Teorema fundamental de la teoría de Galois

El principal teorema de la teoría de Galois es el teorema de extensiones de campos de una determinada forma, un resultado clave de la teoría de Galois .

Enunciado: para una extensión de Galois finita , existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de campos intermedios de la forma y el conjunto de subgrupos del grupo de Galois de esta extensión (además, el teorema define explícitamente esta correspondencia). $E \ disgusto F$ $k$ $E\supset K\supset F$

Descripción de la conformidad

Para una extensión finita dada, la correspondencia se ordena de la siguiente manera: $E \ disgusto F$

Para cualquier subgrupo del grupo de Galois, el campo intermedio correspondiente, generalmente denotado por , es el conjunto de aquellos elementos del campo que son puntos fijos de cada automorfismo de , con operaciones inducidas de . $H$ ${\ estilo de visualización E ^ {H}}$ $mi$ $H$ $mi$
Para cualquier campo intermedio, el subgrupo que le corresponde consiste en aquellos automorfismos que actúan de manera idéntica sobre este campo intermedio.

Por ejemplo, el campo corresponde a un subgrupo trivial , ya todo el grupo (ya que todos los automorfismos del grupo de Galois conservan un campo más pequeño, y para cualquier otro elemento hay un automorfismo que actúa sobre él de forma no trivial). $mi$ $F$

Coincidencia de propiedades

Esta correspondencia tiene varias propiedades útiles. En particular, invierte el orden por inclusión: para subgrupos del grupo de Galois, la condición es equivalente a . Además, un campo es una extensión normal (o, de manera equivalente, una extensión de Galois , ya que cada subextensión de una extensión separable es separable) si y solo si es un subgrupo normal del grupo de Galois. El grupo del cociente es isomorfo con respecto al grupo de Galois de la extensión . $H_{1}\subconjunto H_{2}$ $E^{H_{2}}\subseteq E^{H_{1}}$ ${\ estilo de visualización E ^ {H}}$ $F$ ${\ estilo de visualización EH}$ $E^{H}\supset F$

Ejemplo

Consideremos un campo . Cada elemento se puede escribir como $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),{\sqrt {3)))$

a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}),

donde , , , son números racionales. Considere los automorfismos de la extensión . Dado que esta extensión es generada por y , cualquier automorfismo está determinado únicamente por sus imágenes. Los automorfismos de cualquier extensión solo pueden intercambiar las raíces de un polinomio sobre un campo más pequeño, por lo tanto, en este caso, todos los automorfismos no triviales posibles son una permutación y (denotamos este automorfismo ), una permutación y (automorfismo ) y su composición . Más precisamente, estas transformaciones se especifican de la siguiente manera: $a$ $b$ $C$ $d$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),{\sqrt {3)))\supset \mathbb {Q}$ ${\ sqrt {2}}$ ${\ sqrt {3}}$ ${\ sqrt {2}}$ $- {\ sqrt 2}$ $F$ ${\ sqrt {3}}$ $- {\ sqrt 3}$ $gramo$ $fg$

f(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=ab{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3 }}-d{\raíz cuadrada {6}},

g(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\raíz cuadrada {6}}.

Es obvio que estas aplicaciones actúan biyectivamente y transforman la suma en una suma, por lo tanto, para comprobar la igualdad , basta comprobarla sobre pares de elementos básicos, lo que también es trivial. Así, el grupo de Galois de esta extensión es el grupo de los cuatro de Klein : $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$

G=\{1,f,g,fg\}.

Tiene tres subgrupos no triviales:

los automorfismos de un subgrupo conservan elementos del campo intermedio ; ${\ estilo de visualización \ {1, f \}}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {3)))$
automorfismos de preservar ; ${\ estilo de visualización \ {1, g \))$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)))$
automorfismos de preservar . ${\ estilo de visualización \ {1, fg \}}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$

Aplicaciones

El teorema principal reduce la cuestión de la existencia de campos intermedios a la cuestión de la existencia de subgrupos de algún grupo finito (puesto que el orden del grupo de Galois es igual a la dimensión de la extensión), muchos problemas de la teoría de Galois se resuelven mediante una simple aplicación del teorema principal.

Por ejemplo, la cuestión de la resolución de una ecuación en radicales suele formularse de la siguiente manera: ¿es posible expresar las raíces de un polinomio dado en términos de sus coeficientes usando solo operaciones aritméticas y la operación de sacar la raíz del grado th? . En el lenguaje de la teoría de campos, esta pregunta se puede formular de la siguiente manera: considere el campo generado por los coeficientes del polinomio y el campo obtenido al sumar sus raíces. La pregunta es si existe tal cadena de campos intermedios. $norte$ $F$ $mi$

E=K_{n}\supset K_{n-1}\supset \ldots \supset K_{1}\supset K_{0}=F,

que , donde está la raíz de la ecuación , y el campo contiene todas las raíces de la ecuación . En este caso, se puede probar que la serie correspondiente de subgrupos del grupo de Galois tiene la propiedad de que el grupo cociente existe y es cíclico . Se dice que los grupos para los que existe al menos una serie con esta propiedad son resolubles , por lo que una ecuación es resoluble en radicales si y solo si su grupo de Galois es resoluble. $K_{i+1}=K_{i}(\alpha )$ $\alfa$ ${\displaystyle x^{n}-a,\a\in K_{i))$ $K_{yo}$ ${\ estilo de visualización x^{n}-1}$ $G_{i}/G_{i+1}$

Teorías como la teoría de Kummer y la teoría del campo de clases se basan en el teorema fundamental de la teoría de Galois.

Literatura

Bourbaki N. Álgebra. Parte 2. Polinomios y cuerpos. Grupos ordenados - M.: Nauka, 1965
P. Aluffi. Álgebra: Capítulo 0 (Estudios de posgrado en matemáticas) - Sociedad matemática estadounidense, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .
Marco, Daniel. Campos numéricos (indefinido) . - Nueva York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 0-387-90279-1 .