Círculos de Malfatti

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Los círculos de Malfatti  son tres círculos dentro de un triángulo dado, de modo que cada círculo toca los otros dos y dos lados del triángulo. Los círculos llevan el nombre de Gianfrancesco Malfatti , quien comenzó a investigar el problema de construir estos círculos con la creencia errónea de que suman el área máxima posible de tres círculos que no se cortan dentro de un triángulo. El problema de Malfatti se relaciona con ambos problemas, tanto la construcción de círculos de Malfatti como el problema de encontrar tres círculos que no se intersecan dentro de un triángulo con el área total máxima.

Problema de Malfatti

En 1803 , Gianfrancesco Malfatti propuso el problema de tallar tres columnas cilíndricas a partir de un prisma de mármol triangular de tal manera que se maximizara el volumen total de las columnas. Creía, como muchos otros después de él, que la solución al problema está dada por tres círculos que se tocan entre sí. Es decir, que los tres círculos de Malfatti dan el área total máxima entre todos los círculos que no se intersecan dentro de un triángulo.

Malfatti publicó la obra en italiano y muchos no pudieron leerla en el original. La obra fue traducida al francés por Joseph Dias Gergonne en el primer volumen de Annales (1810-1811), seguida de una discusión en los volúmenes segundo y décimo. Sin embargo, en la traducción, Gergonne solo planteó el problema de los círculos tangentes, pero no el problema de encontrar el área máxima.

La hipótesis resultó ser incorrecta. En 1930, se descubrió [1] que en algunos triángulos, se puede obtener un área mayor utilizando un algoritmo codicioso que inscribe un círculo de radio máximo en el triángulo, luego inscribe un segundo círculo en uno de los ángulos con el ángulo más pequeño, y luego inscribe un tercer círculo en una de las cinco regiones restantes. La diferencia en el área de un triángulo regular es pequeña, un poco más del 1% [2] pero, como señaló Howard Eaves en 1946 , para un triángulo isósceles con un ángulo muy agudo en el vértice, los círculos óptimos (ubicados uno encima del otro , comenzando desde la base) tienen casi el doble de área en comparación con los círculos de Malfatti [3] [4] . Se demostró en 1967 [5] que para cualquier triángulo la construcción produce tres círculos con un área mayor que los círculos de Malfatti, por lo que los círculos de Malfatti nunca son óptimos.

En 1992 [6] , se clasificaron todas las formas de disponer círculos con área total máxima dentro de un triángulo. Usando esta clasificación, se demuestra que el algoritmo voraz siempre encuentra círculos que maximizan el área, y se propone una fórmula para determinar qué arreglo de círculos es óptimo para un triángulo dado. En 1997, se conjeturó que para cualquier número entero n , un algoritmo codicioso para un triángulo dado encuentra un conjunto de n círculos con el área total máxima. Se sabe que la conjetura es cierta para [7] .

Historia

El problema de construir tres círculos tangentes dentro de un triángulo fue propuesto por el matemático japonés del siglo XVIII Ajima Naonobu (安島 直円) incluso antes del trabajo de Malfatti, y este problema se incluyó en una colección inédita del trabajo de Ajima recopilada un año después de su muerte por un estudiante Kusaka Makoto [8] . El mismo problema se encontró en un manuscrito anterior de 1384 de Montepulciano ( Gilio di Cecco da Montepulciano ). El manuscrito se encuentra en la Biblioteca Municipal en italiano Siena [9] .

Desde la época de Malfatti, ha habido una gran cantidad de trabajos sobre métodos para construir los círculos tangentes de Malfatti. Richard Guy señaló que la literatura sobre el problema es "vasta, fragmentada y no siempre consciente de su propia existencia" [10] [11][ especificar ] . Cabe destacar que en 1826 Jacob Steiner presentó una construcción geométrica simple basada en tangentes comunes . Otros autores argumentaron que la construcción de Steiner no estaba suficientemente probada, y Andrew Searle Hart proporcionó una prueba en 1856, pero Guy señaló la prueba en dos de los propios artículos de Steiner. Lob y Richmond (Lob, Richmond) mencionaron las soluciones de Lemus (CL Lehmus, 1819), Catalan (1845), Derusso (J. Derousseau, 1895), Pampucha (A. Pampuch, 1904) y Coolidge (JL Coolidge, 1916). ), a partir de la formulación algebraica del problema. Las soluciones algebraicas no distinguen entre toques internos y externos de círculos y un triángulo dado. Si el problema es generalizado, permitiendo toques de cualquier tipo, entonces para un triángulo dado hay 32 soluciones diferentes [12] y viceversa, un triple de círculos tangentes entre sí será una solución para ocho triángulos diferentes [10] . Bottema y Guy ( Bottema, 2001 ; Guy, 2007 ) también mencionaron el trabajo sobre el problema y sus generalizaciones de Adams (C. Adams, 1846), Adolphe Quidde (1850), Schellbach (KH Schellbach, 1853), Cayley (1854, 1857, 1875), Clebsh (1857), Simons (P. Simons, 1874), Casey (J. Casey, 1888), Roche y Combrus (Rouché, Comberousse, 1900), Baker (HF Baker, 1925), Rogers (LJ Rogers, 928), Procissi (Angelo Procissi, 1932), Naito (Jun Naito, 1975) y Rogers (DG Rogers, 2005).

Gato y Mazzotti ( Gatto, 2000 , Mazzotti, 1998 ) presentan un episodio de las matemáticas napolitanas del siglo XIX relacionado con los círculos de Malfatti. En 1839, Vincenzo Flauti anunció un concurso que implicaba la solución de tres problemas geométricos, uno de los cuales era la construcción de los círculos de Malfatti. Su objetivo era mostrar la superioridad de la técnica sintética (geometría sin el uso de coordenadas) sobre la analítica. A pesar de que la solución fue encontrada por un estudiante de una escuela rival de geometría analítica , Fortunato Padula, Flauti entregó el premio a su propio estudiante, Nicola Trudi, cuya solución Flauti conocía incluso antes de que se anunciara la competencia. Recientemente, el problema de construir círculos de Malfatti se ha utilizado para probar sistemas de álgebra computacional [13] [14] .

Construcción de Steiner

Aunque muchos de los primeros trabajos de Malfatti sobre círculos usan geometría analítica , en 1826 Jacob Steiner dio la siguiente construcción geométrica simple.

El centro de un círculo tangente a dos lados de un triángulo, que se observa en los círculos de Malfatti, debe estar en una de las bisectrices del triángulo (segmentos verdes en la figura). Estas bisectrices dividen el triángulo en tres triángulos más pequeños, y la construcción de Steiner de los círculos de Malfatti comienza con la construcción de tres círculos auxiliares (que se muestran en la figura con líneas de puntos) inscritos en estos tres triángulos. Cada par de círculos auxiliares tiene dos tangentes comunes. Una de estas tangentes es una bisectriz y la segunda se muestra en la figura con una línea de puntos roja. Indique los lados del triángulo con las letras a , b y c , y las tres tangentes que no son bisectrices con las letras x , y y z , donde x es una tangente común de círculos que no tocan el lado a , y es una tangente común de círculos que no que tocan el lado b , y z es la tangente común de los círculos que no tocan el lado c . Entonces los tres círculos de Malfatti son ]15[bczyyaczx,abyxcuadriláterostresde losinscritoslos [10] .

Fórmula del radio

El radio de cada uno de los tres círculos de Malfatti se puede encontrar mediante una fórmula que utiliza las longitudes de los lados a , b y c del triángulo, el radio del círculo inscrito r , el semiperímetro y las tres distancias d , e y f desde el centro de la circunferencia inscrita del triángulo hasta los vértices opuestos a los lados a , b y c respectivamente. Las fórmulas para estos tres radios son:

(El centro del círculo de radio pertenece al segmento ; El centro del círculo de radio pertenece al segmento ; El centro del círculo de radio pertenece al segmento .)

Según Stevanović ( 2003 ) estas fórmulas fueron descubiertas por Malfatti y publicadas póstumamente en 1811.

Se pueden usar fórmulas relacionadas para encontrar ejemplos de triángulos cuyas longitudes de lado, radio del círculo y radios del círculo de Malfatti sean todos números racionales o enteros. Por ejemplo, un triángulo con lados 28392, 21000 y 25872 tiene un radio de círculo inscrito de 6930 y radios de Malfatti de 3969, 4900 y 4356. Otro ejemplo: un triángulo con lados 152460, 165000 y 190740 tiene un radio de círculo inscrito de 47520 y Malfatti radios de 27225, 309076 y [ 16] .

Puntos de Ajima - Malfatti

Dado un triángulo ABC y sus tres circunferencias de Malfatti, sean D , E y F  los puntos donde se tocan las dos circunferencias, opuestos a los vértices A , B y C respectivamente. Luego, las tres líneas AD , BE y CF se cruzan en un punto notable , conocido como el primer punto Ajima-Malfatti . El segundo punto de Ajima - Malfatti es el punto de intersección de tres líneas que conectan los puntos de contacto de los círculos de Malfatti con los centros de los excírculos del triángulo [17] [18] . Otros centros triangulares asociados con los círculos de Malfatti incluyen el punto Iffa-Malfatti, formado de la misma manera que el primer punto de Malfatti, a partir de tres círculos mutuamente tangentes y lados (extendidos) del triángulo, pero parcialmente fuera del triángulo, [19] y el centro radical tres círculos de Malfatti [20] .

Véase también

Notas

  1. ↑ Lob, Richmond, 1930 , pág. 287–304.
  2. ↑ Pozos, 1991 .
  3. ↑ Vísperas, 1946 .
  4. ↑ Ogilvy, 1990 .
  5. ↑ Goldberg, 1967 .
  6. ↑ Zalgaller, Los, 1992 , p. 14-33.
  7. ↑ Andreatta, Bezdek, Boroński, 2010 .
  8. ↑ Fukagawa, Rothman, 2008 .
  9. ↑ Simi, Rigatelli, 1993 .
  10. ↑ 1 2 3 Guy, 2007 .
  11. ↑ Richard K. Guy. El triangulo. - Art. 114.
  12. ↑ Bottema, 2001 le da crédito a Pampuh (1904) por enumerar estas soluciones, pero Cajori (1893) comentó que el número de soluciones ya estaba dado en 1826 en los comentarios de Steiner.
  13. ↑ Hitotoumatu, 1995 .
  14. ↑ Takeshima, Anai, 1996 .
  15. ↑ Martin, 1998 , ejercicio 5.20 en la página 96.
  16. ↑ Molinero, 1875 .
  17. ↑ Weisstein, Eric W. Ajima-Malfatti Puntos  en el sitio web de Wolfram MathWorld .
  18. ↑ C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers Archivado el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine , X(179) y X(180).
  19. ↑ Encyclopedia of Triangle Centers, X(400).
  20. ↑ Stevanovic, 2003 .

Literatura

Enlaces