ estilo de visualización c<d,}$ ${\ estilo de visualización a+c<b+d.}$
Si las cuatro partes de dos desigualdades son positivas, entonces las desigualdades se pueden multiplicar.
Si ambas partes de la desigualdad son positivas, entonces se pueden elevar a la misma potencia (natural), y también logarítmicamente con cualquier base (si la base del logaritmo es menor que 1, entonces se debe invertir el signo de la desigualdad) .

Otras propiedades

Transitividad : si y entonces y análogamente para otros signos. $a<b$ ${\ estilo de visualización b<c,}$ ${\ estilo de visualización a <c}$
Si ambas partes de la desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número negativo , entonces el signo de la desigualdad cambiará al opuesto: mayor que menor que , mayor que o igual a menor que o igual a , etc.

Solución de desigualdades

Si la desigualdad contiene los símbolos de las incógnitas, resolverla significa descubrir la pregunta para qué valores de las incógnitas se satisface la desigualdad. Ejemplos:

{\ estilo de visualización x^{2}<4}

realizado en

{\ estilo de visualización -2<x<2.}

{\ estilo de visualización x ^ {2}> 4}

realizado si o

{\ estilo de visualización x> 2}

{\ estilo de visualización x <-2.}

{\ estilo de visualización x^{2}<-4}

nunca ejecutado (sin soluciones).

{\ estilo de visualización x^{2}>-4}

vale para todos ( identidad ).

X

Atención : si elevas una desigualdad que contiene incógnitas a una potencia par, pueden aparecer soluciones "extra". Ejemplo: si la desigualdad se eleva al cuadrado: entonces aparecerá una solución errónea que no satisface la desigualdad original. Por lo tanto, todas las soluciones obtenidas de esta manera deben verificarse por sustitución en la desigualdad original. ${\ estilo de visualización x> 3}$ ${\ estilo de visualización x^{2}> 9,}$ ${\ estilo de visualización x<-3,}$

Desigualdades de primer grado

La desigualdad de primer grado tiene un formato general: o donde (trabajando con signos y es similar). Para resolverlo, divide la desigualdad entre y si invierte el signo de la desigualdad [3] . Ejemplo: $hacha>b$ $hacha<b,$ $a\neq 0$ $\geqslant$ $\leqslant$ $a$ ${\ estilo de visualización a <0,}$

{\ estilo de visualización 5x-11> 8x + 1.}

Aquí hay términos similares: o

{\ estilo de visualización -3x> 12,}

{\ estilo de visualización x<-4.}

Sistemas de desigualdades de primer grado

Si la misma incógnita está incluida en más de una desigualdad, se debe resolver cada desigualdad por separado y luego comparar estas soluciones, que se deben realizar juntas.

Ejemplo 1 . Del sistema obtenemos dos soluciones: para la primera desigualdad para la segunda: Combinándolas, obtenemos la respuesta: ${\begin{casos}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{casos))$ ${\ estilo de visualización x <2,}$ $x>{2 \over 3}.$ ${2 \over 3}<x<2.$

Ejemplo 2 . Soluciones: y La segunda solución absorbe a la primera, por lo que la respuesta es: ${\begin{casos}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{casos))$ ${\ estilo de visualización x <2}$ $x<{2 \over 3}.$ $x<{2 \over 3}.$

Ejemplo 3 . Soluciones: y son incompatibles, por lo que el sistema original no tiene soluciones. ${\begin{casos}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{casos))$ ${\ estilo de visualización x> 2}$ $x<{2 \sobre 3},$

Desigualdades de segundo grado

La forma general de la desigualdad de segundo grado (también llamada desigualdad cuadrática ):

{\ estilo de visualización x^{2}+px+q>0}

{\ estilo de visualización x^{2}+px+q<0.}

Si la ecuación cuadrática tiene raíces reales , entonces la desigualdad se puede reducir a la forma, respectivamente: $x^{2}+px+q=0$ ${\ estilo de visualización x_ {1}, x_ {2},}$

(x-x_{1})(x-x_{2})>0

(x-x_{1})(x-x_{2})<0.

En el primer caso, y debe tener los mismos signos, en el segundo, diferente. Para la respuesta final, se debe aplicar la siguiente regla simple [4] . ${\ Displaystyle x-x_ {1}}$ ${\ Displaystyle x-x_ {2}}$

Un trinomio cuadrado con diferentes raíces reales es negativo en el intervalo entre las raíces y positivo fuera de este intervalo. $x^{2}+px+q$

Si resulta que la ecuación no tiene raíces reales, entonces su lado izquierdo conserva el mismo signo para todos. Por lo tanto, la desigualdad original de segundo grado es una identidad o no tiene soluciones (ver ejemplos a continuación [5] ). $x^{2}+px+q=0$ $X.$

Ejemplo 1 . Dividiendo por , llevamos la desigualdad a la forma: Habiendo resuelto la ecuación cuadrática, obtenemos las raíces , por lo tanto, la desigualdad original es equivalente a esto: Según la regla anterior, cuál es la respuesta. ${\ estilo de visualización -2x^{2}+14x-20>0.}$ ${\ estilo de visualización -2,}$ ${\ estilo de visualización x^{2}-7x+10<0.}$ ${\ estilo de visualización x^{2}-7x+10=0,}$ ${\ estilo de visualización x_ {1} = 2; x_ {2} = 5,}$ ${\ estilo de visualización (x-2) (x-5) <0.}$ ${\ estilo de visualización 2 <x <5,}$

Ejemplo 2 . Del mismo modo, obtenemos eso y tenemos los mismos signos, es decir, según la regla, o ${\ estilo de visualización -2x^{2}+14x-20<0.}$ ${\ estilo de visualización x-2}$ ${\ estilo de visualización x-5}$ ${\ estilo de visualización x <2,}$ ${\ estilo de visualización x> 5.}$

Ejemplo 3 . La ecuación no tiene raíces reales, por lo que su lado izquierdo conserva su signo para todos . Porque el lado izquierdo es positivo, por lo que la desigualdad original es una identidad (verdadera para todos ). ${\ estilo de visualización x^{2}+6x+15>0.}$ ${\ estilo de visualización x^{2}+6x+15=0}$ $X.$ $x=0$ $X$

Ejemplo 4 . Como en el ejemplo anterior, aquí el lado izquierdo siempre es positivo, por lo que la desigualdad no tiene solución. ${\ estilo de visualización x^{2}+6x+15<0.}$

De manera similar, al factorizar, se pueden resolver desigualdades de mayor grado. Otra forma es construir una gráfica del lado izquierdo y determinar qué signos tiene en diferentes intervalos [6] .

Otras desigualdades

También existen desigualdades fraccionarias racionales, irracionales, logarítmicas y trigonométricas.

Algunas desigualdades conocidas

A continuación se muestran desigualdades útiles en la práctica que se satisfacen de manera idéntica si las incógnitas se encuentran dentro de los límites especificados [7] .

$a+{1 \over a}\geqslant 2,$ donde la igualdad se cumple sólo para ${\ estilo de visualización a> 0.}$ ${\ estilo de visualización a = 1.}$
${\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},$ donde Significado: la media geométrica de dos números no excede su media aritmética . La igualdad sólo se da cuando ${\ estilo de visualización a, b> 0.}$ ${\ estilo de visualización a = b.}$
Desigualdad de medios
Desigualdad de Bernoulli :

{\ estilo de visualización (1 + x) ^ {n} \ geqslant 1 + nx,}

donde es un número positivo mayor que 1.

{\ estilo de visualización x \ geqslant -1, n}

|a+b|\leqslant |a|+|b|

Ver el artículo Valor absoluto para las consecuencias de esta desigualdad .

Signos de desigualdad en lenguajes de programación

El símbolo "no igual" se escribe de manera diferente en diferentes lenguajes de programación.

símbolo	idiomas
!=	C , C++ , C# , Java , JavaScript , Perl , PHP , Python , Wolfram Language
<>	Básico , Pascal , 1C
~=	Lúa
/=	Haskell , Fortran , Ada
#	Modula-2 , Oberón

Códigos de signos de desigualdad

símbolo	imagen	Unicode		nombre ruso	HTML			Látex
símbolo	imagen	el código	título	nombre ruso	hexadecimal	decimal	mnemotécnica	Látex
<	$<$	U+003C	Menos que signo	Menos	<	<	<	<, \sin texto
>	$>$	U+003E	mayor que el signo	Más	>	>	>	>, \textomayor
⩽	$\leqslant$	U+2A7D	Menor que o inclinado igual a	menor o igual	⩽	⩽	No	\leqslant
⩾	$\geqslant$	U+2A7E	Mayor que o inclinado igual a	más o igual	⩾	⩾	No	\geqslant
≤	$\leq$	U+2264	Menos que o igual a	menor o igual	≤	≤	≤	\le, \leq
≥	$\geq$	U+2265	Mayor qué o igual a	más o igual	≥	≥	≥	\ge, \geq
≪	$\ll$	U+226A	Mucho menos que	Mucho menos	≪	≪	No	\ll
≫	$\gg$	U+226B	Mucho mayor que	Mucho más	≫	≫	No	\gg

Véase también

Comparación (programación)

Notas

↑ 1 2 Desigualdades // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3. - S. 999.
↑ Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 177.
↑ Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 178.
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 217-222.
↑ Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 180-181.
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 212-213, 219-222.
↑ Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 174-176.

Literatura

Beckenbach E.F. Desigualdades. — M .: Mir, 1965.
Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales . — M .: Nauka, 1978.
- Reedición: M.: AST , 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 p.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Hardy G. G., Littlewood D. I., Polia D. Desigualdades. - M. : Literatura extranjera, 1948.

Signos matemáticos

más ( + )
menos ( - )
Signo de multiplicación ( · o × )
Signo de división ( : o / )
Óbelo ( ÷ )
Signo de raíz ( √ )
factoriales ( ! )
Signo integral ( ∫ )
nabla ( ∇ )
Signo igual ( = , ≈ , ≡ etc. )
Signos de desigualdad ( ≠ , > , < etc. )
Proporcionalidad ( ∝ )
Corchetes ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Barra vertical ( | )
barra, barra ( / )
Barra invertida, barra invertida ( \ )
Signo de infinito ( ∞ )
Signo de grado ( ° )
Trazo ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Asterisco ( * )
Porcentaje ( % )
ppm ( ‰ )
tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circunflejo ( ˆ )
Más-menos ( ± )
Signo menos-más ( ∓ )
Separador decimal ( , o . )
Carácter de fin de prueba ( ∎ )