Historia de la notación matemática

La historia de la notación matemática es la historia del desarrollo de los símbolos utilizados para escribir de forma compacta ecuaciones y fórmulas matemáticas . Además de los números arábigos hindúes y las letras de varios alfabetos ( latín , incluido el gótico , el griego y el hebreo ), el lenguaje matemático utiliza muchos símbolos especiales inventados en los últimos siglos.

Las designaciones bien pensadas que reflejan las propiedades de los objetos bajo estudio ayudan a evitar errores o malas interpretaciones, transfieren parte del estudio a un nivel técnico y, a menudo, "sugieren" la forma correcta de resolver el problema. Según Alfred Whitehead , una buena notación libera al cerebro de trabajo innecesario, lo que le permite concentrarse en tareas más importantes [1] .

Inicialmente (por ejemplo, en los Principia de Euclides ), los enunciados matemáticos se formulaban verbalmente. Tal registro era engorroso, a menudo ambiguo, y las transformaciones algebraicas requerían calificaciones extraordinarias. François Viet (siglo XVI) hizo una gran contribución al desarrollo de la notación ; en particular, comenzó a usar designaciones de letras en lugar de números específicos. Gradualmente, casi todas las palabras en fórmulas matemáticas (designaciones de operaciones , relaciones de comparación , etc.) fueron reemplazadas por símbolos especiales: las matemáticas adquirieron su propio lenguaje que no requería traducción, un lenguaje con un significado claramente definido de "palabras" y una gramática estricta. , que permite derivar verdaderas otras afirmaciones son verdaderas.

El papel de los símbolos en las matemáticas

Las ventajas de las designaciones simbólicas son la compacidad, la interpretación inequívoca, la facilidad de transformación. Leibniz en una carta a Tschirnhaus (1678) escribió [2] :

Se debe tener cuidado de que la notación sea conveniente para los descubrimientos. Esto se logra en la mayor medida cuando los signos expresan brevemente y, por así decirlo, reflejan la naturaleza más profunda de una cosa; al mismo tiempo, el trabajo de pensar se reduce sorprendentemente.

El historiador alemán Josef Peter Treutlein ( 1845-1912 ) notó sobre el simbolismo que en ninguna parte el contenido intelectual está tan relacionado con la forma de su representación como en las matemáticas, por lo que para desarrollar y profundizar el contenido, a menudo es necesario mejorar. la forma [3] .

Otro historiador de las matemáticas, Moritz Cantor , especifica los requisitos para la notación matemática [4] :

Debe reflejar de forma clara e inequívoca el concepto o la operación para la que está destinado.
Debe ser breve y conveniente (fácil de escribir e imprimir).
Debe ser lo suficientemente flexible para permitir, si es necesario, la extensión de su significado a áreas más amplias.

Estas declaraciones explican la dirección en la que históricamente se ha desarrollado el sistema de notación matemática.

Los antiguos sistemas numéricos y el origen del simbolismo matemático

En cualquier civilización, la notación matemática más antigua es la numeración (registro de números) . De acuerdo con el método de formación de números a partir de caracteres básicos (números), los sistemas de numeración antiguos se dividen en tres tipos [5]

Aditivo (del lat. additio - adición ). Ejemplo: número romano XXX, que consta de tres caracteres romanos "diez" y representa el valor 30.
Sustractivo (del lat. subtractio - resta ). Ejemplo: el número romano IX, donde el símbolo de la unidad está a la izquierda de la decena y por lo tanto se resta de ella.
Multiplicativo (del lat. multiplicatio - multiplicación ). Un ejemplo es el sistema de notación de números chino (ver más abajo ).

Más tarde, apareció un sistema de numeración posicional , en el que el valor numérico de un dígito depende no solo del dígito en sí, sino también de su posición en la entrada del número. Los signos de operación , las relaciones y otras designaciones simbólicas también aparecieron más tarde, inicialmente los algoritmos y las fórmulas se enunciaban verbalmente.

Antiguo Egipto

La numeración egipcia antigua fue al principio similar a la romana posterior : tenía signos separados para 1, 10, 100, ... 10,000,000, combinados de forma aditiva (sumando). Los egipcios escribían de derecha a izquierda, pero primero se escribían los dígitos menos significativos del número, de modo que al final el orden de los números correspondía al moderno. La escritura hierática ya tiene designaciones separadas para cada dígito del 1 al 9 y abreviaturas para diferentes decenas, centenas y miles [6] .

Los signos especiales denotaban fracciones de la forma , así como fracciones prácticamente importantes . No tenían un concepto general de fracción , y todas las fracciones no canónicas se representaban como la suma de fracciones alícuotas . Las expansiones típicas se resumían en engorrosas tablas [6] . ${\ fracción {1}{n}}$ ${\frac{2}{3))$ ${\frac{m}{n}}$

Ejemplos de imágenes de fracciones comunes

1/2

1/3

2/3

1/4

1/5

Un ejemplo de escritura de fracciones del Rhinda Papyrus [7] :

5 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 7 + 1 ⁄ 14 (valor: 5 5 ⁄ 7 )

Para denotar las operaciones de suma y resta, se utilizó uno de los jeroglíficos:

Si la dirección de las "patas" de este carácter coincidía con la dirección de la escritura, entonces significaba "suma", en otros casos significaba "resta". No había notaciones especiales para la multiplicación y la división [8] .

Babilonia

Los sumerios y los babilonios utilizaron el sistema numérico posicional sexagesimal . Escribían, como los europeos, de izquierda a derecha. Sin embargo, el registro de los 60 dígitos requeridos en escritura cuneiforme fue peculiar. Solo había dos signos para los números, denotémoslos como E (unidades) y D (decenas); más tarde hubo un icono para el cero. Los números del 1 al 9 se representan como E, EE, ... EEEEEEEEE. Luego vino D, DE, ... DDDDDEEEEEEEE (59). Así, el número se representaba en sistema sexagesimal posicional, y sus dígitos sexagesimales, en decimal aditivo. Las fracciones se escribieron de la misma manera. Para las fracciones populares 1/2, 1/3 y 2/3 había signos especiales [9] .

Al describir los algoritmos para resolver ecuaciones, los signos de las incógnitas eran sumerios, de lo que podemos concluir que estos algoritmos son antiguos; estos signos se utilizaron como abreviatura de incógnitas en el álgebra moderna [10] .

China

Los números chinos fueron designados por jeroglíficos especiales, que aparecieron en el segundo milenio antes de Cristo. e., y su marca fue finalmente establecida en el siglo III a. mi. Estos jeroglíficos todavía están en uso hoy. La forma china de escribir números era originalmente multiplicativa . Por ejemplo, el número 1946 se escribió como一千九百四十六 - "mil-nueve-cien-cuatro-diez-seis". Sin embargo, en la práctica, los cálculos se realizaron en el tablero de conteo suanpan , donde la notación de los números era diferente: posicional, como en la India, y, a diferencia de los babilonios, decimal. El cero se indicó por primera vez con un espacio vacío, un jeroglífico especial que apareció alrededor del siglo XII d.C. mi. Para la multiplicación y división en el tablero de conteo, se han desarrollado algoritmos eficientes que se describen verbalmente en los manuales [11] .

En el siglo III d.C. mi. bajo la influencia del sistema decimal de medidas tradicional en China, también aparecieron las fracciones decimales . En las fuentes escritas, las fracciones decimales se representaron en el formato tradicional (no posicional) durante algún tiempo, pero gradualmente el sistema posicional reemplazó al tradicional [12] .

Antigua Grecia

La numeración griega , como la egipcia y la romana, era aditiva, es decir, se sumaban los valores numéricos de los caracteres. Su primera versión ( ático o herodiano ) contenía signos alfabéticos para 1, 5, 10, 50, 100 y 1000. En consecuencia, se dispuso un tablero de conteo ( ábaco ) con guijarros. Un guijarro perforado especial indicaba cero. Más tarde (a partir del siglo V a. C.), en lugar de la numeración ática, se adoptó la numeración alfabética: de 24 letras del alfabeto griego , las primeras 9 denotaban los números del 1 al 9, las siguientes 9 letras eran decenas, el resto eran cientos Para no confundir números y letras, se dibujó un guión sobre los números. Los números mayores de 1000 se escribieron posicionalmente, marcando dígitos adicionales con un trazo especial (abajo a la izquierda). Las marcas especiales permitieron representar números mayores de 10.000 [13] . Los antiguos científicos griegos fueron los primeros en escribir fracciones verticalmente; sin embargo, su numerador no era más alto, sino más bajo que el denominador, y no había una línea de fracción [14] .

Al principio, los griegos no tenían simbolismo algebraico. La única excepción pueden considerarse letras breves de puntos geométricos , así como segmentos de línea o arcos circulares en sus puntos finales.

El pináculo del álgebra antigua fue obra de Diofanto de Alejandría (siglo III d. C.). Muy adelantado a su tiempo, introdujo el simbolismo de letras, hasta ahora solo para una cantidad desconocida, que designa con una letra ( zeta ). Diofanto también usó símbolos especiales para los poderes de lo desconocido, hasta el sexto, y sus recíprocos. Un símbolo especial (letra invertida ) significaba la resta del número que le seguía. La letra ( iota , del griego ἴσος 'igual') desempeñaba el papel de signo igual. Todas estas innovaciones permitieron escribir de forma general, por ejemplo, las reglas para multiplicar potencias (incluidas las negativas), la regla de los signos al multiplicar por un número negativo y métodos para resolver ecuaciones indefinidas en números enteros [15] [ 16] . $\zeta$ $\psi$ $\iota$

India

Ya en los antiguos textos indios en sánscrito, se proporcionaron medios para nombrar números en el sistema numérico decimal [17] , hasta . $10^{53}$

La numeración india ha pasado a la historia por dos razones. Hacia el siglo VI a.C. mi. en India aparecieron signos separados para los números del 1 al 9, que se convirtieron en el prototipo de los números europeos modernos; se desconoce su autor, pero las tres primeras denominaciones coinciden con las chinas. Aproximadamente 500 d.C. mi. Científicos indios inventaron el sistema posicional decimal para escribir números. En el nuevo sistema, realizar operaciones aritméticas resultó ser inmensamente más fácil que en los antiguos, con torpes códigos de letras o números sexagesimales . A los efectos del nuevo sistema, se requería la introducción de un nuevo número, el cero . Los estudiosos no están de acuerdo sobre si esta idea llegó a la India de los griegos, de China o si los indios inventaron este importante símbolo por su cuenta [18] .

Los matemáticos indios continuaron el desarrollo del simbolismo matemático, aunque siguieron su propio camino. Habiendo reducido los términos sánscritos correspondientes a una sílaba, los usaron como símbolos de incógnitas, sus poderes y términos libres de ecuaciones. Por ejemplo, la multiplicación se denotaba con el signo gu (de la palabra gunita , multiplicado). La resta se indicaba con un punto encima del sustraendo o con un signo más a la derecha. Si había varias incógnitas, se les asignaban colores condicionales para la definición. La raíz cuadrada se denotaba con la sílaba " mu ", abreviatura de mula (raíz). Para la denominación de los grados, se utilizaron abreviaturas de los términos " varga " (cuadrado) y " ghava " (cubo) [19] :

La licenciatura	$x^{2}$	$x^{3}$	$x^{4}$	$x^{5}$	${\ estilo de visualización x^{6}}$	$x^{7}$	${\ estilo de visualización x^{8}}$	${\ estilo de visualización x^{9}}$
Nombre	Washington	jajaja	wah wah	va gha ghata	wa gh	wa va gha ghata	wah wah wah	gh gh

El registro de las fracciones, a diferencia de los griegos, se elaboraba según las reglas modernas: el numerador sobre el denominador, aunque era costumbre escribir la parte entera de la fracción mixta no a la izquierda, sino encima del numerador. La suma y la multiplicación de fracciones se denotaron de la misma manera: ambas fracciones simplemente se escribieron una al lado de la otra; el tipo de operación tenía que reconocerse a partir de las explicaciones del texto. No había signo igual , el lado derecho de la ecuación se escribía debajo del lado izquierdo, recortando los monomios por las mismas potencias de la incógnita [20] .

Rusia

El sistema numérico cirílico ("numeración eslava") en Rusia apareció junto con el alfabeto cirílico (siglo IX) y adoptó la costumbre griega de designar números utilizando letras marcadas con un icono especial . Se utilizaron letras similares al griego, pero específicamente eslavas ( b , zh , w , etc.) no recibieron valores numéricos. Se hizo una excepción para las letras h y ts , que adoptaron los valores numéricos de las letras griegas arcaicas "koppa" y " sampi ". Los números se escribieron como en el sistema romano-griego, de forma aditiva: por ejemplo, mg significaba 40 + 3. Para números grandes (a partir de 1000) se utilizaron marcas especiales [21] . El sistema numérico cirílico se usó entre los eslavos orientales hasta el siglo XVIII, después de lo cual fue reemplazado en todas partes, con la excepción de la literatura eclesiástica, por el sistema moderno.

Otros pueblos

Los artículos están dedicados a los sistemas de numeración de otros pueblos:

Desarrollo histórico del simbolismo

Edad Media

Los matemáticos de los países árabes en el período comprendido entre el siglo VII y el XIII contribuyeron al desarrollo del conocimiento antiguo e indio. Entre otras cosas, adoptaron la numeración posicional decimal india y dominaron (aparentemente independientemente de los chinos) las fracciones decimales . Al-Uklidisi fue el primero en describir las reglas para trabajar con fracciones decimales en el siglo X , la parte entera de la fracción estaba separada de la fraccionaria por un apóstrofe . Al-Kashi publicó una descripción detallada de la aritmética decimal en el siglo XV, pero incluso entonces las fracciones decimales no se usaban mucho en el mundo islámico. Para separar la parte fraccionaria del número, al-Kashi usó una línea vertical o tinta de un color diferente. Aunque el término " álgebra " es de origen árabe, no existía el álgebra simbólica en los países islámicos, todas las fórmulas se enunciaban verbalmente; la excepción fueron los trabajos del matemático hispano-morisco al-Kalasadi (1486) y sus alumnos. Al-Kalasadi inventó signos para lo desconocido, su cuadrado, raíz cuadrada y signo igual, pero no recibieron distribución [22] .

A partir del siglo XII, obras antiguas y árabes comenzaron a penetrar en Europa y a ser traducidas al latín . Al mismo tiempo, especialmente en el entorno comercial, las figuras indias y las reglas para tratar con ellas se están difundiendo rápidamente. En los primeros escritos de los matemáticos europeos, todas las fórmulas todavía se expresan verbalmente. El primer esbozo (no muy conveniente) del simbolismo algebraico lo dio Luca Pacioli , el mayor algebrista del siglo XV. Introdujo en el uso general la notación para la operación de suma y resta (del italiano piu, meno ), bastante similar a más y menos posteriores . Para la raíz cuadrada , Pacioli utilizó las letras estilizadas propuestas por Fibonacci , a partir de la palabra Radix (raíz), con una nota para raíces de grado superior al segundo. Pacioli [23] ejemplo de entrada : ${\ tilde {p}}$ ${\ tilde {m}}$ $R_{x}$

R_{x}.6.{\tilde {m}}.R_{x}.2.

notación contemporánea:

{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}.

Pacioli propuso sílabas cortas para lo desconocido y sus grados, que recuerdan el sistema indio, pero en 1484 Nicolás Chuquet publicó un borrador más conveniente; por ejemplo, el monomio moderno de Schuke se escribió simplemente porque otras ideas prometedoras de Schuke incluyen el uso de un signo menos como signo de números negativos y el subrayado de expresiones complejas en lugar de corchetes modernos [24] [25] . ${\ estilo de visualización 12x^{3}}$ ${\ estilo de visualización 12^{3}.}$ ${\ tilde {m}}$

Otro paso importante lo dio la escuela algebraica alemana del siglo XV, que se autodenominó cossists (Pacioli llamó a la incógnita cosa ). En el libro de texto de aritmética de Johann Widmann (1489), los símbolos de suma y resta de Pacioli fueron reemplazados por los modernos más y menos. Los cossistas denotaban los grados de lo desconocido mediante una combinación de letras góticas , estos "signos cósmicos" ganaron cierta popularidad (su influencia es notable incluso en la "Aritmética" de Magnitsky , 1703) [26] .

siglo XVI. Simon Stevin y François Viet

Un siglo después de al-Kashi, se publicó The Tenth (1585) de Simon Stevin , con el que se inició el uso generalizado de las fracciones decimales en Europa. Para mayor claridad, Stevin indicó sus números en círculos sobre los lugares decimales (ver figura). Por el mismo medio escribió expresiones algebraicas ; la cifra en el círculo denotaba el número de la variable, delante de ella, si era necesario, se indicaba el grado de esta variable: sec (cuadrado) o ter (cubo). Stevin usó las letras M y D, respectivamente, como símbolos de multiplicación y división. Stevin usó libremente exponentes fraccionarios, también rodeados por él [27] .

Otras notaciones establecidas que aparecieron en el siglo XVI incluyen el signo igual (1557, Robert Record ) y el punto decimal ( Giovanni Magini , 1592). El matemático alemán Christoph Rudolf de la escuela Cossist reemplazó la notación de Pacioli para la raíz cuadrada con el signo radical moderno (1525) [28] . Un destino inusual corrió con los números complejos descubiertos en el siglo XVI : introducidos al principio como símbolos condicionales sin sentido, adquirieron un significado claro dos siglos más tarde y resultaron de gran utilidad práctica como objeto matemático legal .

A finales del siglo XVI se publicaron las obras del matemático francés François Vieta , que revolucionaron el álgebra. Viet se fijó el objetivo de desarrollar un nuevo lenguaje, una especie de aritmética generalizada, que haría posible realizar investigaciones matemáticas con una profundidad, generalidad y poder probatorio previamente inalcanzables. En su investigación, Viet resuelve inmediatamente problemas en forma general y solo luego da ejemplos numéricos. Denotó con letras no solo las incógnitas, que ya se habían encontrado antes, sino también todos los demás parámetros , para los que acuñó el término " coeficientes " (literalmente: contribuyendo ). Antes de Vieta, Regiomontanus , Christoph Rudolf , Adam Rize , Gerolamo Cardano y Michael Stiefel encontraron ocasionalmente la designación de operandos de leyes algebraicas y datos iniciales de ecuaciones mediante símbolos de letras , pero solo Vieta pudo evaluar correctamente las posibilidades de tal enfoque y ponerlo en la base de su álgebra [29] [30 ] .

Vieta usó solo letras mayúsculas para nombrar variables (como en la geometría antigua): vocales para incógnitas, consonantes para coeficientes. De los signos de las operaciones , utilizó tres: más , menos y una barra de fracción para la división ; la multiplicación se denotaba con la preposición latina en . En lugar de corchetes, él, siguiendo a Shuka, subrayó la expresión resaltada en la parte superior (en varios casos, Viet usó corchetes ). Los exponentes de Vieta todavía se registran verbalmente. Por ejemplo, en el tratado " Sobre el análisis y mejoramiento de ecuaciones " se escribe la siguiente ecuación [29] :

A\cubus+B\plano\ 3\in\ A\aequari\ Z\solido\ 2

En notación moderna:

{\ estilo de visualización x^{3}+3b^{2}x=2z^{3))

El nuevo sistema, a pesar de su engorroso y limitaciones, hizo posible describir de manera simple y clara las leyes generales de la aritmética y los algoritmos de cálculo; con su ayuda, Viet hizo muchos descubrimientos matemáticos. El simbolismo de Vieta fue inmediatamente apreciado por científicos de diferentes países, quienes comenzaron a mejorarlo; esto se refería principalmente a los signos de las operaciones , incluida la elevación a una potencia y la extracción de una raíz .

Siglo XVII

Simbolismo algebraico

En el siglo XVII, el sucesor de la creación del álgebra simbólica después de Vieta fue el matemático inglés Thomas Harriot , su principal obra fue publicada póstumamente en 1631. Harriot simplificó el simbolismo de Vieta y acortó la notación de fórmulas: en lugar de letras mayúsculas, usó letras minúsculas, apoyó el signo igual de Record , reemplazó los grados con multiplicación: en lugar de moderno . La introducción de Harriot de los signos de comparación (anteriormente escritos en palabras: menos, más ) fue un gran logro. Wallis propuso una variante de los símbolos de comparación no estricta en 1670 [31] , pero fue Pierre Bouguer (1734) [32] quien la hizo ampliamente utilizada . Harriot separó los coeficientes de las letras con un punto, de modo que este punto en realidad desempeñó el papel de un signo de multiplicación, por ejemplo: (notación moderna: Cabe señalar que fue el primero en transferir sistemáticamente todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación [33] . ${\ estilo de visualización aaa}$ ${\ estilo de visualización a^{3}}$ $<\ \>$ $\leqslant \ \ \geqslant$ $aaa-3.baa+3.bba$ $a^{3}-3ba^{2}+3b^{2}a).$

Albert Girard (1626) y William Oughtred (1631) introdujeron sus mejoras . Girard agregó paréntesis y un signo más-menos . La raíz cuadrada para esta época ya tenía contornos similares a los modernos; Girard propuso escribir el exponente de la cúbica y otras raíces de alto grado sobre el signo del radical, y esta construcción se mantuvo en matemáticas [28] [34] [35] .

El mérito de Othred es la introducción de los siguientes símbolos [36] [37] : el signo de multiplicación (slash cross ), el signo de división (slash ) y el símbolo paralelo . Los historiadores estiman que Otred utilizó unas 150 notaciones matemáticas diferentes, propias y ajenas. Sin embargo, la mayoría de ellos no resistieron la prueba del tiempo; por ejemplo, las construcciones para , respectivamente, o para la raíz cúbica fueron reemplazadas por símbolos más exitosos [38] . $\veces$ $/$ $\|$ $Aq,Aqq$ ${\ estilo de visualización A^{2},A^{3}}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {}} c}$

En el siglo XVII, muchos matemáticos destacados llegaron a la conclusión de que el exponente debe expresarse como un número explícito y no codificarse con una designación base (como con Cossists) o abreviaturas verbales como Q (cuadrado) o C (cubo), porque de lo contrario sería imposible escribir tales reglas Las acciones con grados, como , y las transformaciones algebraicas requieren un esfuerzo mental excesivo. Girard, Erigon y otros matemáticos [39] propusieron opciones de diseño para registrar el indicador . ${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n))$

El lenguaje algebraico recibió un cariz prácticamente moderno a mediados del siglo XVII de la mano de Descartes . Sugirió usar las letras iniciales del alfabeto para los parámetros conocidos: y para los parámetros desconocidos, las últimas letras: Descartes formó un registro moderno de grados: con el exponente a la derecha y encima de la variable; hacia el final del siglo, Newton extendió esta notación a exponentes fraccionarios y negativos. F. Cajori caracteriza la notación cartesiana de grados como el simbolismo más exitoso y flexible de todo el álgebra: no solo facilita las transformaciones, sino que estimuló la expansión del concepto de exponenciación a exponentes negativos, fraccionarios e incluso complejos , así como la apariencia en matemáticas de potencia y funciones exponenciales ; todos estos logros serían difíciles de implementar usando las designaciones del siglo XVI [40] ${\ estilo de visualización a, b, c \ puntos,}$ ${\ estilo de visualización x, y, z.}$ ${\ estilo de visualización x^{3},}$

El simbolismo algebraico de Descartes fue adoptado casi por completo por las generaciones posteriores de científicos, solo el inusual signo igual cartesiano, que obtuvo cierta distribución en Francia y Holanda, fue reemplazado por un símbolo más exitoso Robert Record . Además, se eliminaron las restricciones a los coeficientes, cuyos valores Descartes consideraba por defecto siempre no negativos, y marcó los símbolos de valores negativos al frente con un signo menos. Si se desconocía el signo del coeficiente, Descartes anteponía puntos suspensivos [41] . El matemático holandés Johann Hudde ya en 1657 permitió que las variables literales tomaran valores de cualquier signo [42] . La monografía de Newton " Universal Arithmetic " (1707), que tuvo cinco reimpresiones, sin contar las traducciones, utiliza la notación de Descartes y el signo igual de Record. La unificación de la notación algebraica se completó básicamente a finales del siglo XVII [41] .

Geometría

A principios del siglo XVII, ya existían varios símbolos comunes en geometría: los puntos se marcaban con letras latinas mayúsculas, los segmentos de línea, los arcos de curvas, los triángulos y otras figuras se indicaban con letras de puntos fronterizos, etc. Se denotaba un ángulo recto . por la letra d (del francés droit 'recto'). En 1634, Pierre Erigon introdujo los símbolos de ángulo y , que significa " perpendicular " [43] . Desde la antigüedad también se ha utilizado el símbolo paralelo , coincidiendo con el moderno signo igual ; después de la aparición de este último, para evitar confusiones, el signo de paralelismo se giró verticalmente [37] : . $AB,{\widehat {ab)),ABC$ $\ángulo$ $\perp$ $\|$

A la vuelta de los siglos XVII-XVIII, aparecieron varios símbolos geométricos más nuevos. El matemático inglés William Jones utilizó por primera vez la notación de número (1706). Esta notación fue generalmente aceptada por Euler en el siglo XVIII [44] . Al mismo tiempo, Leibniz inventó símbolos para indicar la similitud o congruencia de figuras geométricas [45] . $\Pi$ ${\ estilo de visualización \ sim \ \ cong}$

Análisis matemático

Cuando, a fines del siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz crearon una vasta rama nueva de las matemáticas, el análisis matemático , surgió la cuestión de desarrollar una notación conveniente para ella. Newton casi no hizo esto, y de la notación que propuso en el análisis matemático , solo quedó la forma de denotar la derivada temporal con un punto ubicado sobre el símbolo de la función, por ejemplo: Esta notación es inconveniente para derivadas de órdenes superiores (más de el segundo). Newton también contribuyó a la consolidación en la ciencia de los símbolos infinitesimales ( "O" grande y "o" pequeña ), que habían sido propuestos previamente por el matemático escocés James Gregory . En el campo del simbolismo, a Newton también se le ocurrió la idea de usar índices para nombrar objetos individuales de un conjunto específico: [46] [47] . ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$ ${\ estilo de visualización x_ {1}, x_ {2} \ puntos}$

Newton no ofreció un símbolo para la integral , aunque probó varias opciones: una barra vertical sobre una función, así como un símbolo cuadrado que precede o bordea una función. Incluso en Inglaterra, estas variantes no se generalizaron; de los principales matemáticos, solo la estudiante de Newton, Brooke Taylor (1715), las utilizó. En sus " Principios ", Newton, en varios lugares, denota las funciones mismas en letras mayúsculas y sus derivadas ( velocidades ), lo mismo, pero en minúsculas [48] .

Leibniz estuvo más atento al desarrollo de la notación. Durante varios años, pensó cuidadosa y pacientemente en varias opciones de términos y designaciones, las discutió con colegas, luego seleccionó las mejores, las unió en un solo sistema y las popularizó activamente. Leibniz es el autor de la notación moderna para diferencial , derivada (incluidos los órdenes superiores) e integral. Casi todas sus innovaciones en esta área se enraizaron en la ciencia, porque el simbolismo de Leibniz, en contraste con el de Newton, reflejaba claramente las características operativas de los métodos de análisis [49] [50] .

Un ejemplo es la conocida fórmula para cambiar una variable en una integral : ${\ estilo de visualización x = \ varphi (t)}$

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot {d\varphi (t) \over dt}dt

Muestra claramente por qué Leibniz indica bajo la integral no la variable de integración en sí misma, sino su diferencial, solo que en este caso la fórmula correcta se obtiene puramente algebraicamente, "sin ningún esfuerzo adicional de pensamiento" [51] .

Siglo XVIII

Leonhard Euler , un destacado matemático del siglo XVIII, hizo importantes contribuciones a la notación. Euler dio nombres a tres objetos numéricos fundamentales: e para el " número de Euler ", para la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro , e i para la unidad imaginaria [52] . También introdujo el símbolo de la integral doble sobre un área plana arbitraria (1769), el signo de la suma (1755) [53] , el signo ("no igual") [54] . $\Pi$ ${\ símbolo de negrita {\ Sigma))$ $\neq$

Simon Lhuillier en 1787 propuso uno de los símbolos más importantes del análisis: la designación del límite , cuyo "pulido" por parte de diferentes matemáticos continuó hasta finales del siglo XIX [55] .

Siglo XIX

Carl Friedrich Gauss hizo una contribución significativa a la notación a principios del siglo XIX . Es el autor de los símbolos generalmente aceptados de la función " parte entera ": y la función de Euler , el signo del producto: (1812) y el simbolismo de las comparaciones de módulos [56] . $[X]$ ${\símbolo en negrita {\Pi ))$

En el siglo XIX, continuó la formación del simbolismo del análisis matemático . Weierstrass introdujo el símbolo del valor absoluto en 1841 . El símbolo ∂ comenzó a denotar la derivada parcial [47] [57] . Se estableció un diseño moderno para los límites de una integral definida ( Fourier , 1816), así como para integrales curvilíneas , de superficie y de volumen [58] . A finales de siglo, se estableció básicamente la notación estándar para las funciones de análisis más importantes.

En el siglo XIX, aparecieron muchas ramas nuevas de las matemáticas, que requerían el desarrollo de notaciones convenientes específicas para ellas. En particular, en álgebra lineal , surgió un diseño generalmente aceptado de matrices , determinantes y operaciones con ellos. Con esta actividad se conecta la creación y el inicio del uso generalizado del cálculo vectorial y el análisis vectorial , lo que provocó el surgimiento de un rico simbolismo para designar vectores, tensores y operaciones con ellos [59] .

En el siglo XIX se sentó el comienzo de un largo trabajo de formalización de la lógica matemática , que continuó en el siglo XX. Los primeros símbolos que reemplazaron las uniones "por lo tanto" y "porque" fueron propuestos por Johann Rahn en el siglo XVII. Leibniz no propuso ningún nuevo simbolismo en sus obras sobre los fundamentos de la lógica matemática [60] . Los sistemas ampliados de notación lógica fueron publicados simultáneamente por los matemáticos ingleses August de Morgan y George Boole en 1847. El simbolismo de De Morgan estaba lejos de ser moderno, a veces engorroso, y Boole trató de no inventar nuevos símbolos (utilizó los signos aritméticos habituales de las operaciones, a los que dio un significado lógico), pero de hecho definió símbolos para operaciones lógicas básicas: conjunción , disyunción y negación . Así, se creó el primer esbozo de un álgebra para objetos lógicos (" álgebra booleana ") y se desarrollaron las reglas de las transformaciones lógicas [61] .

A finales del siglo XIX aparecieron los primeros símbolos de la teoría de conjuntos en las obras de Georg Cantor , que trataban principalmente de la cardinalidad de los conjuntos básicos de las matemáticas y de las operaciones con signos de potencia. Dos monografías de Gottlob Frege (1879 y 1893) constituyeron una nueva etapa ideológica en la lógica matemática , pero el simbolismo lógico desarrollado por Frege fracasó y, aparte de las ideas generales y el “signo de deducibilidad” , poco quedó en la ciencia. Casi simultáneamente, se publicaron los trabajos de Ernst Schroeder (1877 y 1890) y Giuseppe Peano (1895 y 1897) con símbolos originales, algunos de los cuales (en particular, el cuantificador existencial ∃, los símbolos "contiene" ∋ y "contiene" ∈ ) permaneció en la ciencia. ${\ estilo de visualización \ vdash}$

En un artículo de 1895, Peano afirmó con confianza: uno puede cambiar la forma de los símbolos, uno puede quitar algunos y agregar otros, pero “ahora podemos expresar todas las declaraciones matemáticas con una pequeña cantidad de signos que tienen un significado exacto y obedecen bien. -reglas definidas” [62] .

Siglo XX

En el siglo XX, se estandarizó la notación para el intervalo de los números reales: [63] . ${\ estilo de visualización (a, b), \ [a, b]}$

Parte de los axiomas de lógica de Principia Mathematica en la notación de la primera edición (símbolo ⊃ implicación denotada , ahora símbolo de uso más común )

\flecha correcta

✸1.2 . ⊦ : pags ∨ pags . ⊃ . pág .

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . pag ∨ q .

✸1.4 . ⊦ : pags ∨ q . ⊃ . q ∨ pag .

✸1.5 . ⊦ : pags ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( pag ∨ r ).

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : pags ∨ q . ⊃ . p∨r . _ _

Como se mencionó anteriormente, dos nuevas ramas de las matemáticas que surgieron a finales de los siglos XIX y XX, la lógica matemática y la teoría de conjuntos , necesitaban un amplio conjunto de nuevos símbolos para operaciones lógicas y de teoría de conjuntos . Los matemáticos han propuesto más de una docena de tales sistemas de notación, de los cuales el tiempo ha seleccionado las opciones más simples [64] . El seminal Principia Mathematica de Whitehead y Russell avanzó significativamente tanto en la teoría como en el simbolismo de la lógica matemática; Se tomó como base la notación Peano en un estilo mejorado. Además de la notación lógica, Whitehead y Russell en su libro usan el simbolismo de la teoría de conjuntos, que está en gran parte relacionado con ella y fue cubierto parcialmente en los trabajos de Peano. Los autores enumeraron los objetivos del uso intensivo del simbolismo formal en este libro [65] ;

Es necesario proporcionar una comprensión inequívoca por parte del lector del material de un alto grado de abstracción.
El formalismo bien pensado ayuda a la intuición humana a comprender los motivos y las conexiones ideológicas temáticas.
La brevedad del registro simbólico facilita su percepción visual.
Con la ayuda del simbolismo, el razonamiento lógico puede extenderse a áreas que normalmente se suponía que eran inaccesibles a la consideración matemática.

En la segunda mitad del siglo XX, se necesitó un trabajo extenso en la creación de nuevos símbolos en el desarrollo de lenguajes de programación . El problema es que los alfabetos de estos idiomas se basaron en la codificación de caracteres ASCII ( siete u ocho bits), que no contiene muchas de las características de diseño familiares en matemáticas, en particular, no tiene superíndices ni subíndices. muchos signos diacríticos , muchos caracteres especiales (signo raíz, más o menos), etc. [66] Por ejemplo, la representación cartesiana de la exponenciación resultó ser muy exitosa desde un punto de vista algebraico, pero la ausencia de una operación explícita sign nos obliga a implementar esta importante herramienta en un lenguaje de programación de una manera diferente, y esto se hace de manera diferente en diferentes lenguajes (ver el artículo Exponenciación para más detalles ). Por ejemplo, en Fortran se codifica como en BASIC - as , y algunos lenguajes (por ejemplo, C o Pascal ) no contienen en absoluto el símbolo de operación de exponenciación y utilizan funciones de biblioteca para este fin [67] . $un ^ {b}$ a ** b,a^b

La situación es similar con otros símbolos prácticamente importantes: índices de elementos de arreglos (generalmente encerrados en cuadrados o paréntesis), la operación de obtener el resto de la división de enteros, operaciones lógicas y de bits , etc. La falta de unificación de tales designaciones, a pesar de la la aparición de las normas internacionales ISO 31-11 e ISO 80000-2 sigue siendo una práctica común.

Historia de personajes individuales

Álgebra

Objetos

$0123456789$

Para designar números en países con escritura jeroglífica (Antiguo Egipto, China), se usaron jeroglíficos especiales, y en países con un alfabeto fonético, al principio generalmente se usaban letras para esto, a menudo con una marca especial. Los números romanos construidos de esta manera a veces todavía se usan en la actualidad. En la India desde el siglo VI a.C. mi. se introdujeron signos especiales para cada dígito del 1 al 9. Habiendo cambiado un poco, estos signos se convirtieron en números modernos [68] .

En relación con la invención del sistema posicional decimal para escribir números (alrededor del año 500 dC), se necesitaba un nuevo signo para el cero . El primer código para el cero, que parece un círculo familiar para nosotros, se encontró en la propia India en una inscripción de 876 de Gwalior [69] . Se encontraron inscripciones anteriores con la imagen del cero en el sudeste asiático : una inscripción en una tablilla de piedra de las ruinas de un templo que data de 683 del antiguo reino jemer de Chenla (según la división administrativa moderna, el distrito de Sambour en la provincia camboyana de Kratie ), y que data del mismo año (o del siguiente) una inscripción de las cercanías de Palembang (Sumatra, Indonesia), que en ese momento era la capital del antiguo reino malayo de Srivijaya ; en el primer caso, el cero se representa como un punto grueso, en el segundo, como un pequeño círculo [70] [71] .

Académicos y aficionados han ofrecido docenas de explicaciones de por qué los números tomaron esta forma; una de estas hipótesis es conocida en la exposición de A. S. Pushkin [72] . F. Cajori , como resultado del análisis de estas explicaciones, llega a la conclusión de que todas son fantasías pseudocientíficas [73] .

${\ estilo de visualización \ {\ frac {7} {12}}}$

El registro de "dos pisos" de una fracción ordinaria fue utilizado por los antiguos matemáticos griegos , aunque escribieron el denominador sobre el numerador , pero no había una línea de la fracción. Los matemáticos indios han subido el numerador; a través de los árabes , este formato fue adoptado en Europa. La línea fraccionaria fue introducida por primera vez en Europa por Leonardo de Pisa (1202), pero entró en uso solo con el apoyo de Johann Widmann (1489) [14] .

$3{,}62$

Las fracciones decimales se encuentran por primera vez en China alrededor del siglo III d.C. mi. al calcular en el tablero de conteo ( suanpan ) [74] . El matemático persa Jamshid al-Kashi se autoproclamó inventor de las fracciones decimales, aunque se encuentran en las obras de Al-Uqlidisi , que vivió 5 siglos antes [75] . En Europa, las fracciones decimales se escribieron originalmente como números enteros en alguna escala acordada. Las primeras fracciones decimales en Europa fueron descritas por Immanuel Bonfils alrededor de 1350, pero se generalizaron solo después de la aparición de The Tenth (1585) de Simon Stevin [76] . Para mayor claridad (y también debido a la falta de un separador decimal generalmente reconocido ), Stevin indicó explícitamente el número de cada lugar decimal; por ejemplo, representó el número de la siguiente forma: . Un diseño tan complejo encontró pocos seguidores (por ejemplo, Ozanam ), la mayoría de los matemáticos lo consideraron redundante [77] . ${\ estilo de visualización 0{,} 3759}$ ${\ estilo de visualización 3^{(1)}7^{(2)}5^{(3)}9^{(4)))$

El punto decimal , que separa la parte fraccionaria del número del entero, fue introducido por el astrónomo italiano G. A. Magini (1592) y Napier (1617, sin embargo, Napier también usó un punto). Anteriormente, se usaban otros símbolos en lugar de una coma: Viet usaba una línea vertical: 3 | 62 o escribía la parte fraccionaria en números más pequeños [78] ; otras opciones incluyen un cero entre paréntesis: 3 (0) 62 o dos puntos. Algunos autores, siguiendo a al-Kashi , utilizaron tinta de diferentes colores [14] [79] . En Inglaterra, en lugar de la coma, se prefirió utilizar el punto propuesto por Clavius en 1593, que se colocaba en medio de una línea; esta tradición fue adoptada en EE. UU., pero el punto se movió hacia abajo para no confundirlo con el signo de multiplicación de Leibniz [80] . La falta de unificación del símbolo separador decimal hizo que aparecieran muchas propuestas nuevas en los siglos XVIII y XIX, ninguna de las cuales fue generalmente aceptada [81] . Un factor nuevo en la segunda mitad del siglo XX fue que la notación de constantes numéricas en la mayoría de los lenguajes de programación permite solo el período angloamericano como separador.

${\ estilo de visualización 706.510.941{,} 252}$

La agrupación de dígitos de números largos es conveniente para su rápida evaluación y comparación. Leonardo de Pisa (Fibonacci) ya había hecho una recomendación al respecto en la primera edición de su Libro del ábaco (1202); aconsejó marcar centenas, centenas de miles, etc. con un trazo desde arriba, y al mismo tiempo marcar miles, millones, etc. con un trazo desde abajo. En la segunda edición del Libro del ábaco (1228), Fibonacci dio otra recomendación: marcar los tripletes de dígitos con un paréntesis desde arriba [82] , por ejemplo: ${\widehat {678}}\ {\widehat {935}}\ {\widehat {784}}\ {\widehat {105}}\ 296.$

En el siglo XIII, Sacrobosco propuso separar los miles con puntos. Luca Pacioli y algunos matemáticos alemanes usaban subíndices en lugar de puntos de separación, y el número de puntos correspondía al número del grupo de dígitos, y Otred usaba líneas verticales. Al final, el esquema simple de Sacrobosco triunfó en la mayoría de los países, solo en el Reino Unido y los EE. UU., donde el punto es el separador decimal, fue reemplazado por una coma [82] . En las publicaciones impresas, de acuerdo con las recomendaciones de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas e ISO [83] [84] , prevalece la versión neutra, que se remonta a Pacioli, en la que los triples de números están separados por espacios sin separación : 678 935 784 105 296 .

${\ estilo de visualización -273}$

Con el reconocimiento del valor práctico de los números negativos , surgió la pregunta de cómo escribirlos. Nicolás Shuquet en 1484 propuso poner ante ellos la designación utilizada entonces como signo de sustracción. Con el advenimiento de los símbolos modernos de más y menos (1489), muchos matemáticos comenzaron a poner menos antes de los números negativos, pero algunos matemáticos protestaron, señalando que el mismo símbolo no debe usarse como signo de un número y como signo de una operación de resta, especialmente porque menos en el papel de un signo de número, es fácil de confundir con un guión . Se propusieron proyectos de otros símbolos para el signo del número, por ejemplo, esquinas o la imagen de la luna menguante/creciente (ver figura). Farkas Bolyai sugirió usar signos de más y menos para los números, pero resaltándolos con un estilo especial (su signo más era como una cruz maltesa ). Sin embargo, el doble uso del menos está fijado en la ciencia [85] [86] . ${\tilde {m)),$

$x,\y,\z$
${\ estilo de visualización a, \ b, \ c}$

Los matemáticos babilónicos también utilizaron signos especiales (solo para cantidades desconocidas) , y entre los antiguos griegos, Diofanto . Vieta fue el primero en sugerir escribir las leyes y fórmulas de la aritmética en una forma simbólica general, reemplazando números específicos (no solo incógnitas, sino también varios coeficientes) con letras (1591). Viète denotaba cantidades desconocidas con letras mayúsculas de vocales ( A, E, I, O, U, Y ), y las conocidas con consonantes mayúsculas [87] .

Otros matemáticos (en particular, Johann Rahn ) sugirieron usar la distinción entre letras mayúsculas y minúsculas con el mismo propósito. En 1637, Descartes propuso un sistema más conveniente: para las cantidades desconocidas se utilizan las últimas letras del alfabeto ( x, y, z ), y para las conocidas, las primeras ( a, b, c... ), y no en mayúsculas, sino en minúsculas. Descartes usó el mismo triple como símbolos de coordenadas al trazar gráficos; El propio Descartes, sin embargo, se limitó a las curvas planas, el uso activo de las coordenadas espaciales comenzó más tarde que Clairaut . Esta convención tiene sus raíces en la ciencia. Se hicieron muchas conjeturas sobre las razones por las que Descartes eligió las letras x, y, z para las incógnitas, pero nada, sin embargo, se confirmó [88] [89] . $x, y, z$

${\símbolo en negrita {i}}$

La letra i como código de unidad imaginaria : propuesta por Euler en el artículo De formulis differentibus secundi gradus, quae integrationem admittunt ; un artículo escrito en 1777 fue publicado (póstumamente) en 1794. Según la opinión general, Euler tomó la primera letra de la palabra latina imaginarius (imaginario) por el símbolo de la unidad imaginaria [52] . El símbolo fue respaldado por Gauss (" Aritmética Investigaciones ", 1801) y rápidamente se volvió generalmente aceptado, aunque muchos matemáticos continuaron usando la notación explícita del radical durante mucho tiempo: Surgieron algunos malentendidos cuando los físicos comenzaron a designar la magnitud de la energía eléctrica . actual con una carta; pronto, en la electrodinámica de la corriente alterna, se descubrió la necesidad de los números complejos (para describir las oscilaciones), y para evitar confusiones, los físicos comenzaron a denotar la unidad imaginaria con la letra [90] . $i={\raíz cuadrada {-1}}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {-1)).}$ $i$ $j$

0123456789ABCDEF

La necesidad de la notación de dígitos hexadecimales surgió en la década de 1950 cuando aparecieron las computadoras con un byte explícitamente direccionable de ocho bits ; su contenido se representaba más convenientemente como dos dígitos hexadecimales. Para designar números del 0 al 9, se utilizaron los mismos caracteres que en el sistema decimal, y para los números hexadecimales del 10 al 15, se ofrecieron diferentes opciones: números del 0 al 5 con un guión ( macron ) en la parte superior, letras de U a Z (computadoras Bendix G-15, 1956); la codificación de caracteres A a F moderna apareció en la serie IBM System/360 (1964) [91] .

Operaciones

${\símbolo en negrita {+\;-}}$

Los signos más y menos aparentemente fueron inventados en la escuela matemática alemana de "kossists" (es decir, algebristas). Se utilizan en el libro de texto Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft , publicado en 1489, por Johann Widmann "Una cuenta rápida y agradable para todos los comerciantes" . Antes de esto, la suma se denotaba con la letra p (más) o la palabra latina et (conjunción "y"), y la resta con la letra m (menos), estas letras a menudo se marcaban con una tilde en la parte superior . En Widman, el símbolo más reemplaza no solo a la suma, sino también a la unión "y". El origen de estos símbolos no está claro, pero lo más probable es que se hayan utilizado anteriormente en el comercio como signos de compra y venta. Algunos matemáticos de los siglos XVI y XVII utilizaron la cruz latina o maltesa como variaciones del más, y en lugar del menos propusieron la tilde o el obelus . Sin embargo, más y menos se hicieron comunes en Europa, con la excepción de Italia, que usó las designaciones antiguas durante aproximadamente un siglo, [92] [93] [94] .

${\ símbolo de negrita {\ veces \; \ cdot))$

El signo de multiplicación en forma de cruz oblicua fue introducido en 1631 por William Oughtred (Inglaterra). Antes de él, la letra más utilizada era la M, propuesta en 1545 por Michael Stiefel y apoyada por Stevin . Posteriormente se propusieron otras designaciones: la palabra latina en ( Francois Viet ), el símbolo del rectángulo al comienzo de la obra y la coma al final ( Erigon , 1634), el asterisco ( Johann Rahn , 1659), la letra x ( Wallis , 1655, quizás se trate de un error tipográfico, ya que Wallis tiene tanto la letra x como una cruz en la misma página) [36] [79] [95] . $\Caja$

La razón para elegir la cruz diagonal como signo de multiplicación fue, muy probablemente, el esquema de multiplicación cruzada de números cortos común en esos años [96] ; esto es más probable porque, antes de Oughtred, la barra oblicua se usaba para indicar otras operaciones asociadas con varios tipos de computación cruzada [97] .

Leibniz , después de experimentar con varios símbolos diferentes, finalmente decidió reemplazar la cruz con un punto (finales del siglo XVII) para que no se confundiera con la letra x ; antes que él, tal simbolismo se encontró en Regiomontanus (siglo XV) y Thomas Harriot . Muchos matemáticos, comenzando con Diofanto , en lugar del signo de multiplicación, simplemente escribieron los operandos en una fila: esta notación compacta resultó ser especialmente conveniente para convertir expresiones literales [95] [36] . $ab=a\cdot b;$

${\símbolo en negrita {/\;:\;\div }}$

Garza , Diofanto y autores islámicos utilizaron la línea horizontal de la fracción como signo de división . En la Europa medieval, la división a menudo se denotaba con la letra D. Ootred prefería una barra inclinada o (a veces) un paréntesis derecho, este último también se encuentra en Stiefel : construcciones o división significada por Colón comenzó a denotar división a partir de 1684 por Leibniz [98] . ${\ estilo de visualización 8) 24}$ ${\ estilo de visualización 8) 24 (}$ ${\ estilo de visualización 24}$ ${\ estilo de visualización 8.}$

En Inglaterra y los EE. UU., se generalizó el símbolo ( obelus ), que fue propuesto en 1659 por Johann Rahn (posiblemente con la participación de John Pell , antes Girard usó este símbolo como sinónimo de menos) [99] [100] . Un intento del Comité Nacional Estadounidense de Requisitos Matemáticos de eliminar el obelus de la práctica (1923) no tuvo éxito [101] . $\div$

$([\{\}])$

Los paréntesis aparecieron en Tartaglia (1556) para la expresión radical, posteriormente fueron apoyados por Clavius y Girard [28] [102] . Bombelli (1560) usó una esquina en forma de letra L como corchete inicial, y como corchete final, se reflejó con relación a la vertical (ver figura) [C 1] ; dicho registro se convirtió en el progenitor de los corchetes. Las llaves fueron sugeridas por Viet (1593) [28] .

La mayoría de los matemáticos anteriores al siglo XVIII (incluido Newton) preferían subrayar (o subrayar) la expresión resaltada en lugar de corchetes. Dado que esto dificultó la composición tipográfica, surgieron otros métodos. Wallis (1655) usó dos puntos o dos puntos al principio y un punto al final de una expresión en lugar de corchetes, por ejemplo: en lugar de modern , también se propusieron varias construcciones restrictivas de puntos o comas, inconvenientes ya porque estos caracteres eran ampliamente utilizados. utilizado para otros fines. Los corchetes fueron introducidos en el uso generalizado por Leibniz (desde alrededor de 1708) y Euler [103] [104] . ${\sqrt {}}:anuncio^{2}:$ ${\sqrt {anuncio^{2))}.$

${\ símbolo de negrita {\ pm ))$

El signo más-menos apareció en Girard (1626) y Oughtred. Girard formó este símbolo de la siguiente manera [34] : un signo más, debajo de él la palabra "o" ( fr. ou ), e incluso más bajo - un signo menos: Newton propuso su propio símbolo: ("medio más"), que no distribución de ganancias [105] . ${\boldsymbol {{\underset {-}{\overset {+}{\operatorname {\scriptscriptstyle ou} }}}\ \ }}.$ $\perp$

${\displaystyle {\boldsymbol {a^{n))}\ {\boldsymbol {a^{x))))$

Exponenciación . En Europa, al principio, el grado se escribía en abreviaturas verbales (q o Q denotaba un cuadrado, c o C - un cubo, bq o qq - un bicuadrado, es decir, el 4º grado, etc.) o como un producto: por ejemplo, se representó como Otred escribió de la siguiente manera: (si solo hay un desconocido, a menudo no se le asignó una insignia de letra) [106] . La escuela alemana de kossists ofreció una insignia gótica especial para cada grado de lo desconocido. $x^{4}$ ${\ estilo de visualización xxxx.}$ ${\ estilo de visualización x^{5}-15x^{4))$ ${\ estilo de visualización 1qc-15qq}$

En el siglo XVII, poco a poco empezó a imponerse la idea de indicar explícitamente el exponente. Girard (1629), para elevar un número a una potencia, puso un indicador entre paréntesis antes de este número, y si no había ningún número a la derecha del indicador, esto significaba que la presencia de una incógnita en el grado especificado estaba implícita. [100] ; por ejemplo, quiso decir . Pierre Erigon y el matemático escocés James Hume propusieron opciones de ubicación para el exponente , escribieron en la forma y [39] respectivamente . ${\ estilo de visualización (2) 2 + 1 (2)}$ ${\ estilo de visualización 2^{2}+x^{2}}$ $x^{4}$ ${\ estilo de visualización x4}$ $x^{IV}$

El registro moderno del exponente -a la derecha y arriba de la base- fue introducido por Descartes en su " Geometría " (1637), sin embargo, sólo para potencias naturales mayores que 2 (el cuadrado durante mucho tiempo se denotaba a la antigua usanza, por el producto). Más tarde , Wallis y Newton (1676) extendieron la forma cartesiana de escribir el grado a exponentes negativos y fraccionarios, cuya interpretación en ese momento ya se conocía a partir de los trabajos de Orem , Shuquet , Stevin , Girard y el propio Wallis. A principios del siglo XVIII, las alternativas para escribir grados "según Descartes", como dijo Newton en " Universal Arithmetic ", estaban "pasadas de moda " . La función exponencial , es decir, elevar a un grado variable, apareció primero en cartas, y luego en los escritos de Leibniz (1679). Elevar a un poder imaginario fue justificado por Euler (1743) [39] [107] [108] .

${\ símbolo de negrita {\ sqrt {x}}}$

Los matemáticos medievales (por ejemplo, Pacioli y Cardano ) denotaban la raíz cuadrada con un símbolo o una combinación estilizada (del latín Radix , raíz) [109] . Se introdujo cierta confusión por el hecho de que en el siglo XVI las abreviaturas y a menudo denotaban no solo la raíz cuadrada, sino también la raíz de la ecuación , es decir, el valor deseado de la incógnita; sin embargo, estas notaciones fueron utilizadas por algunos matemáticos italianos y españoles hasta finales del siglo XVII [110] . $R$ $R_{x}$ $R$ $R_{x}$

La designación moderna del signo raíz fue utilizada por primera vez en 1525 por el matemático alemán Christoph Rudolph de la escuela Kossist [28] . Este carácter proviene de la primera letra estilizada de la misma palabra radix . La línea sobre la expresión radical ( vinculum ) estaba ausente al principio; más tarde fue introducido por Descartes (1637) con un propósito diferente (en lugar de corchetes), y esta característica pronto se fusionó con el signo raíz [35] .

${\boldsymbol {\sqrt[{3}]{x}}}$

La raíz cúbica en el siglo XVI se podía denotar así: R x .u.cu (del latín Radix universalis cubica ), había otras opciones [109] . Con el advenimiento del signo moderno del radical, las raíces de un grado superior al segundo se denotaron durante algún tiempo mediante intrincados zigzags que consistían en los signos radicales "pegados" el número correspondiente de veces, o por una marca después del radical: por ejemplo, podría denotarse , donde la letra C significaba “cúbica”, o La designación moderna de la raíz de un grado arbitrario con un indicador en la parte superior izquierda, Albert Girard (1629) comenzó a usarla. Este formato fue arreglado gracias a Newton y Leibniz [35] [111] . ${\raíz cuadrada[ {3}]{x}}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {Dx}}}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {3: x}}.}$

${\ símbolo de negrita {\ Sigma))$

El signo de la suma fue introducido por Euler en 1755 [53] .

${\símbolo en negrita {\Pi ))$

El signo del producto fue introducido por Gauss en 1812 en su trabajo sobre las series hipergeométricas [56] .

$|x|$

La notación para el valor absoluto y para el módulo de un número complejo apareció por Weierstrass en 1841. En 1903, Lorentz usó el mismo simbolismo para la longitud del vector [112] .

Relaciones

${\símbolo en negrita {=}}$

Como signo igual, los matemáticos propusieron una variedad de designaciones: subíndice, espacio, la palabra est , abreviaturas de la palabra "igual" ( aequantur, faciunt ), etc. El símbolo moderno fue propuesto por Robert Record en 1557; la inscripción del símbolo era mucho más larga que la actual. El autor explicó que no hay nada más igual en el mundo que dos segmentos paralelos de la misma longitud. Inicialmente, el tamaño del símbolo de registro era variable: el signo se podía alargar para que el resultado registrado después cayera en la columna deseada en la hoja con el cálculo [57] [113] .

Durante algún tiempo, la difusión del símbolo Record se vio obstaculizada por el hecho de que desde la antigüedad se utilizaba el mismo símbolo para indicar el paralelismo de líneas; al final, se decidió hacer vertical el símbolo del paralelismo. En Inglaterra, en la década de 1630, casi todos los principales matemáticos, desde Harriot hasta Newton , adoptaron el símbolo Record, pero Viet y Girard usaron el mismo símbolo en lugar de un signo menos, y Descartes lo usó como un signo de que una variable puede tener cualquier signo. Descartes propuso otro símbolo para la igualdad, que recuerda al símbolo del infinito de Wallis que apareció en el mismo período : Un signo igual bastante exótico de tres símbolos: defendido por Erigon (1644); también propuso otra versión del signo: . Todo esto retrasó la unificación de tan importante símbolo; sin embargo, en la segunda mitad del siglo XVII, el símbolo del Récord comenzó a desplazar competidores también en la Europa continental [113] (el apoyo de Leibniz y los hermanos Bernoulli fue decisivo) y finalmente se consolidó durante el siglo XVIII [114 ] . $\infty .$ ${\ estilo de visualización 2|2}$ ${\mathcal {t))$

Muchos lenguajes de programación utilizan el signo igual como símbolo para el operador de asignación .

$\aprox.$

El signo "aproximadamente igual" fue inventado por el matemático alemán Sigmund Günther en 1882 [57] [115] . Similar en significado y estilo, un símbolo que consta de un signo de igual y una tilde encima fue utilizado anteriormente (1777) por I. Heseler [116] . ${\ estilo de visualización \ cong,}$

$\neq$

El signo "no igual" se encuentra por primera vez, probablemente por Euler; en cualquier caso, utilizó activamente esta designación [54] .

$\equiv$

El autor del signo " idénticamente igual " es Bernhard Riemann (1857). El mismo símbolo, según la sugerencia de Gauss, se usa en teoría de números como signo de comparación de módulo , y en lógica como signo de la operación de equivalencia [117] .

$<\ \>$

Las marcas de comparación fueron introducidas por Thomas Harriot en su obra, publicada póstumamente en 1631. Ante él, escribieron con las palabras: más , menos [32] [53] .

$\leqslant \ \ \geqslant$

Los símbolos de comparación no estrictos fueron propuestos por primera vez por Wallis en 1670. Inicialmente, la barra estaba por encima del signo de comparación, y no por debajo, como ahora. Estos símbolos recibieron una distribución general después del apoyo del físico francés Pierre Bouguer (1734), de quien adquirieron una forma moderna [32] .

${\ estilo de visualización A: B = C: D}$

Se propusieron muchas designaciones para la proporción : Descartes usó la notación que escribió Othred y otros. Al final, el simbolismo moderno propuesto por Leibniz en 1708 [118] ganó la victoria . ${\ estilo de visualización a|b||c|d,}$ $AB::CD$

$\ll\;\gg$

Estas notaciones fueron introducidas por Henri Poincaré y Émile Borel (1901) y se utilizaron para indicar que una serie está mayorizada por otra. A veces se usan en este sentido estricto incluso ahora, pero más a menudo significan "mucho menos" y "mucho más" [32] .

Geometría

$\ángulo \ \ \perp$

Los símbolos " ángulo " y " perpendicular " fueron inventados en 1634 por el matemático francés Pierre Erigon . El símbolo del ángulo de Erigon parecía un icono ; la forma moderna, para evitar confusiones con el signo menos introducido anteriormente, se la dieron los matemáticos ingleses Seth Ward (1654) y William Oughtred (1657). Un ángulo recto a menudo se denotaba con la letra d (del francés droit 'recto') [119] [43] . $<$

$\|$

El símbolo del paralelismo se conoce desde la antigüedad, fue utilizado por Heron y Pappus de Alejandría . Al principio, este símbolo se parecía al signo igual actual, pero con la llegada de este último, para evitar confusiones, Oughtred (1677), Kersey (1673) y otros matemáticos del siglo XVII dieron a las líneas que forman el símbolo una dirección vertical [ 37] [120] .

$30^{\circ }40'50''$

Las designaciones modernas de unidades angulares ( grados, minutos, segundos ) se encuentran en el Almagesto de Ptolomeo , pero en la Europa medieval se escribieron en su lugar con las palabras: gradus, minutes, secundae (completas o abreviadas). El símbolo del grado fue utilizado nuevamente en 1568 por el matemático y poeta francés Jacques Peletier ; en la década siguiente, Erasmus Reingold , Tycho Brahe y Juan Caramuel ya utilizan los tres signos angulares, después de lo cual estos signos se generalizaron rápidamente [121] .

La medida de ángulos en radianes , más conveniente para el análisis , fue propuesta en 1714 por el matemático inglés Roger Coates . El término radián en sí mismo fue acuñado en 1873 por James Thomson , hermano del famoso físico Lord Kelvin . Algunos autores han propuesto marcar los valores en radianes con letras o superíndices , pero estas propuestas no han encontrado apoyo, aunque en ocasiones se utiliza la letra en trabajos sobre geodesia [121] . $\rho$ $R,$ $\rho$

${\sombrero ancho {ab}),{\sombrero ancho {abc}}$

La notación ahora generalmente aceptada para los arcos de un círculo u otra curva fue utilizada por primera vez en Europa en su “Tratado de Geometría” por el matemático judío del siglo XII Abraham bar-Hiya ( Savasorda ); esta obra fue inmediatamente traducida al latín por Platón desde Tivoli [43] .

$\Pi$

John Wallis usó el símbolo del cuadrado para la relación de la circunferencia al diámetro (en alusión a la cuadratura del círculo ) o la letra hebrea מ ("mem"), también similar a un cuadrado. William Oughtred e Isaac Barrow denotaron este número de la siguiente manera : aquí denota la primera letra de la palabra griega περιφέρεια, ' círculo ', de manera similar para diámetro , de modo que toda la notación es una abreviatura de "la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro" [122] . $\Caja$ $\pi /\delta$ $\Pi$ $\delta$

La designación generalmente aceptada fue formada por primera vez por William Jones en su tratado " Sinopsis Palmariorum Matheseos " (1706), también tenía en mente la primera letra del nombre griego para el círculo. Euler luego decidió usar la misma abreviatura (en sus primeros escritos dudaba entre las letras c y p ). El trabajo de Euler en la década de 1740 solidificó la designación [44] . $\Pi$

${\ estilo de visualización \ sim \ \ cong}$

Los símbolos para indicar la similitud o congruencia de las figuras geométricas fueron propuestos por Leibniz a principios del siglo XVIII. El símbolo de congruencia de Leibniz, a diferencia del moderno, tenía solo una línea recta debajo de la tilde; la forma moderna apareció más tarde en manos de varios matemáticos [45] .

$\fi$

La notación para la proporción de la sección áurea (también usan la inscripción ) fue propuesta por el matemático estadounidense Mark Barr (alrededor de 1909). La designación se remonta a la primera letra del nombre del antiguo escultor griego Fidias ( otro griego Φειδίας ), quien, según algunos historiadores de la arquitectura, utilizó sistemáticamente la proporción áurea en sus creaciones (estas afirmaciones están siendo cuestionadas actualmente). En la literatura matemática profesional, esta relación se denota a menudo (del griego τομή 'sección') [123] [124] . $\fi$ $\varphi$ $\tau$

Teoría de números

$a\equiv b{\pmod m}$

El simbolismo de la comparación del módulo fue desarrollado por Gauss , publicado en 1801 en sus Investigaciones aritméticas . El pedante Gauss puso un punto después del código "mod", ya que esta es una abreviatura de lat. módulo , pero sus seguidores consideraron el punto redundante [125] .

${\ estilo de visualización a \ medio b}$

La barra vertical como símbolo de la relación " divide " (o, lo que es lo mismo, " divide por ") fue propuesta por primera vez por Edmund Landau en el libro "Teoría elemental de números" (1927); Anteriormente, Godfrey Harold Hardy utilizaba este símbolo a veces en los materiales inéditos de su seminario [126] . $a$ $b$ $b$ $a$

$\varfi (n)$

La función de Euler, que juega un papel importante en la teoría de números y el álgebra general , se le apareció a Euler en 1760, luego designó su designación moderna sugerida por Gauss (1801) [127] . ${\ estilo de visualización \ pi D,}$

$¡norte!\$

Christian Kramp (1808) propuso una notación compacta para el factorial ; antes, Euler usó [128] el símbolo a, mientras que Gauss, Jacobi y otros usaron [129] los símbolos y . ${\ estilo de visualización [n],}$ ${\ estilo de visualización \ Pi (n)}$ $\Alfiler}$

$[X]$

El símbolo de la parte entera fue introducido por Gauss en 1808. Algunos matemáticos prefieren utilizar la notación E(x) propuesta en 1798 por Legendre [130] en su lugar .

$\lfloor x\rfloor ,\;\lceil x\rceil$

Kenneth Iverson introdujo dos pares de símbolos de esquina, que significan redondeo hacia arriba o hacia abajo de un número real a un número entero, respectivamente, en 1962 [131] .

$\left({\frac {a}{p}}\right)$

Legendre introdujo el símbolo de un número primo , que recibió su nombre, en su monografía sobre teoría de números (1791). Jacobi (1837) [132] publicó un símbolo similar en diseño, pero definido para cualquier número impar . $pags$

Funciones

$f(x)$

La primera notación general para funciones fue utilizada por Johann Bernoulli en 1718. Durante mucho tiempo, los matemáticos especificaron argumentos sin paréntesis: los paréntesis se usaban solo en el caso de muchos argumentos, y también si el argumento era una expresión compleja. Los ecos de aquellos tiempos son comunes y ahora los registros , etc. Pero gradualmente (para Euler - desde 1734, para d'Alembert - desde 1754) el uso de corchetes se convirtió en una regla general [133] [134] [135] . $efectos especiales$ $\sen x,\lg x$

Funciones elementales

$\log _{a}b,\;\lg,\;\ln$

Las abreviaturas aparecieron ya en el siglo XVII, pero hasta finales del siglo XIX no había una notación generalmente aceptada para el logaritmo : la base ɑ se indicaba a la izquierda y encima del símbolo , luego encima. Finalmente, los matemáticos llegaron a la conclusión de que el lugar más conveniente para la base es debajo de la línea, después del símbolo . El símbolo del logaritmo natural aparece por primera vez en Irving Stringham (1893) [136] . $\log ,\operatorname {Registro} ,\operatorname {L}$ $\Iniciar sesión$ $\Iniciar sesión$ $\ln$

$\sin ,\operatorname {tg} \ (\tan ),\sec$

La primera notación abreviada para seno , tangente y secante fue propuesta por Thomas Fincke (1583), quien escribió: sin., tan., sec. ; William Oughtred (1632) introdujo la notación de las mismas funciones sin un punto ; sin embargo, hasta mediados del siglo XIX, muchos autores continuaron poniendo fin a la notación de funciones trigonométricas [137] [138] . Leonhard Euler en 1748 usa la ortografía con un punto ( sin., tang., sec. ), y en 1753 rechaza el punto (y junto con tang también tiene la notación tg utilizada en la literatura en lengua rusa) [139] .

$\cos ,\operatorname {ctg} \ (\cot ),\operatorname {cosec} \ (\csc )$

Fincke denotó coseno , cotangente y cosecante a través de sin.com., tan.com., sec.com (donde com es una abreviatura del complemento latino 'adición'). Entre las muchas designaciones propuestas posteriormente por varios autores, encontramos en Jonas Moore (1674) Cos and Cot., y en Samuel Jake en su tratado publicado en 1696 - cos., cot., cosec . La ortografía cos (sin punto) aparece en Euler en 1729 (sistemáticamente desde 1753); Abraham Kestner (1758) usa consistentemente las designaciones cos, cot, cosec [138] [140] . Según F. Cajorie , la designación csc para cosecante utilizada en la literatura occidental moderna aparece en el Tratado sobre trigonometría de Oliver, Waite y Jones (1881), y la designación ctg para cotangente, que se ha vuelto fija en la literatura rusa, se encuentra por primera vez. en Arthur Schoenflies (1886) [141] .

$\ arcsin$

La forma de designar las funciones trigonométricas inversas con el prefijo arc- (del latín arcus 'arco') apareció con el matemático austriaco Karl Scherfer ( alemán Karl Scherffer ; 1716-1783) y se fijó gracias a Lagrange . Quería decir que, por ejemplo, el seno habitual te permite encontrar la cuerda que lo subtiende a lo largo del arco de un círculo, y la función inversa resuelve el problema opuesto. Hasta finales del siglo XIX, las escuelas matemáticas inglesa y alemana ofrecían otras notaciones: , pero no arraigaban [142] . $\sin ^{-1},{\frac{1}{\sin ))$

${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sh} \ (\ sinh), \ nombre del operador {ch} \ (\ cosh)}$

El seno y el coseno hiperbólicos fueron introducidos por Vincenzo Riccati (1757), quien los designó como Sh y Ch . La notación moderna ( sh y ch ), así como th para la tangente hiperbólica , se encuentra en William Clifford (1878). Las designaciones sinh y cosh comunes en los países de habla inglesa se remontan a Johann Lambert (1768) [143] . Entre otras designaciones propuestas estaban también sinhyp y coshyp (que se utilizan, por ejemplo, en la enciclopedia de Brockhaus y Efron ); estas dos designaciones ahora están fuera de uso [144] .

${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sgn} (x)}$

Útil en muchos casos, la función sgn( x ) (del latín signum 'signo') comenzó a ser utilizada en sus conferencias por Kronecker (1884), pero con una designación diferente: [ x ] . El símbolo moderno sgn fue introducido por Peano (1908) [145] [146] .

Características especiales

$\Gamma (a),\operatorname {\mathrm {B} } (a,b)$

La notación moderna para las integrales de Euler de segundo y primer tipo introducidas por Euler (en 1729 y 1730 respectivamente) fue propuesta por: Adrien Marie Legendre (1811) para la integral de segundo tipo y Jacques Philippe Marie Binet (1839) para el integral 1 -ciudades. Después de eso, los términos " función Gamma " y " función Beta " [147] [148] se generalizaron . ${\ estilo de visualización \ gamma (a)}$ $\operatorname {\mathrm {B} } (a,b)$

$\mathrm {li} ,\mathrm {Si} ,\mathrm {Ci} ,\mathrm {Ei}$

El autor de la notación li para el logaritmo integral es Johann von Soldner (1809). En 1843, Karl Anton Bretschneider introdujo si y ci para el seno integral y el coseno integral . Oskar Schlömilch (1846) modificó estas notaciones a Si y Ci , y también introdujo la notación Ei para la función exponencial integral [149] .

${\ estilo de visualización \ nombre del operador {\ zeta} (s)}$

La notación para la función zeta de Riemann (que fue estudiada por Euler y más tarde por P. L. Chebyshev ), que juega un papel crucial en la teoría de números , fue propuesta por Bernhard Riemann en 1857 [150] . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {\ zeta} (s)}$

$F(\varphi,k),\;\,E(\varphi,k),\;\,\Pi (\varphi,n,k)$

La notación para integrales elípticas de primera, segunda y tercera clase (incompletas) en la forma normal de Legendre fue introducida, en esencia, por el propio Legendre (1825); la única diferencia entre su notación y la moderna es que denotó el módulo de una integral elíptica por (la notación moderna fue utilizada por primera vez por Carl Jacobi en 1829), y colocó la variable en el último lugar en la lista de argumentos [ 151] . ${\ estilo de visualización F (\ varphi, k),}$ ${\ estilo de visualización E (\ varphi, k),}$ ${\ estilo de visualización \ Pi (\ varphi, n, k)}$ $C$ $k$ $\varphi$

$\operatorname {soy} tu$

Carl Jacobi (1829) [152] introdujo el concepto de amplitud de una integral elíptica como una función inversa a una integral elíptica del primer tipo y la notación correspondiente . $\varphi =\operatorname {soy} u$

$\operatorname {sn} u,\;\operatorname {cn} u,\;\operatorname {dn} u$

Las principales funciones elípticas de Jacobi - el seno de la amplitud sn, el coseno de la amplitud cn y el delta de la amplitud dn - fueron introducidas por Jacobi (1829), quien las designó como sen am u , cos am u y Δ am u (la letra Δ reemplaza la expresión que propuso Legendre en 1825) . Christoph Gudermann (1838) introdujo la notación más compacta sn, cn y dn . En 1882, James Glaisher introdujo la notación para nueve funciones elípticas más: ns, nc, nd, cs, ds, dc, sc, sd y cd [153] . ${\sqrt {1-k^{2}\sin^{2}\varphi )),$

$\vartheta _{0}(v),\;\puntos,\;\vartheta _{3}(v)$

Para calcular eficientemente las funciones elípticas, Jacobi propuso expresarlas como cocientes de funciones theta , para lo cual obtuvo representaciones como series de funciones rápidamente convergentes . Jacobi originalmente denotó funciones theta en 1862. Karl Weierstrass , quien modificó las definiciones de Jacobi, introdujo la notación moderna [153] . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {\ Theta} (v),}$ $\operatorname {\mathrm {H} } (v),$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {\ mathrm {H} _ {1}} (v),}$ $\operatorname {\Theta _{1)) (v);$ $\vartheta _{0}(v),\;\puntos,\;\vartheta _{3}(v)$

$\wp (z),\;\operatorname {\zeta } (z),\;\operatorname {\sigma } (z)$

La función elíptica de Weierstrass (léase: "función pe"; aquí , el signo de Weierstrass , que es una letra P estilizada ) y la función zeta de Weierstrass estrechamente relacionada y la función sigma de Weierstrass fueron introducidas (junto con la notación correspondiente) por Karl Weierstrass , quien las puso como base de su teoría general de las funciones elípticas , que expuso a partir de 1862 en conferencias en la Universidad de Berlín [154] . $\wp (z)$ $\wp$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {\ zeta} (z)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {\ sigma} (z)}$

$J_{\nu }(x),\;Y_{\nu }(x),\;H_{\nu }^{(1)}(x),\;H_{\nu }^{( 2)}(x)$

La notación ahora generalmente aceptada para las funciones de Bessel del primer tipo aparece por primera vez en Isaac Todhunter (1875) [155] . La notación para las funciones de Bessel de segundo tipo (funciones de Weber) fue introducida por Hermann Hankel (1869), y la notación para las funciones de Bessel de tercer tipo (funciones de Hankel) pertenece a Niels Nielsen (1902) [156] . $J_{\nu}(x)$ $Y_{\nu}(x)$ $H_{\nu}^{(1)}(x)$ $H_{\nu }^{(2)}(x)$

$I_{\nu }(x),\;K_{\nu }(x)$

La notación para las funciones de Bessel modificadas de 1° tipo fue propuesta por Alfred Basset (1886), y para las funciones de Bessel modificadas de 2° tipo (funciones de MacDonald), notación bajo la cual fueron introducidas en 1899 por Hector Macdonald [ 156] se conserva . ${\ Displaystyle I_ {\ nu} (x)}$ $K_{\nu}(x),$

${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ai} (x), \; \ nombre del operador {Bi} (x)}$

La designación Ai para la función Airy del primer tipo fue propuesta en 1828 por Harold Jeffreys [157] ; usó las dos primeras letras del nombre de George Airy , quien en 1838 fue el primero en investigar la ecuación de Airy [158] . En 1946 , Jeffrey Miller agregó la notación Bi para la función de Airy del segundo tipo , que también se convirtió en estándar [159] .

$B_{i,m}(x)$

La designación se lee como “ B-spline de grado m con el número i ” (se supone que esta spline está construida sobre los nodos X i , …, X i+m+1 de alguna malla ). Haskell Currie e Isaac Schoenberg (1947) dan una definición general de B-splines para una cuadrícula con nodos distribuidos aleatoriamente , quienes en su artículo [160] los llamaron "splines básicos" y usaron la letra N en lugar de B . Schoenberg introdujo el término "B-spline" en 1967, después de lo cual la designación también cambió [161] [162] [163] . $B_{i,m}(x)$

$\operatorname {arriba} (x)$

La función up (léase “función ap”), que se convirtió históricamente en el primer y más importante ejemplo de funciones atómicas (que son análogos infinitamente diferenciables de splines polinómicos [164] ), se introdujo con esta designación en 1971 en el artículo [165 ] por V. L. Rvachev y V. A. Rvachev [166] [167] .

$\delta(x)$

La función delta de Dirac δ( x ) , que se convirtió en el primer ejemplo de una función generalizada , fue presentada por Paul Dirac en sus artículos de 1927 [168] [169] [170] [171] . Sin embargo, Heaviside (1893) ya tenía una idea clara sobre esta función y sus principales propiedades , en las que aparecía como una derivada de la función de Heaviside , pero no recibía una designación especial [172] .

Álgebra lineal

${\bar {a)),{\vec {a)],\mathbf {a} ,{\mathfrak {A)),{\mathfrak {a))$

El concepto de vector fue introducido en la ciencia en 1847 [173] por William Rowan Hamilton como parte de su teoría de los cuaterniones (habiendo llamado vector a un cuaternión con una parte escalar cero ); denotó vectores con letras griegas y escalares con letras latinas. Sin embargo, allá por 1803, Lazar Carnot utilizó el concepto de cantidad geométrica , entendiéndolo principalmente como segmentos dirigidos y denotando un segmento con un comienzo en el punto A y un final en el punto B usando un guión en la parte superior: AB ; August Ferdinand Möbius propuso en 1827 representar dicho segmento como la diferencia B − A . James Clerk Maxwell prefirió designar los vectores en letras góticas , los fundadores del análisis vectorial Oliver Heaviside y Josiah Willard Gibbs en negrita. Casi todos estos tipos de simbolismo todavía se encuentran, especialmente en negrita, un guión o una flecha sobre la letra [59] [174] .

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\ \left[\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right]$

Los conceptos y la notación de operaciones sobre vectores fueron formados en el siglo XIX por muchos matemáticos y aún no se ha logrado la unificación de la notación. Grassmann escribió el producto vectorial en la forma (1844) y denotó el producto escalar como (1846) o (1862); la última versión revivió inesperadamente en el siglo XX en forma de simbolismo bra-ket introducido por Dirac (1939) y utilizado en mecánica cuántica [175] [176] . Heaviside prefirió la forma más simple para el producto escalar , mientras que Gibbs agregó un punto inferior entre los operandos del producto escalar, y el producto vectorial se escribió como Los productos escalares y vectoriales de Hendrik Lorentz se veían así: y La notación se encuentra por primera vez en Olaus Henrici (1903). Las designaciones de los autores modernos más a menudo varían por las variantes dadas [175] . $\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ $\left[\mathbf {a} |\mathbf {b} \right]$ $\mathbf {a} \mathbf {b} ,$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b} .$ $\mathbf {a} .\mathbf {b}$ $\left[\mathbf {a} .\mathbf {b} \right].$ ${\ estilo de visualización (\ mathbf {a}, \ mathbf {b})}$

$\izquierda\|{\bar {a}}\derecha\|$

La notación para la norma de un vector apareció por primera vez en Erhard Schmidt (1908) en el caso especial de una norma en el espacio . Stefan Banach dio una definición general de una norma en un espacio vectorial abstracto en su artículo "Sobre operaciones en conjuntos abstractos..." [177] (1922), donde también utilizó esta notación [178] . $\izquierda\|{\bar {a}}\derecha\|$ ${\ barra {a}}$ $\ell _{2}$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\ {\begin{Vmatrix}a&b\\c&d\end{Vmatrix}}\ {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{ vmatriz}}$

Cayley introdujo las matrices fronterizas con dos líneas verticales alrededor de 1843; ahora se usan a menudo paréntesis o corchetes en su lugar. Los libros de texto modernos encierran el determinante en líneas simples, también siguiendo a Cayley. Los paréntesis para matrices probablemente fueron utilizados por primera vez por el matemático inglés Cuthbert Edmund Cullis en 1913 [179] [180] .

$\Gamma^{k}_{ij}$ o $\{{\begin{pequeña matriz}k\\ij\end{pequeña matriz}}\}$

Los símbolos de Christoffel , en el corazón del análisis tensorial y la relatividad general , fueron introducidos por Alvin Bruno Christoffel en un artículo de 1869 que usaba el formato de notación ; una variante propuesta en 1923 por George Birkhoff [181] [182] . $\{{\begin{pequeña matriz}k\\ij\end{pequeña matriz}}\}$ $\Gamma^{k}_{ij}$

$\delta _{s_{1}\puntos s_{n}}^{r_{1}\puntos r_{n}}$

El símbolo de Kronecker , que juega un papel importante en el cálculo tensorial , Kronecker lo definió para el caso en un artículo de 1866; en 1924 Francis Murnaghan describió su generalización a un tensor de rango arbitrario [182] . $n=1$

Análisis matemático

$(a,b)\ [a,b]$

La notación para el intervalo de números reales fue utilizada por primera vez en 1909 por el matemático alemán Gerhard Kovalevsky ; si el punto límite estaba incluido en el intervalo, entonces se usaban corchetes angulares en lugar de paréntesis. En 1921, Hans Hahn reemplazó los corchetes angulares por corchetes, y este simbolismo echó raíces en la ciencia [63] .

$mi$

La notación estándar para el número de Euler e = 2.7182818... fue notada por primera vez por Euler en un manuscrito inédito de 1728, y vuelve a aparecer en su " Mecánica " (1736) y en muchas obras posteriores. Posteriormente hubo otras propuestas: la letra c ( D'Alembert , 1747), ( August de Morgan , 1842), y Benjamin Pierce propuso signos intrincados en forma de clip para constantes (1859); estas variantes no ganaron popularidad [183] . $\epsilon$ ${\ estilo de visualización e, \ pi}$

$\Delta x$

La designación de un incremento por una letra fue utilizada por primera vez por Johann Bernoulli (quien, sin embargo, no hizo una distinción clara entre un incremento y un diferencial ) y Euler (1755) [184] [185] . $\Delta$

$o,o$

Los símbolos infinitesimales fueron utilizados por el matemático escocés James Gregory . Newton tomó de él la designación "sobre pequeño" [186] . La versión mayúscula del símbolo en su significado moderno ( "grande" ) apareció en el segundo volumen de Teoría analítica de números de Paul Bachmann (1894). Ambos símbolos fueron popularizados por Edmund Landau en un artículo de 1909 [187] , razón por la cual a menudo se los denomina "símbolos de Landau" [188] .

${\displaystyle dx\quad {\frac {dy}{dx}}\quad {\frac {d^{n}y}{dx^{n))))$

La notación dx y dy para las diferenciales de un argumento y una función fue introducida por Leibniz en sus memorias “Un nuevo método de máximos y mínimos…” [189] (1684), después de lo cual la notación de la derivada como razón de diferenciales apareció naturalmente . En sus memorias “Respuesta a Mr. Bernard Nieventeit…” [190] (1695), Leibniz también considera diferenciales de órdenes superiores , introduciendo designaciones bastante modernas para ellos [191] [192] .

${\ punto {x}}$

La tradición de denotar la derivada temporal con un punto sobre la letra proviene de Newton (1691) [47] .

$f'(x)$

La breve designación de la derivada con un trazo se remonta a Lagrange , en el que, a diferencia de Leibniz, el concepto básico de análisis no era el diferencial , sino la derivada [193] .

${\frac {\parcial }{\parcial x))$

Hasta mediados del siglo XVIII, el registro del símbolo de derivada parcial no se destacó de ninguna manera. Euler en 1755 sugirió que las derivadas parciales se encerraran entre paréntesis; este simbolismo tuvo alguna circulación. La designación moderna se encontró por primera vez en artículos de Condorcet (1770) y Legendre (1786), pero ni siquiera estos autores la fijaron. Lagrange probó varias opciones, por ejemplo, indexar derivados: o indicar entre paréntesis qué variable se está diferenciando: pero este simbolismo claramente no tuvo éxito. En varios artículos de William Hamilton , se encuentra un símbolo cercano al moderno . Carl Jacobi (1841) [194] hizo común la notación moderna . ${\ Displaystyle F'_ {1}}$ $F'(y),$ ${\frac {\delta f}{\delta x))$

$\int \ \iint \ \iiiint$

En sus primeras notas, Leibniz usó el símbolo omn como símbolo de la integral . (del latín de omnium , 'total' - esta abreviatura fue introducida por Cavalieri para calcular áreas " por el método de los indivisibles "). La designación moderna de la integral, formada por Leibniz a partir de la letra inicial estilizada de la palabra "Summa" ( lat. Summa ), se encontró por primera vez en un manuscrito inédito fechado el 29 de octubre de 1675, y en forma impresa apareció en las memorias "Sobre la geometría oculta y el análisis de los indivisibles..." (1686); sin embargo, la imprenta, para facilitar su trabajo, reemplazó el símbolo integral por la letra en este artículo primero . Johann Bernoulli, en su correspondencia con Leibniz, inicialmente propuso una letra como símbolo de la integral, pero luego aceptó aceptar el signo de Leibniz [195] [196] [197] . En sus primeros artículos, Leibniz a menudo subrayaba las expresiones de integral y diferencial, quizás deseando mostrar que se trataba de símbolos integrales, pero luego abandonó esta práctica [198] . ${\mathit {f))$ $yo$

La integral doble sobre un dominio plano arbitrario fue introducida por Euler (1769), y la integral triple (sobre volumen) pronto fue utilizada por Lagrange [199] .

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\ \ \lim _{x\to a+0}f(x)\ \ \varlimsup _{n\to \infty }x_{n))$

El símbolo de límite apareció en 1787 con Simon Lhuillier en el siguiente formato: esta designación fue apoyada por Cauchy (1821). El punto después de lim pronto desapareció [55] . $\operatorname {lím.} x:a;$

Weierstrass introdujo una designación cercana a la moderna , aunque en lugar de la flecha que nos es familiar, utilizó el signo igual: [200] . La flecha apareció a principios del siglo XX de la mano de varios matemáticos [201] . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Lim} _ {x = a}}$

La notación para el límite unilateral fue propuesta por primera vez por Dirichlet (1837) en la forma: Moritz Pasch (1887) introdujo otros conceptos importantes: los límites superior e inferior , que escribió en la forma: y respectivamente. En el extranjero, este simbolismo se ha convertido en estándar y otras designaciones prevalecen en la literatura rusa: introducido por Alfred Pringsheim en 1898 [202] . ${\ estilo de visualización f (a + 0), f (a-0).}$ ${\ estilo de visualización \ lim \ sup}$ ${\ estilo de visualización \ lim \ inf}$ $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$

$\int \limites _{a}^{b}f(x)\,dx$

El diseño de una integral definida en la forma que nos es familiar fue inventado por Fourier , quien lo ha estado usando desde 1816. Ante él, los límites primero se indicaron verbalmente; Euler en 1768 las anotó después de la integral entre corchetes, en dos líneas (desde/hasta) [203] [58] .

$\punto$

La notación con un círculo para una integral curvilínea sobre un contorno cerrado fue propuesta en 1923 por Kramers [199] .

${\ estilo de visualización f * g}$

La notación de asterisco para la convolución de funciones fue propuesta por primera vez por Vito Volterra en 1912 en sus conferencias en la Sorbona (publicadas un año después) [204] .

$\nabla$

El símbolo de este operador diferencial fue acuñado por William Rowan Hamilton (1853), y el nombre " nabla " fue sugerido en broma por uno de los amigos del matemático escocés Tait , amigo de Hamilton, señalando que la forma de este signo se asemeja al arpa asiria con este nombre (griego antiguo) (1892). También se utiliza el término " operador de Hamilton " [205] .

$\Delta$

El símbolo del operador de Laplace (“ Laplacian ”), muy difundido en la física matemática , apareció en 1833 del físico y matemático inglés Robert Murphy (Robert Murphy, 1806-1843) [115] . Antes de él, el símbolo propuesto por Fourier [206] se usaba a veces en su lugar . ${\ estilo de visualización \ Delta \ Phi}$ $D\Fi .$

$\mathrm {grado} ,\mathrm {div} ,\mathrm {rot}$

El simbolismo de los operadores diferenciales clásicos del análisis vectorial se formó gradualmente a finales de los siglos XIX y XX. El concepto de gradiente fue introducido por William Hamilton ya en 1846, pero el nombre y la designación generalmente aceptada del término apareció alrededor de 1900 en una escuela alemana, quizás gracias a Heinrich Weber . Los conceptos de divergencia y rotacional fueron introducidos por Maxwell en su trabajo sobre la teoría del campo electromagnético ; los términos y la notación fueron sugeridos por Clifford (1878) [207] .

${\ estilo de visualización \ gamma \ C}$

La constante de Euler-Mascheroni fue introducida en 1735 por Leonhard Euler . Euler la denotó con la letra , y Mascheroni [132] — la designación propuesta por Bretschneider se usa a menudo ahora, ya que esta constante está asociada con la función gamma [208] . $C$ ${\ estilo de visualización A;}$ ${\ estilo de visualización \ gamma,}$

Lógica matemática y teoría de conjuntos

En lógica matemática , se han propuesto una gran cantidad de símbolos de operaciones lógicas , y diferentes autores suelen utilizar diferentes notaciones para una misma operación. Un grado mucho mayor de unificación es característico del simbolismo de la teoría de conjuntos [209] .

${\ estilo de visualización \ tierra \ \ & \ \ lor}$

George Boole (1854) utilizó los signos usuales de multiplicación y suma para las operaciones lógicas de conjunción y disyunción . Giuseppe Peano (1895) propuso designaciones cercanas a las modernas ; en comparación con las opciones utilizadas actualmente, estaban más "suavizados", en forma de arcos de círculo. El símbolo de disyunción moderno aparece por primera vez en "Lógica matemática basada en la teoría de tipos" de Bertrand Russell [210] (1908), mientras que la conjunción se indica allí mediante un punto en la línea de una línea (el símbolo de disyunción se deriva del latín vel 'or '; más tarde surgió la tradición de denotar la operación de disyunción estricta [211] ). El símbolo de la conjunción moderna (el signo de la disyunción invertida) fue propuesto por Arend Heiting (1930); el signo & [64] [212] sigue siendo una alternativa común para él . ${\ estilo de visualización \ tierra, \ \ lor}$ $\lor$ $\tierra$

En los lenguajes de programación, la conjunción, la disyunción y la disyunción estricta suelen utilizar otras notaciones (por ejemplo, Ada utiliza las palabras reservadas and, ory xor[213] , mientras que C y C++ utilizan la notación &, |, ^para operaciones bit a bit y &&, ||para operaciones lógicas [214] ).

${\ estilo de visualización \ sim \ \ lnot}$

La negación lógica fue designada por Giuseppe Peano en 1897 con un símbolo ( tilde ) similar a un menos; ahora el estándar es el símbolo cercano propuesto por Heyting en 1930 [64] [212] . También usan una barra horizontal sobre la expresión para indicar la negación, que también se encontró en Boole y Charles Pierce (1867) [215] . Otras notaciones se usan para la negación en los lenguajes de programación (por ejemplo, Ada usa la palabra reservada [213] , mientras que C y C++ usan notaciones para la operación bit a bit y la negación lógica [214] ). $\sim$ $\lno$ not ~!

$\to \\supset\\equiv\\leftrightarrow$

El primer símbolo lógico, que significa "por lo tanto", propuesto por Johann Rahn en 1659, constaba de tres puntos: . Otred (1677) representó la consecuencia con dos puntos en superíndice. Símbolo invertido: en el siglo XIX, a veces reemplazaba la conjunción "porque" en los países de habla inglesa [60] . ${\ estilo de visualización {\ punto {.\ .))}$ ${\punto {}}\,.{\punto {\ \,}}$

El símbolo de implicación fue propuesto por David Hilbert (1922). No menos común es el signo ⊃ , que fue usado en este sentido incluso por Giuseppe Peano (1898) y reemplazó el estilo anterior ɔ de este signo (que Peano usó desde 1891). Para denotar equivalencia , se utiliza tanto el símbolo de identidad (como hizo Russell en el ya mencionado trabajo de 1908), como el signo propuesto por Albrecht Becker (1933) [212] [216] . $\a$ $\equiv$ $\leftrightarrow$

${\ estilo de visualización \ mid \ \ flecha abajo}$

El trazo de Schaeffer para designar la operación de anticonjunción fue introducido por Henry Schaeffer , quien fundamentaba en su artículo “Un conjunto de cinco postulados independientes…” [217] (1913) la posibilidad de construir una lógica proposicional a partir de una única operación lógica. - anticonjunción [218] . Los resultados de Schaeffer, sin embargo, fueron anticipados por Charles Peirce (1880), quien, en su obra inédita "Boolean Algebra with One Constant", en realidad llevó a cabo tal construcción sobre la base de otra operación: la antidisyunción , que generalmente se denota con un signo ( Flecha de Pearce ) [219] [220] . $\medio$ $\flecha hacia abajo$

${\ estilo de visualización \ para todos \ \ existe}$

Los primeros símbolos para cuantificadores aparecieron en 1879 en el Calculus of Concepts de Gottlob Frege ; La notación de Frege se basó en una notación bidimensional engorrosa y no se usó mucho en el futuro. Posteriormente, se propusieron designaciones más exitosas; por ejemplo, Oscar Mitchell en 1883 y Charles Peirce en 1885 utilizaron letras griegas mayúsculas y (el término "cuantificador" también fue propuesto por Peirce) [221] . La notación generalmente aceptada para el cuantificador existencial fue ( Giuseppe Peano , 1897), y para el cuantificador general, el símbolo , formado por Gerhard Gentzen en 1935 por analogía con el símbolo de Peano; estos caracteres son las primeras letras invertidas de las palabras en inglés Exists 'exists' y All 'all' [222] [223] . $\Pi$ $\Sigma$ $\existe$ $\para todos$

${\ estilo de visualización \ vdash}$

El signo de derivabilidad ( torniquete ) fue introducido, en esencia, por Frege (1879) en el ya mencionado libro "Calculus of Concepts" [224] . En estilo moderno se encuentra en Bertrand Russell (1908) [210] .

${\ estilo de visualización \ lambda xE}$

Expresión significa "una función que asigna a cada valor del argumento el valor correspondiente de expresión " (donde generalmente depende de ). El operador de abstracción λ y el cálculo λ basado en su uso fueron propuestos por Alonzo Church a fines de la década de 1920 (la primera publicación fue su artículo [225] en 1932, en el que Church, sin embargo, todavía escribía ; la notación estándar moderna tomó en 1941 ) [226] . ${\ estilo de visualización \ lambda xE}$ $X$ $mi$ $mi$ $X$ ${\ estilo de visualización \ lambda x [E]}$

$\in \\cap \\cup \\subset \\supset$

El simbolismo de la teoría de conjuntos estuvo muy influido por el simbolismo de la lógica matemática , estrechamente relacionado con ella y ya bien desarrollado a finales del siglo XIX . El signo de pertenencia (originalmente una letra estilizada ε en griego εστι 'ser') fue introducido por Giuseppe Peano (1889) en su obra "Fundamentos de aritmética expuestos de una manera nueva" [227] . También es autor de los símbolos para la intersección y unión de conjuntos (1888). Los símbolos de la teoría de conjuntos "contiene" y "contiene" aparecieron en 1890 con Ernst Schroeder [212] [228] . $\en$

${\ estilo de visualización \ aleph \ \ omega \ c}$

En la década de 1880, Georg Cantor descubrió la jerarquía de los conjuntos infinitos y los ordenó por cardinalidad . El más pequeño de ellos, el poder de la serie natural , designó la primera letra del alfabeto hebreo " aleph " con índice cero: Kantor designó el número ordinal de la serie natural por la letra de la última letra del alfabeto griego . La cardinalidad de un conjunto de números reales generalmente se denota con una letra (de la palabra continuum 'continuidad') [229] [230] . ${\ estilo de visualización \ aleph _ {0}.}$ $\ omega ,$ $C$

$\varnada\\emptyset$

El signo del conjunto vacío fue propuesto en 1939 por André Weil durante el trabajo del grupo Bourbaki en la preparación para la publicación del libro “Teoría de Conjuntos. Summary of results" del tratado "Elements of Mathematics" (una letra del alfabeto noruego con el mismo estilo se utilizó como prototipo del signo) [231] . Antes de 1939, el conjunto vacío se denotaba a veces con el símbolo cero [232] . $\varnada$

$f\dos puntos X\rightarrow Y$

La notación para convertir un conjunto X en un conjunto Y apareció por primera vez en 1940 en las conferencias de Vitold Gurevich sobre grupos de homotopía relativa [233] . $f\dos puntos X\rightarrow Y$

$\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

En 1888, Richard Dedekind en el artículo " Was ist und was sollen die Zahlen " utilizó por primera vez el símbolo para el conjunto de los números naturales y para el conjunto de los números reales . Para los números enteros y complejos, Dedekind propuso los símbolos , respectivamente. La notación moderna generalmente aceptada para el conjunto de números enteros fue utilizada por primera vez por Edmund Landau en 1930 (Landau tenía un guión sobre el símbolo Z , que luego fue abolido). Bourbaki , en Algebraic Structures (1942), apoyó el símbolo y propuso una notación para el campo de los números racionales. El símbolo para el campo de los números complejos apareció en un artículo de Nathan Jacobson (1939) y fue generalmente aceptado en la década de 1950 [234] . $\matemáticas {N}$ $\matemáticas {R}$ $\mathbb {K} ,\mathbb {J}$ $\matemáticas {Z}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {\ bar {Z}}}$ $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {C}$

Otras denominaciones

El símbolo de porcentaje apareció a mediados del siglo XVII en varias fuentes a la vez, su origen no está claro. Existe la hipótesis de que surgió por error de un cajista, quien escribió la abreviatura cto (cento, centésima) como 0/0. Es más probable que se trate de una insignia comercial cursiva que surgió unos 100 años antes [235] .

$C_{n}^{k}\ {n \elegir k}\ A_{n}^{k}$

La designación para el número de combinaciones (o, lo que es lo mismo, para los coeficientes binomiales ) apareció en 1880 con el matemático inglés Robert Potts ( Robert Potts , 1805-1885), procede del lat. combinatio - combinación. Al mismo tiempo, en la notación de Potts, el símbolo superior estaba ubicado a la izquierda, no a la derecha de la letra C. En la literatura occidental, la segunda versión de la designación es común: propuesta por Euler , pero también difería de la moderna al principio: las de Euler fueron reorganizadas y separadas por una línea horizontal, como una fracción. La notación ahora aceptada en Occidente fue estandarizada por el matemático alemán Andreas von Ettingshausen en el libro Combinatorial Analysis (1827), luego fueron apoyadas por Josef Ludwig Raabe (1851). La notación para el número de ubicaciones fue propuesta en 1904 por otro matemático alemán , Eugen Netto , por analogía con el número de combinaciones [236] [237] . $C_{n}^{k}$ $k$ ${n\elegir k},$ $n k$ $A_{n}^{k}$

$\infty \ +\infty \ -\infty$

El símbolo del infinito fue inventado por John Vallis , publicado en 1655 [28] . Dos modificaciones de este símbolo aparecieron en Weierstrass (1876) y encontraron una amplia aplicación en el análisis: más-infinito y menos-infinito [230] .

$x_{n}$

Newton (1717) introdujo la indexación para la numeración de variables homogéneas en su forma moderna. Al principio, debido a restricciones tipográficas, los índices no se imprimían debajo de la línea, sino al mismo nivel. Los índices dobles (para elementos de matrices ) fueron introducidos en el uso general por Jacobi (1835) [238] .

${\cancel {0}}\ {\cancel {\mathsf {O}}}$

En la práctica de la ingeniería, se utiliza un círculo cruzado para indicar el diámetro (carácter Unicode-8960) [239] . Al trabajar con una computadora , debido al peligro de confundir el número 0 con la letra O latina o rusa , en un momento hubo una recomendación (especialmente relevante cuando se escriben programas en formularios de codificación ) para tachar el cero [240] : (a veces hicieron lo contrario: al programar en una computadora " Minsk-32 " tacharon la letra O , no el cero [241] ). Los generadores de caracteres de muchos terminales de texto , adaptadores de video para computadoras personales e impresoras de matriz de puntos también generan un cero tachado cuando se trabaja en modo de texto (algunas impresoras tienen interruptores incorporados para habilitar y deshabilitar el modo cero tachado) [242] [ 243] . En las fuentes de computadora modernas, la letra O es notablemente más ancha que cero, por lo que generalmente no se requiere tachado. ${\ estilo de visualización {\ cancelar {0}}}$

Véase también

Notas

Comentarios

↑ En el libro de N. V. Alexandrova, la esquina final está mal representada, véase la fotocopia de la página del libro de Bombelli en el libro: Cajori F. , vol. 1, § 144.

Fuentes

↑ Mazur J., 2014 , Capítulo 20. Cita en la mente.
↑ Yushkevich A.P. Leibniz y la base del cálculo infinitesimal // Uspekhi matematicheskikh nauk . - Academia Rusa de Ciencias , 1948. - T. 3 , No. 1 (23) . - S. 155-156 . (Ruso)
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §199.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §639.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 12-13.
↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 21
↑ Gardiner Alan H. Gramática egipcia: una introducción al estudio de los jeroglíficos 3.ª ed., rev. Londres: 1957, pág. 197.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §200.
↑ O'Connor JJ, Robertson EF Una descripción general de las matemáticas babilónicas . Consultado el 23 de diciembre de 2015. Archivado desde el original el 5 de octubre de 2008. (indefinido)
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 42.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 157-161.
↑ Martzloff, Jean-Claude. . Una historia de las matemáticas chinas . - Springer, 1997. - P. 197-200 . — ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 62-64.
↑ 1 2 3 Alexandrova NV, 2008 , pág. 48-50.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 144-145.
↑ Bashmakova I. G. . Ecuaciones diofánticas y diofánticas. - M. : Nauka, 1972 (reimpresión M.: LKI, 2007). — 68 s.
↑ Volodarsky AI Matemáticas en la antigua India // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1975. - Nº 20 . - S. 289 .
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 181-183.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 188-189.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 185-186, 189.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 252.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 212-214, 227.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §134, 135.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 286-290.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §122, 130.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 290-291.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 301-304, 306.
↑ 1 2 3 4 5 6 Enciclopedia matemática, 1979 .
↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 308-311.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §176.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 22-23.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrova NV, 2008 , pág. 111-112.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §188.
↑ 1 2 Aleksandrova NV, 2008 , p. 127.
↑ 1 2 3 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 41.
↑ 1 2 3 Alexandrova NV, 2008 , pág. 141.
↑ 1 2 3 Alexandrova NV, 2008 , pág. 123.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §185.
↑ 1 2 3 Alexandrova NV, 2008 , pág. 130-131.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §315.
↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 40-46.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §392.
↑ 1 2 3 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §359.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §396-397.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §372.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 234-237, 266.
↑ 1 2 3 Alexandrova NV, 2008 , pág. 142-143.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §622.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 255-257, 266.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 45-46.
↑ Mazur J., 2014 , Capítulo 18. El maestro del símbolo.
↑ 1 2 Aleksandrova NV, 2008 , p. 54.
↑ 1 2 3 Diccionario enciclopédico de un joven matemático, 1985 .
↑ 12 Rouse Ball W. W. Breve relato de la historia de las matemáticas. 4ª ed . - Publicaciones de Dover, 2010. - 522 p. - (Libros de Dover sobre Matemáticas). - ISBN 978-0486206301 . — Pág. 242.
↑ 1 2 Hairer E., Wanner G. . El análisis matemático a la luz de su historia. - M. : Mundo científico, 2008. - 396 p. - ISBN 978-5-89176-485-9 . - art. 172.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 78-79 ($451).
↑ 1 2 3 Alexandrova NV, 2008 , pág. 150-151.
↑ 1 2 Aleksandrova NV, 2008 , p. 63.
↑ 1 2 Aleksandrova NV, 2008 , p. 22-23.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §667-670.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §677-678.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §685-691.
↑ 1 2 Aleksandrova NV, 2008 , p. 67.
↑ 1 2 3 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 281-314.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §695.
↑ Orlov S. A. Teoría y práctica de los lenguajes de programación: un libro de texto para universidades. Estándar de 3ra generación. - M. : Piter, 2013. - S. 148-149. — 688 pág. - ISBN 978-5-496-00032-1 .
↑ Akimov P. A., Kaitukov T. B., Mozgaleva M. L., Sidorov V. N. Informática de la construcción . - M. : ASV, 2014. - S. 56. - 432 p. - ISBN 978-5-4323-0066-9 .
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 214-215.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 114.
↑ Chrisomalis S. Notación numérica: una historia comparativa . - Cambridge: Cambridge University Press , 2010. - ix + 486 p. - ISBN 978-0-521-87818-0 . — Pág. 195.
↑ Joseph G. G. La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas. 3ra edición . - Princeton: Princeton University Press , 2011. - xxvii + 561 p. - ISBN 978-0-691-13526-7 . — Pág. 339.
↑ Pushkin A. S. . Obras Completas . - M. : Pravda, 1954. - T. 5. - S. 286.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §96.
↑ Jean-Claude Martzloff. Una historia de las matemáticas chinas. - Springer, 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. . Matemáticas en el Islam medieval // Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India y el Islam: un libro de consulta . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - página 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. . Juan Napier, 1550-1617 — M .: Nauka , 1980. — 226 p. — (Literatura científica y biográfica). - S. 197-204.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §276-277.
↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 136.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §186, 195, 282.
↑ Glazer G.I., 1981 , p. 43.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §286-288.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §91.
↑ El Sistema Internacional de Unidades (SI) . Fecha de acceso: 30 de diciembre de 2015. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido) : "Después de la 9ª CGPM (1948, Resolución 7) y la 22ª CGPM (2003, Resolución 10), para números con muchos dígitos, los dígitos pueden dividirse en grupos de tres por un espacio delgado, para facilitar la lectura. No se insertan puntos ni comas en los espacios entre grupos de tres".
↑ Parte 0: Principios generales, Secc. 3.3 // Norma internacional ISO 31-0: Cantidades y unidades. — Ginebra: Organización Internacional de Normalización , 1992.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §212.
↑ Mazur J., 2014 , Capítulo 17. Un catálogo de símbolos.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 42, 144-145, 308-310.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 22, 40-41.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §340-341.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §498-500.
↑ hexadecimal . Fecha de acceso: 21 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §201-209.
↑ Ars Magna de Cardano, página 4 . Fecha de acceso: 8 de octubre de 2013. Archivado desde el original el 19 de agosto de 2014. (indefinido)
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 126-127.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §217, 232-233.
^ Técnicas de multiplicación acelerada (2 de marzo de 2008). Fecha de acceso: 12 de enero de 2016. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §218-230.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §235-239.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 40
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §164.
↑ Símbolos de división (inglés) (enlace no disponible) . Consultado el 22 de agosto de 2015. Archivado desde el original el 14 de mayo de 2011.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §161.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 170-171.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §195, 342-350.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §210.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §290-297.
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 59-60.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §298-301, 307-309.
↑ 1 2 Nikiforovsky V. A. . De la historia del álgebra de los siglos XVI-XVII. — M .: Nauka , 1979. — 208 p. — (Historia de la ciencia y la tecnología). - S. 81.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §318-321.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §328-333.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 22-23, 106, 218.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §260-268.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , pág. 139.
↑ 12 Math4school._ _ _
↑ Ben-Menahem A., 2007 , pág. 5503.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 173, 183.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 144.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 120, 190.
↑ Primeros usos de los símbolos de la geometría . Consultado el 22 de agosto de 2015. Archivado desde el original el 2 de noviembre de 2015.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §514-515.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 124-125.
↑ Livio M. La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo . - NY: Broadway Books , 2002. - viii + 294 p. — ISBN 0-7679-0815-5 . - Pág. 5-6, 72-75.
↑ Sen SK, Agarwal RP Proporción áurea en la ciencia, como fuente de secuencia aleatoria, su computación y más allá // Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . - 2008. - Vol. 56, núm. 2.- Pág. 469-498. -doi : 10.1016 / j.camwa.2007.06.030 .
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §408.
↑ Paul Pollock. Primeros usos de los símbolos de la teoría de números (enlace inaccesible) . Consultado el 22 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 31 de enero de 2010. (indefinido)
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §409.
↑ Donald Knuth . El Arte de Programar, Volumen I. Algoritmos Básicos. - M .: Mir , 1976. - S. 81. - 736 p.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 199-200.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. catorce.
↑ Knut D. El arte de la programación informática. T. 1. Algoritmos básicos. — M .: Mir , 1976. — 735 p. - S. 68.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §407.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §643-646.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 204-205.
↑ Lector sobre la historia de las matemáticas. Análisis matemático. Teoría de la probabilidad, 1977 , p. 82.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §469-471.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 150, 158, 170.
↑ 1 2 Primeros usos de símbolos para funciones trigonométricas e hiperbólicas . Fecha de acceso: 7 de enero de 2016. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 166.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 150, 163, 166.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 170.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 210-211.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 172-174.
↑ Funciones hiperbólicas // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §211.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 168.
↑ Ben-Menahem A., 2007 , pág. 5503-5504.
↑ Primeros usos de los símbolos de función . Consultado el 8 de enero de 2016. Archivado desde el original el 30 de noviembre de 2015. (indefinido)
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 280-281.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 278.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 272-275.
↑ Solomentsev E. D. . Amplitud de la integral elíptica // Enciclopedia Matemática. Vol. 1 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética , 1977. - 1152 stb. - Stb. 243.
↑ 1 2 Solomentsev E. D. . Funciones elípticas de Jacobi // Enciclopedia matemática. T. 5 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética , 1985. - 1248 stb. - Stb. 1054-1058.
↑ Solomentsev E. D. . Funciones elípticas de Weierstrass // Enciclopedia matemática. Vol. 1 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética , 1977. - 1152 stb. - Stb. 621-624.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 279.
↑ 1 2 Watson G. N. . Teoría de las funciones de Bessel. Parte 1. - M. : IIL , 1949. - 798 p. - págs. 70-71, 88, 92.
↑ Vallee O., Soares M. . Airy Funciones y Aplicaciones a la Física . - Londres: Imperial College Press , 2004. - x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 . — Pág. 4.
↑ Fedoryuk M. V. . Funciones de Airy // Enciclopedia matemática. T. 5 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética , 1985. - 1248 stb. - Stb. 939-941.
↑ Airy Function Ai: Introducción a las funciones de Airy . // El sitio de las funciones de Wolfram . Consultado el 5 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 3 de junio de 2016. (indefinido)
↑ Curry H. B. , Schoenberg I. J. Sobre las distribuciones spline y sus límites: las funciones de distribución de Pólya // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1947. - Vol. 53, núm. 11. - Pág. 1114.
↑ Tikhomirov V. M., 1987 , p. 190.
↑ Zavyalov Yu. S., Leus V. A., Skorospelov V. A. . Splines en geometría de ingeniería. - M. : Mashinostroenie, 1985. - 224 p. - S. 46-47.
↑ De Bohr K. . Una guía práctica de splines. - M. : Radio y comunicación, 1985. - 304 p. - S. 86-87, 91.
↑ Kravchenko V. F. . Conferencias sobre la teoría de las funciones atómicas y algunas de sus aplicaciones. - M. : Ingeniería de radio, 2003. - 510 p. — ISBN 5-93108-019-8 . - art. 272.
↑ Rvachov V. L. , Rvachov V. O. Acerca de una función finita // DAN URSR. Ser. A.- 1971.- N° 8 . - S. 705-707 .
↑ Tikhomirov V. M., 1987 , p. 202-203.
↑ Teoría de funciones R y problemas actuales de matemática aplicada / Otv. edición V. I. Mossakovsky. - Kiev: Naukova Dumka , 1986. - 264 p. - S. 46.
↑ Dirac P.A.M. La interpretación física de la dinámica cuántica // Actas de la Royal Society . - 1927. - Vol. 113. - Pág. 621-641.
↑ Dirac P.A.M. La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación // Actas de la Royal Society . - 1927. - Vol. 114. - Pág. 243-265.
↑ Egorov Yu. V. Sobre la teoría de funciones generalizadas // Avances en Ciencias Matemáticas . - Academia Rusa de Ciencias , 1990. - T. 45, no. 5 . - S. 3-40 . (Ruso)
↑ Bernstein J. . Un coro de campanas y otras investigaciones científicas . - Singapur: World Scientific , 2014. - xii + 274 p. — ISBN 978-9-81-457894-3 . - Pág. 70-71.
↑ Lützen J. . La Prehistoria de la Teoría de las Distribuciones . - NY: Springer Science & Business Media , 2012. - viii + 232 p. - (Estudios de Historia de las Ciencias Matemáticas y Físicas. Vol. 7). — ISBN 978-1-4613-9474-7 . - Pág. 115-116.
↑ Bogolyubov A. N. . Matemáticas. Mecánica. Guía biográfica . - Kyiv: Naukova Dumka, 1983. - 639 p. - art. 118.
↑ Glazer G.I., 1983 , p. 91.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §506, 509.
↑ Salón B.C. Teoría cuántica para matemáticos . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 p. - (Textos de Grado en Matemáticas. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . — Pág. 85.
↑ Banach S. Sur les operation dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales // Fundamenta Mathematicae . - 1922. - Vol. 3.- Pág. 133-181.
↑ Megginson R. E. . Una introducción a la teoría del espacio de Banach . - NY: Springer Science & Business Media , 2012. - xix + 598 p. - (Textos de Grado en Matemáticas. Vol. 183). - ISBN 978-1-4612-0603-3 . - P. ix-x.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 97.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §462.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §510.
↑ 1 2 Aleksandrova NV, 2008 , p. 168.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §400-401.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 45, 153.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §572.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 234, nota al pie 2.
↑ Landau E. . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Leipzig: Teubner, 1909. - xviii + 961 S. - S. 883.
↑ Narkiewicz W. . El desarrollo de la teoría de los números primos: de Euclides a Hardy y Littlewood . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xii + 449 p. — ISBN 978-3-662-13157-2 . - P.xi.
↑ Leibniz G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus // Acta Eruditorum . - 1684. - vol. 3.- Pág. 467-473.
↑ Leibniz G. W. Responsio ad nonnullas dificulta un Dn. Bernardo Niewentijt circa methodum differenceem seu infinitesimalem motas // Acta Eruditorum . - 1695. - Pág. 310-316.
↑ Rybnikov K. A. . Historia de las matemáticas. 2ª ed. - M. : Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1974. - 456 p. - S. 182-183.
↑ Bos H. J. M. Diferenciales, diferenciales de orden superior y la derivada en el cálculo leibniziano // Archive for History of Exact Sciences . - 1974. - vol. 14, núm. 1.- Pág. 1-90.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §575.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §593-611.
↑ Leibniz G. W. De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum // Acta Eruditorum . - 1686. - vol. 5.- Pág. 292-300.
↑ Durán, Antonio H. La verdad en el límite. Análisis de infinitesimales. - M. : De Agostini, 2014. - S. 86. - 144 p. — (El Mundo de las Matemáticas: en 45 volúmenes, tomo 14). - ISBN 978-5-9774-0708-3 .
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , § 620.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §539-541.
↑ 1 2 Aleksandrova NV, 2008 , p. 58-59.
↑ Yushkevich A.P. Desarrollo del concepto de límite antes de K. Weierstrass // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1986. - Nº 30 . - art. 76 .
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 133-135.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §631-637.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §626.
↑ Domínguez A. Una historia de la operación de convolución // IEEE Pulse. - 2015. - Vol. 6, núm. 1.- Pág. 38-49.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 107-108.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §592.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 37, 44, 158.
↑ Carl Anton Bretschneider. Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13 de octubre de 1835) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1837. - Vol. 17.- Pág. 257-285.
↑ Kondakov NI, 1975 , p. 534-540.
↑ 1 2 Russell B. Lógica matemática basada en la teoría de los tipos // American Journal of Mathematics . - 1908. - Vol. 30, núm. 3.- Pág. 222-262.
↑ Kondakov NI, 1975 , p. 150.
↑ 1 2 3 4 Primeros usos de símbolos de teoría y lógica de conjuntos . Fecha de acceso: 17 de diciembre de 2015. Archivado desde el original el 10 de abril de 2015. (indefinido)
↑ 1 2 Wegner P. . Programación en lenguaje Ada. — M .: Mir , 1983. — 240 p. - S. 68.
↑ 1 2 Ellis M. , Stroustrup B. . Una guía de referencia del lenguaje de programación C++ con comentarios. — M .: Mir , 1992. — 445 p. — ISBN 5-03-002868-4 . - S. 65, 86-87.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 291.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 299, 301.
↑ Sheffer H. M. Un conjunto de cinco postulados independientes para álgebras booleanas, con aplicación a constantes lógicas // Transactions of the American Mathematical Society . - 1913. - vol. 14.- Pág. 481-488.
↑ Kondakov NI, 1975 , p. 43, 672-673.
↑ Styazhkin NI, 1967 , p. 443-444.
↑ Kondakov NI, 1975 , p. 42, 571.
↑ Styazhkin NI, 1967 , p. 357, 429-430, 438.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 72.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 293-314.
↑ Kondakov NI, 1975 , p. 102.
↑ Church A. Un conjunto de postulados para la base de la lógica // Annals of Mathematics. Serie 2. - 1932. - Vol. 33, núm. 2.- Pág. 346-366.
↑ Seldin J. P. . La lógica de Church y Curry // Lógica de Russell a Church / Ed. por DM Gabbay y J. Woods. - Ámsterdam: Holanda Septentrional , 2009. - xii + 1055 p. - (Manual de Historia de la Lógica. Vol. 5). — ISBN 978-0-444-51620-6 . - Pág. 819-874.
↑ Marciszewski W., Murawski R. . Mecanización del Razonamiento en una Perspectiva Histórica . - Ámsterdam: Rodopi, 1995. - 267 p. — (Estudios de Filosofía de las Ciencias y las Humanidades de Poznań, vol. 43). — ISBN 90-5183-790-9 . - Pág. 162-163.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , pág. 294.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 104-106.
↑ 1 2 Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §421.
↑ Weil A. . El aprendizaje de un matemático . - Basilea: Birkhäuser Verlag, 1992. - 197 p. — ISBN 3-7643-2650-6 . — Pág. 114.
↑ Hausdorf F. Teoría de conjuntos. - M. - L. : GITTL, 1937. - S. 10. - 305 p.
↑ Maclane S. . Categorías para el Matemático Trabajador . - NY: Springer-Verlag , 1971. - ix + 261 p. - (Textos de Grado en Matemáticas. Vol. 5). - ISBN 978-0-387-90036-0 . — Pág. 29.
↑ Primeros usos de los símbolos de la teoría de números . Consultado el 3 de abril de 2021. Archivado desde el original el 16 de abril de 2021. (indefinido)
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 148.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 74-75.
↑ Donald Knuth . El Arte de Programar, Volumen I. Algoritmos Básicos. - M .: Mir , 1976. - S. 85. - 736 p.
↑ Aleksandrova NV, 2008 , pág. 56-57.
↑ Bolshakov V.P., Tozik V.T., Chagina A.V. . Ingeniería y Computación Gráfica . - San Petersburgo. : BHV-Petersburgo, 2013. - 288 p. - ISBN 978-5-9775-0422-5 . - S. 90.
↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. . Programación en lenguaje ensamblador ES Computer. — M .: Estadísticas, 1976. — 296 p. - S. 13-14, 19.
↑ Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S. . Ordenador Kobol Minsk-32. Subsidio para empleados de centros de cómputo. - M. : Estadísticas, 1973. - 284 p.
↑ Bryabrin V. M. . Software para computadoras personales. 3ra ed. — M .: Nauka , 1990. — 272 p. — ISBN 5-02-014824-5 . - S. 17, 113-114.
↑ Smirnov N. N. . Software para computadoras personales. - L . : Mashinostroenie, 1990. - 272 p. — ISBN 5-217-00029-5 . - S. 13, 80-81.

Literatura

Alexandrova N. V. . Historia de términos matemáticos, conceptos, designaciones: Diccionario-libro de referencia. - 3ra ed. - San Petersburgo. : LKI, 2008. - 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
- Reedición de 2015: URSS, ISBN 978-5-382-01578-1 .
Bashmakova I. G. . Formación de álgebra (a partir de la historia de las ideas matemáticas). - M. : Saber, 1979. - 64 p. - (Matemáticas, Cibernética, N° 9 (1979)).
Vileitner G. Una historia de las matemáticas desde Descartes hasta mediados del siglo XIX . - M. : GIFML, 1960. - 468 p. - S. 13-17.
Glazer G. I. . Historia de las matemáticas en la escuela. Clases IV - VI. - M. : Educación , 1981. - 239 p.
Glazer G. I. . Historia de las matemáticas en la escuela. Clases VII - VIII. - M. : Educación , 1982. - 240 p.
Glazer G. I. . Historia de las matemáticas en la escuela. Clases IX-X. - M. : Educación , 1983. - 351 p.
Depman I. Ya. Historia de la aritmética. Una guía para profesores. 2ª ed . - M. : Educación , 1965. - 416 p. - S. 208-212.
Signos matemáticos // Gran Enciclopedia Soviética . - Ed. 3er. - T. 9.
Signos matemáticos // Enciclopedia matemática. Vol. 2 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética , 1979. - 1104 stb. - Stb. 457-463.
Signos matemáticos // Diccionario enciclopédico de un joven matemático / Comp. A. P. Savin. - M .: Pedagogía , 1985. - 352 p. - S. 114-116.
Historia de las matemáticas editada por A. P. Yushkevich en tres volúmenes:
- Historia de las matemáticas. T. I. Desde la antigüedad hasta el comienzo de la Nueva Era / Editado por A. P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1970. — 352 p.
- Historia de las matemáticas. T. II. Matemáticas del siglo XVII / Editado por A.P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1970. — 301 p.
- Historia de las matemáticas. T. III. Matemáticas del siglo XVIII / Editado por A.P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1972. — 496 p.
Kondakov N. I. Libro de referencia del diccionario lógico. 2ª ed . — M .: Nauka , 1975. — 720 p.
Cajorie F. Historia de las matemáticas elementales. 2ª ed./ Per. De inglés. edición I. Yu. Timchenko. - Odessa: Mathesis, 1910. - x + 368 p.
Styazhkin N. I. . Formación de la lógica matemática. — M .: Nauka , 1967. — 508 p.
Tikhomirov V. M. . Teoría de la aproximación // Problemas modernos de matemáticas. direcciones fundamentales. T. 14. - M. : VINITI AN SSSR , 1987. - 272 p. - S. 103-260.
Lector sobre la historia de las matemáticas. Aritmética y Álgebra. Teoría de los números. Geometría / Ed. A. P. Yushkevich. - M. : Educación , 1976. - 318 p.
Lector sobre la historia de las matemáticas. Análisis matemático. Teoría de la Probabilidad / Ed. A. P. Yushkevich. - M. : Educación , 1977. - 224 p.
Zeiten G. G. . Historia de las matemáticas en los siglos XVI y XVII. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 p.
Ben-Menahem A. Enciclopedia histórica de ciencias naturales y matemáticas. vol. 1 . - Berlín: Springer-Verlag , 2007. - cxxix + 5985 p. - ISBN 978-3-540-68831-0 .
Cajori F. . Una historia de las notaciones matemáticas. vol. 1 (reimpresión de 1929) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7 .
Cajori F. . Una historia de las notaciones matemáticas. vol. 2 (reimpresión de 1929) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xii + 392 p. - ISBN 978-1-60206-713-4 .
Mazur J. . Símbolos esclarecedores: una breve historia de la notación matemática y sus poderes ocultos. - Princeton: Princeton University Press, 2014. - 312 p. — ISBN 978-0-69115-463-3 .

Enlaces

Signos matemáticos . Recuperado: 30 de diciembre de 2015. (indefinido)
Cižmár, enero. Los orígenes y el desarrollo de la notación matemática (Un resumen histórico) (inglés) . Recuperado: 4 febrero 2016.
Primeros usos de varios símbolos matemáticos . Recuperado: 17 de diciembre de 2015.
Michon, Gerard P. Símbolos e iconos científicos . Recuperado: 17 de diciembre de 2015.
Weaver D., Smith AD La historia de los símbolos matemáticos (inglés) . Fecha de acceso: 23 de enero de 2016. Archivado desde el original el 20 de febrero de 2001.

historia de las matematicas
paises y eras	periodo prehistórico Antiguo Egipto Babilonia China antigua Antigua Grecia India Armenia Imperio Inca países islámicos Rusia
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Signos matemáticos

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