La paradoja de Banach-Tarski

La paradoja de Banach-Tarski (también llamada paradoja de la bola que se duplica y paradoja de Hausdorff-Banach-Tarski ) es un teorema de la teoría de conjuntos que establece que una bola tridimensional es igual a sus dos copias.

Dos subconjuntos del espacio euclidiano se denominan igualmente compuestos , si uno se puede dividir en un número finito (no necesariamente conectado ) de partes que no se intersecan por pares, se mueven y forman el segundo a partir de ellas (en una posición intermedia, las partes se pueden intersecar, pero en la inicial y final no pueden).

Más precisamente, dos conjuntos y están igualmente compuestos si pueden representarse como una unión finita de subconjuntos disjuntos por pares , de modo que para cada subconjunto es congruente .

Se ha demostrado que cinco partes son suficientes para doblar la pelota, pero cuatro no son suficientes.

Una versión más fuerte de la paradoja también es cierta :

Cualesquiera dos subconjuntos acotados de un espacio euclidiano tridimensional con un interior no vacío están igualmente compuestos.

Debido a que la derivación de este teorema puede parecer inverosímil, a veces se usa como argumento en contra de aceptar el axioma de elección , que es esencial para construir tal partición. La adopción de un axioma alternativo adecuado permite probar la imposibilidad de la partición especificada, sin dejar lugar a esta paradoja.

La duplicación de la bola, aunque parece muy sospechosa desde el punto de vista de la intuición cotidiana (de hecho, es imposible hacer dos de una naranja con solo un cuchillo), sin embargo, no es una paradoja en el sentido lógico de la palabra, ya que no conduce a una contradicción lógica al igual que la llamada paradoja del barbero o la paradoja de Russell conduce a una contradicción lógica .

Historia

La paradoja fue descubierta en 1926 por Stefan Banach y Alfred Tarski . Muy similar a la anterior paradoja de Hausdorff , y su demostración se basa en la misma idea. Hausdorff demostró que esto no se podía hacer en una esfera bidimensional y, por lo tanto, en un espacio tridimensional, y la paradoja de Banach-Tarski proporciona una clara ilustración de esto.

Notas

Al dividir la pelota en un número finito de partes, intuitivamente esperamos que al sumar estas partes, podamos obtener solo figuras sólidas cuyo volumen sea igual al volumen de la pelota original. Sin embargo, esto es cierto solo en el caso de que la pelota se divida en partes que tengan volumen.

La esencia de la paradoja radica en que en el espacio tridimensional existen conjuntos no medibles que no tienen volumen, si por volumen entendemos algo que tiene la propiedad de aditividad , y suponemos que los volúmenes de dos conjuntos congruentes coincidir.

Obviamente, las "piezas" en la partición de Banach-Tarski no se pueden medir (y es imposible implementar tal partición en la práctica).

Para un círculo plano, una propiedad similar no es cierta. Además, Banach demostró que en el plano el concepto de área se puede extender a todos los conjuntos acotados como una medida finitamente aditiva , invariante bajo movimientos; en particular, cualquier conjunto que sea equidistante a un círculo tiene la misma área.

Sin embargo, también son posibles algunas particiones paradójicas en el plano: un círculo puede dividirse en un número finito de partes y hacer de ellas un cuadrado de igual área [1] [2] ( el cuadrado del círculo de Tarski ).

Notas

  1. ↑ Miklos Laczkovich: "Equidecomposabilidad y discrepancia: una solución al problema de la cuadratura del círculo de Tarski", Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) pp. 77-117.
  2. ↑ Miklos Laczkovich: "Descomposiciones paradójicas: una encuesta de resultados recientes". Primer Congreso Europeo de Matemáticas, vol. II (París, 1992), págs. 159-184, Progr. Math., 120, Birkh.user, Basilea, 1994.

Literatura