Cuadrilátero ortodiagonal

En geometría euclidiana, un cuadrilátero ortodiagonal es un cuadrilátero en el que las diagonales se cortan en ángulo recto .

Ocasiones especiales

Un deltoides es un cuadrilátero ortodiagonal en el que una diagonal es el eje de simetría. Los deltoides son cuadriláteros exactamente ortodiagonales que tienen un círculo tangente a los cuatro lados. Así, los deltoides son cuadriláteros ortodiagonales circunscritos [1] .

Un rombo es un cuadrilátero ortodiagonal con dos pares de lados paralelos (es decir, un cuadrilátero ortodiagonal y un paralelogramo al mismo tiempo).

Un cuadrado es un caso especial de un cuadrilátero ortodiagonal, que es a la vez un deltoides y un rombo.

Los cuadriláteros equidiagonales orto-diagonales , en los que las diagonales no son menores que ningún lado, tienen el diámetro máximo entre todos los cuadriláteros, lo que resuelve el caso n = 4 del problema del polígono de mayor diámetro unitario en área . El cuadrado es uno de esos cuadriláteros, pero hay infinitos otros.

Descripción

Para cualquier cuadrilátero ortodiagonal, las sumas de los cuadrados de los lados opuestos son iguales; para los lados a , b , c y d tenemos [2] [3] :

{\ estilo de visualización \ estilo de visualización a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}

Esto se deriva del teorema de Pitágoras , según el cual cualquiera de estas dos sumas es igual a la suma de cuatro cuadrados de las distancias desde los vértices del cuadrilátero hasta el punto de intersección de las diagonales.

Por el contrario, cualquier cuadrilátero en el que a 2 + c 2 = b 2 + d 2 debe ser ortodiagonal [4] . Esto se puede demostrar de muchas maneras usando el teorema del coseno , vectores , demostración por contradicción y números complejos [5] .

Las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares si y solo si las bimedianas tienen la misma longitud [5] .

Las diagonales de un cuadrilátero convexo ABCD también son perpendiculares si y solo si

\angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi

donde P es el punto de intersección de las diagonales. De esta igualdad se sigue casi inmediatamente que las diagonales de un cuadrilátero convexo también son perpendiculares si y sólo si las proyecciones de la intersección de las diagonales sobre los lados del cuadrilátero son los vértices del cuadrilátero inscrito [5] .

Un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y sólo si su paralelogramo de Varignon (cuyos vértices son los puntos medios de los lados) es un rectángulo [5] . Además, un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y solo si los puntos medios de sus lados y las bases de las cuatro antimediatrices son ocho puntos que se encuentran en el mismo círculo , el círculo de ocho puntos . El centro de este círculo es el baricentro del cuadrilátero. El cuadrilátero formado por las bases de las antimediatrices se denomina ortocuadrilátero principal [6] .

Si las normales a los lados de un cuadrilátero convexo ABCD a través de la intersección de las diagonales se cruzan con lados opuestos en los puntos R , S , T , U y K , L , M , N son las bases de las normales, entonces el cuadrilátero ABCD es ortodiagonal si y solo si ocho puntos K , L , M , N , R , S , T y U se encuentran en el mismo círculo, el segundo círculo de ocho puntos . Además, un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y sólo si el cuadrilátero RSTU es un rectángulo cuyos lados son paralelos a las diagonales del cuadrilátero ABCD [5] .

Hay varias relaciones respecto a los cuatro triángulos formados por el punto de intersección de las diagonales P y los vértices del cuadrilátero convexo ABCD . Denotemos por m 1 , m 2 , m 3 , m 4 las medianas en los triángulos ABP , BCP , CDP , DAP desde P hasta los lados AB , BC , CD , DA respectivamente. Denotar por R 1 , R 2 , R 3 , R 4 los radios de los círculos circunscritos , y por h 1 , h 2 , h 3 , h 4 - las alturas de estos triángulos. Entonces el cuadrilátero ABCD es ortodiagonal si y solo si cualquiera de las siguientes igualdades [5] es verdadera :

${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$
${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac{1}{h_{4}^{2}}}$

Además, el cuadrilátero ABCD con el punto de intersección de las diagonales P es ortodiagonal si y solo si los centros de los círculos descritos alrededor de los triángulos ABP , BCP , CDP y DAP son los puntos medios de los lados del cuadrilátero [5] .

Comparación con el cuadrilátero circunscrito

Algunas características numéricas de los cuadriláteros y cuadriláteros ortodiagonales descritos son muy similares, como se puede observar en la siguiente tabla [5] . Aquí las longitudes de los lados del cuadrángulo son a , b , c , d , los radios de los círculos circunscritos alrededor de los triángulos son R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , y las alturas son h 1 , h 2 , h 3 , h 4 (como en la figura) .

Cuadrilátero circunscrito	cuadrilátero ortodiagonal
${\ estilo de visualización a + c = b + d}$	${\ estilo de visualización a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2))$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 {h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac{1}{h_{4}^{2}}}$

Área

El área K de un cuadrilátero ortodiagonal es igual a la mitad del producto de las longitudes de las diagonales p y q [7] :

K={\frac {p\cdot q}{2)).

Por el contrario, cualquier cuadrilátero convexo cuya área sea igual a la mitad del producto de las diagonales es ortodiagonal [5] . Un cuadrilátero ortodiagonal tiene el área más grande entre todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas.

Otras propiedades

Solo para cuadriláteros ortodiagonales, el área no está determinada únicamente por los lados y el ángulo entre las diagonales [8] . Por ejemplo, si de dos rombos de lado a (como todos los rombos, sus diagonales son perpendiculares) uno tiene un ángulo agudo menor, entonces las áreas serán diferentes.
Si se dibujan cuadrados en los lados de cualquier cuadrilátero (convexo, cóncavo o autointersecante) , entonces sus centros serán los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal (también equidiagonal ). Este enunciado se llama teorema de Van Obel .

Propiedades de un cuadrilátero ortodiagonal inscrito

Radio del círculo circunscrito y área

Sea el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero ortodiagonal inscrito en una circunferencia que divida una de las diagonales en segmentos de longitud p 1 yp 2 , y la otra en segmentos de longitud q 1 y q 2 . Entonces (la primera igualdad en la Proposición 11 en los Lemas de Arquímedes )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^ {2}=b^{2}+d^{2}

donde D es el diámetro del círculo circunscrito . Esto es cierto para cualesquiera dos cuerdas perpendiculares del círculo [9] . De esta fórmula se sigue la expresión para el radio del círculo circunscrito

R={\tfrac{1}{2}}{\raíz cuadrada {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2 }}}

o, en términos de los lados de un cuadrilátero,

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+ d^{2}}}.

También se sigue de esto que

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Entonces, de acuerdo con la fórmula de Euler , el radio del círculo circunscrito se puede expresar en términos de las diagonales p y q y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales

R={\sqrt {{\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}.

La fórmula del área K de un cuadrilátero ortodiagonal inscrito en términos de cuatro lados se obtiene directamente combinando el teorema de Ptolomeo y la fórmula del área de un cuadrilátero ortodiagonal .

K={\tfrac{1}{2}}(ac+bd).

Otras propiedades

En un cuadrilátero ortodiagonal inscrito , el anticentro coincide con el punto de intersección de las diagonales [2] .
El teorema de Brahmagupta establece que para cualquier cuadrilátero ortodiagonal inscrito, la perpendicular al lado que pasa por el punto de intersección de las diagonales biseca el lado opuesto [2] .
Si un cuadrilátero ortodiagonal es inscrito, la distancia desde el centro del círculo circunscrito a cualquier lado es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto [2] .
En un cuadrilátero ortodiagonal inscrito, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a la distancia entre el centro de la circunferencia circunscrita y el punto de intersección de las diagonales [2] .
Un cuadrilátero ortodiagonal, que también es equidiagonal , es un cuadrilátero rms ya que su paralelogramo de Varignon es un cuadrado. Su área se puede expresar puramente en términos de lados.

Rectángulos inscritos en un cuadrilátero ortodiagonal

Cualquier cuadrilátero ortodiagonal se puede inscribir con infinitos rectángulos pertenecientes a los siguientes dos conjuntos:

(i) rectángulos cuyos lados son paralelos a las diagonales de un cuadrilátero ortodiagonal (ii) rectángulos definidos por círculos de puntos de Pascal. [10] [11] [12]

Notas

↑ Josefson, 2010 , pág. 119-130.
↑ 1 2 3 4 5 Altshiller-Court, 2007 , pág. 136-138.
↑ Mitchell, 2009 , pág. 306-309.
↑ Ismailescu, Vojdany, 2009 , pág. 195–211.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Josefsson, 2012 , pág. 13–25.
↑ Mammana, Micale, Pennisi, 2011 , pág. 109–119.
↑ Harries, 2002 , pág. 310–311.
↑ Mitchell, 2009 , pág. 306–309.
↑ Posamentier, Salkind, 1996 , p. 104–105, #4–23.
↑ David, Fraivert (2019), Un conjunto de rectángulos inscritos en un cuadrilátero ortodiagonal y definido por círculos de puntos de Pascal , Journal for Geometry and Graphics Vol . 23: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > Archivado el 23 de octubre de 2020 en Wayback Machine .
↑ David, Fraivert (2017), Propiedades de un círculo de puntos de Pascal en un cuadrilátero con diagonales perpendiculares , Forum Geometricorum Vol. 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf > Fecha de archivo 5 de diciembre de 2020 en Wayback Machine .
↑ Freivert, D. M. (2019), Un nuevo tema en geometría euclidiana en el plano: la teoría de los "puntos de Pascal" formados por un círculo en los lados de un cuadrilátero , Educación matemática: estado del arte y perspectivas: Actas de la International Conferencia científica , < http:/ /libr.msu.by/handle/123456789/9675 > Archivado el 10 de noviembre de 2019 en Wayback Machine .

Literatura

Martín Josephson. Cálculos relacionados con las longitudes de tangencia y las cuerdas de tangencia de un cuadrilátero tangencial // Forum Geometricorum. - 2010. - Vol. 10. - Pág. 119-130.
Martín Josephson. Caracterizaciones de cuadriláteros ortodiagonales // Forum Geometricorum. - 2012. - vol. 12. - Pág. 13–25.
María Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi. Los círculos de Droz-Farny de un cuadrilátero convexo // Forum Geometricorum. - 2011. - vol. 11. - Pág. 109-119.
N. Altshiller-Court. Geometría universitaria. - Publicaciones de Dover, 2007. (Reimpresión del libro de 1952, Barnes & Noble)

Douglas W. Mitchell. El área de un cuadrilátero // Gaceta Matemática. - 2009. - Vol. 93.—Pág. 306–309.
Dan Ismailescu, Adam Vojdany. Clase preservando disecciones de cuadriláteros convexos // Forum Geometricorum. - 2009. - Vol. 9.- Pág. 195-211.
J. Harries. Área de un cuadrilátero // Gaceta Matemática. - 2002. - No. 86.
David Fraivert. Propiedades de un círculo de puntos de Pascal en un cuadrilátero con diagonales perpendiculares // Forum Geometricorum. - 2017. - Vol. 17.- Pág. 509-526.
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Problemas desafiantes en geometría. 2ª edición . - Nueva York: Dover Publ., 1996. - ISBN 0-486-69154-3 .