Círculos de johnson

El conjunto de círculos de Johnson consta de tres círculos del mismo radio r que tienen un punto de intersección común H . En esta configuración, los círculos suelen tener cuatro puntos de intersección (puntos por los que pasan al menos dos círculos): este es el punto de intersección común H , por el que pasan los tres círculos, y un punto adicional para cada par de círculos (hablaremos sobre ellos como intersecciones por pares). Si dos círculos cualesquiera no se intersecan (sino que solo se tocan), solo tienen un punto común: H , en cuyo caso se considera que H es también su punto de intersección por pares. Si los círculos coinciden, el punto diametralmente opuesto al punto H se toma como punto de intersección por pares . Tres puntos de intersecciones por pares de los círculos de Johnson forman el triángulo de soporte Δ ABC de la figura. La configuración lleva el nombre de Roger Arthur Johnson [1] [2] .

Nota

Si el triángulo de soporte original ABC tiene un ángulo agudo y está predeterminado, entonces, en virtud del teorema de Hamilton, sus tres círculos de Johnson de radios iguales son simplemente tres círculos circunscritos de tres triángulos de Hamilton que tienen dos vértices del triángulo de soporte dado ABC como dos vértices, y el ortocentro H del triángulo de apoyo como tercer vértice

Propiedades

Los centros de los círculos de Johnson se encuentran en un círculo del mismo radio R que el círculo de Johnson, y este círculo tiene el punto H como su centro . Los centros de los círculos mismos forman el triángulo de Johnson ΔJ A J B J C .
Un círculo de radio 2 R con centro en el punto H , conocido como el círculo anti-complementario, es tangente a los tres círculos de Johnson ( R es el radio del círculo circunscrito al triángulo ABC ). Los tres puntos tangentes son los reflejos del punto H con respecto a los vértices del triángulo de Johnson .
Los puntos tangentes de los círculos de Johnson y el círculo anticomplementario forman un triángulo, que se denomina " triángulo anticomplementario " o " triángulo anticomplementario " del triángulo de referencia (original) ABC . Este triángulo es similar y homotético al triángulo de Johnson con factor 2 y centro de similitud H .
Teorema de Johnson : Los puntos de intersección por pares de los círculos de Johnson (los vértices del triángulo ABC ) se encuentran en un círculo del mismo radio R que los círculos de Johnson. Esta propiedad es bien conocida en Rumania como el problema de las cinco monedas de Gheorghe Ciceica .
El triángulo de apoyo es igual al triángulo de Johnson y es homotético con un factor −1. Es decir, el triángulo de Johnson entra en el triángulo de referencia al girar uno de ellos en un ángulo de 180 grados con respecto a su centro de similitud.
El punto H es el ortocentro del triángulo de referencia y el circuncentro del triángulo de Johnson .
El centro de similitud del triángulo de Johnson y el triángulo de referencia es su centro común de nueve puntos . Es decir, el triángulo de Johnson y el triángulo de referencia tienen un círculo de nueve puntos en común .
Comentario. Los vértices del triángulo de Johnson se denotan por J A , J B y J C , es decir, lo mismo que los centros de las excircunferencias del triángulo de referencia. Ellos no son. En virtud del teorema del tridente, para el centro de la circunferencia excircunferencia tangente al lado , tenemos , donde el centro de la circunferencia inscrita del triángulo de referencia es el punto de intersección de la bisectriz del ángulo con la circunferencia circunscrita del triángulo . Tenemos una relación similar . Sin embargo, el punto no se encuentra en el círculo circunscrito del triángulo (es decir, no es un análogo del punto ), y el ortocentro no es el centro del círculo inscrito del triángulo de referencia. ${\ estilo de visualización J_ {B}}$ $C.A.$ $|DI|=|DA|=|DC|=|DJ_{B}|$ $yo$ $D$ $A$ $A B C$ $|J_{A}H|=|J_{A}C|=|J_{A}B|=|J_{A}P_{A}|$ $J_{A}$ $A B C$ $D$ $H$ $yo$

Nota

H es el ortocentro del triángulo ABC (entonces, en virtud del teorema de Hamilton, los radios de los círculos de Johnson son iguales). O es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC . Al igual que el teorema de Hamilton , el teorema de Johnson solo tiene sentido para triángulos acutángulos. Los puntos J A , J B y J C se designan con la primera letra del nombre Johnson , y no son los centros de las excircunferencias del triángulo ABC , que se denotan con letras similares.

Evidencia

La propiedad 1 es obvia a partir de la definición.

La propiedad 2 también es clara: para cualquier círculo de radio r y cualquier punto P en él, el círculo con radio 2 r y centro en P toca el círculo en el punto opuesto al punto P . En particular, esto también es cierto para P = H , donde el círculo de radio 2 r es el círculo anticomplementario C .

La propiedad 3 se sigue inmediatamente de la definición de similitud.

Para las propiedades 4 y 5, primero observe que dos cualesquiera de los tres círculos de Johnson son simétricos con respecto a la línea que pasa por el punto H y el punto de intersección por pares de estos círculos (o con respecto a la tangente común en H , si estos puntos coinciden) y esta simetría intercambia los dos vértices de los triángulos anticomplementarios que se encuentran en estos círculos. Por lo tanto, los puntos de intersección por pares son los puntos medios de un triángulo anticomplementario, y H se encuentra en la perpendicular al punto medio de este lado. Los puntos medios de los lados de cualquier triángulo son las imágenes de los vértices del triángulo bajo homotecia con el factor −1 y el centro coincidente con el centro de gravedad del triángulo. Aplicando esta propiedad a un triángulo anti-complementario, que a su vez se obtiene de un triángulo de Johnson por una homotecia con un factor de 2, de la composición de las homotecias obtenemos que el triángulo de apoyo es similar al triángulo de Johnson con un factor de − 1. Dado que tal homotecia es una congruencia , esto da la propiedad 5 y también prueba el teorema de Johnson, ya que los triángulos congruentes tienen los mismos radios circunscritos .

Propiedad 6. Ya se ha establecido que las perpendiculares a los puntos medios de los lados de un triángulo anticomplementario pasan por el punto H . Debido a que estos lados son paralelos a los lados del triángulo de referencia, estas perpendiculares también son las alturas del triángulo de referencia.

La propiedad 7 se sigue inmediatamente de la propiedad 6, ya que el centro de similitud con el factor -1 debe estar en el medio entre el centro del círculo circunscrito O del triángulo de referencia y el punto H . El punto H es el ortocentro del triángulo de apoyo, y se sabe que su centro de nueve puntos es este punto medio. En vista de la simetría central que asigna el ortocentro del triángulo de referencia al ortocentro del triángulo de Johnson, el centro de similitud es también el centro de los nueve puntos del triángulo de Johnson.

También hay una prueba algebraica del teorema de los círculos de Johnson usando fórmulas vectoriales simples. Hay vectores , y , todas las longitudes r , y los círculos de Johnson tienen centros en , y , respectivamente. Entonces las intersecciones por pares son , y respectivamente, y es claro que el punto tiene una distancia r a cualquier punto de intersección por pares. ${\vec{u}}$ $\vec{v}$ $\vec{w}$ ${\ Displaystyle H+ {\ vec {u}}}$ $H+{\vec {v))$ $H+{\vec {w))$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}$

Otras propiedades

Los tres círculos de Johnson se pueden considerar como reflejos de un círculo circunscrito alrededor del triángulo de referencia con respecto a sus tres lados. Además, cuando se refleja, el ortocentro H va a tres puntos en el círculo circunscrito alrededor del triángulo de soporte, formando los vértices del triángulo del ortocírculo , el centro del círculo circunscrito O se asigna a los vértices del triángulo de Johnson, y su línea de Euler ( la línea que pasa por O , N y H ) forma tres líneas que se cortan en el punto X (110).

El triángulo de Johnson y su triángulo de referencia tienen los mismos centros de nueve puntos, la misma línea de Euler y los mismos círculos de nueve puntos . Seis puntos, los vértices del triángulo de referencia y los vértices de su triángulo de Johnson, se encuentran en la elipse de Johnson , que tiene un centro en el centro de nueve puntos y el punto X (216) del triángulo de referencia es su punto de perspectiva . La elipse circunscrita y el círculo circunscrito tienen cuatro puntos comunes: tres vértices del triángulo de referencia y el punto X (110).

Y por último, hay dos interesantes curvas cúbicas descritas en la literatura, que pasan por los vértices del triángulo de apoyo y su triángulo de Johnson, así como por el centro de la circunferencia circunscrita, el ortocentro y el centro de nueve circunferencias. La primera curva se conoce como la curva de Musselmann - K 026. Esta curva también pasa por los vértices del triángulo mediano y el triángulo mediano del triángulo de Johnson. La segunda curva se conoce como la curva de Euler de los centros - K 044. Esta curva también pasa por seis puntos - las bases de las alturas y las bases de las alturas del triángulo de Johnson.

La notación de punto X ( i ) pertenece a la clasificación de Clark Kimberling en Encyclopedia of Triangle Points .

Notas

↑ Johnson, 1929 .
↑ Johnson, 1916 , pág. 161-162.

Literatura

Roger Arturo Johnson. Geometría moderna: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo. -Houghton: Compañía Mifflin, 1929.
Roger Arturo Johnson. Un teorema del círculo // American Mathematical Monthly . - 1916. - Emisión. 23 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Johnson Theorem (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
FM Jackson y Weisstein, Eric W. Johnson Circles (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
F. M. Jackson y Weisstein, Eric W. Johnson Triangle (inglés) en Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Johnson Circumconic (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Circum-Orthic Triangle (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Bernard Gibert Circumcubic K026 Archivado el 19 de marzo de 2007 en Wayback Machine .
Bernard Gibert Circuncubic K044
Clark Kimberling, " Enciclopedia de centros de triángulos Archivado el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine ". (Enumera unos 3000 puntos interesantes asociados con cualquier triángulo).