Constante de Gauss (matemáticas)

Constante gaussiana (designación - G): una constante matemática se define como el recíproco de la media aritmético-geométrica de un par de números, es decir, de la unidad y la raíz cuadrada de 2 :

G={\frac {1}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)))=0.8346268\dots

(secuencia A014549 en OEIS )

La constante lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss , quien en 1799 [1] descubrió que

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4))))

G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)

donde Β denota la función beta .

Relación con otras constantes

La constante gaussiana se puede usar para expresar la función gamma cuando se le da un argumento : ${\frac{1}{4))$

\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

Como alternativa,

G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3 }}}}}

y puesto que y son algebraicamente independientes , la constante gaussiana es trascendental . $\Pi$ $\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)$

Constantes de lemniscata

La constante de Gauss se puede utilizar para determinar las constantes de la lemniscata.

Gauss y otros usan el equivalente [2] [3]

{\ estilo de visualización \ varpi = \ pi G}

que es una constante de lemniscata conocida en la teoría de las funciones de lemniscata.

Sin embargo, John Todd usa una terminología diferente: en su artículo, los números y se denominan constantes de lemniscata, la primera de las cuales $A$ $B$

A={\frac {\pi G}{2}}={\frac {\varpi }{2}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\ fracción {1}{4)),{\frac{1}{2}}\right)

y la segunda constante:

B={\frac {1}{2G}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2)),{\frac {3 {4}}\derecha).

Surgen al hallar la longitud del arco de la lemniscata . y Theodor Schneider demostraron su trascendencia en 1937 y 1941 respectivamente. [cuatro] $A$ $B$

Otras fórmulas

La fórmula que expresa G en términos de las funciones theta de Jacobi es la siguiente:

G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)

También existen representaciones en serie con convergencia rápida, como las siguientes:

G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.

La constante también se puede expresar como un producto infinito

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).

Esta constante aparece en la evaluación de las integrales

{\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)))\,dx=\int _ {0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)))\,dx

{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)))))

Representando una constante como una fracción continua:

G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5, 2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\puntos]

(secuencia A053002 en OEIS )

Notas

↑ Nielsen, Tragamonedas Mikkel. Convexidad de pregrado: problemas y soluciones. - Julio 2016. - Pág. 162. - ISBN 9789813146211 .
↑ Kobayashi, Hiroyuki & Takeuchi, Shingo (2019), Aplicaciones de funciones trigonométricas generalizadas con dos parámetros
↑ Asai, Tetsuya (2007), Elliptic Gauss Sums and Hecke L-values at s=1
↑ Todd, John Las constantes de la lemniscata . ACM DL (1975). Consultado el 19 de julio de 2021. Archivado desde el original el 19 de julio de 2021. (indefinido)

Fuentes

Weisstein, Eric W. Gauss's Constant (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

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