Omega (permanente)

La constante omega es una constante matemática , definida como el único número real que satisface la ecuación

\Omega e^{\Omega }=1

Este valor es , donde es la función W de Lambert . El nombre proviene de un nombre alternativo para la función W de Lambert, la función omega. Valor numérico : ${\ estilo de visualización W (1)}$ $W$ $\Omega$

\Omega =0.567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\,355\,549\,753\,815\,787\ ,186\,512\,508\,135\,131\,079\ldots

(secuencia A030178 en OEIS )

{\frac{1}{\Omega }}=1,763\,222\,834\,351\,896\,710\,225\,201\,776\,951\,707\,080\ ,436\,017\,986\,667\,473\,634\,570\,456\,905\ldots

(secuencia A030797 en OEIS )

Propiedades

Representación como punto fijo de la pantalla

La relación definitoria se puede expresar, por ejemplo, como

\ln {\biggl (}{\frac {1}{\Omega }}{\biggr )}=\Omega

-\ln(\Omega )=\Omega

e^{-\Omega}=\Omega

Cálculo

Se puede calcular iterativamente comenzando con la suposición inicial y considerando la secuencia $\Omega$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {0}}$

\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n))

Esta sucesión converge en cuando n tiende a infinito. Esto se debe a que es el punto fijo de atracción de la función . Sin embargo, es mucho más eficiente usar la relación de recurrencia $\Omega$ $\Omega$ ${\ estilo de visualización e^{-x))$

\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}

porque la funcion

{\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x))))

además de tener el mismo punto fijo, también tiene una derivada que se anula allí. Esto garantiza la convergencia cuadrática; es decir, el número de dígitos correctos se duplica aproximadamente con cada iteración.

Usando el método de Halley , se puede aproximar usando la convergencia cúbica: $\Omega$

\Omega_{j+1}=\Omega_{j}-{\frac {\Omega_{j}e^{\Omega_{j})-1}{e^{\Omega_{ j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{ 2\Omega _{j}+2}}}}}

Representaciones integrales

La identidad de Viktor Adamczyk:

\int_{-\infty}^{\infty}{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac { 1}{1+\Omega}}

Otra relación asociada con I. Meso [1] [2] :

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it} }-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{ t\cott}\right)dt

Trascendencia

La constante es trascendente . Esto puede verse como una consecuencia directa del teorema de Lindemann-Weierstrass . Supongamos que es algebraico. Por teorema es trascendental, pero ; contradicción. Por lo tanto, debe ser un número trascendental. $\Omega$ $\Omega$ ${\displaystyle e^{-\Omega ))$ ${\displaystyle \Omega =e^{-\Omega ))$ $\Omega$

Véase también

Función W de Lambert

Notas

↑ István, Mező Una representación integral para la rama principal de Lambert la función W. Consultado el 7 de noviembre de 2017. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2016. (indefinido)
↑ Mező, István (2020), Una representación integral para la función W de Lambert, arΧiv : 2012.02480 . .

Fuentes

Weisstein, Eric W. Omega Constant (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Constante omega (1.000.000 dígitos) , < http://ankokudan.org/d/d.htm?mathlistindex-e.html > . Consultado el 25 de diciembre de 2017.

Números con nombres propios

constantes matemáticas

Algebraico

Trascendental ,
probablemente trascendental

Grados de mil

Antiguos números rusos

Otras potencias de diez

potencias de doce

otro entero

Otros números

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