Teorema pi

El teorema pi ( -teorema , -teorema ) es el teorema fundamental del análisis dimensional . El teorema establece que si existe una dependencia entre cantidades físicas que no cambia de forma cuando cambian las escalas de unidades en una cierta clase de sistemas de unidades, entonces es equivalente a una dependencia entre, en términos generales, un número menor de unidades adimensionales . cantidades, donde es el mayor número de cantidades con dimensiones independientes entre las cantidades iniciales. El teorema Pi permite establecer la estructura general de la dependencia, que se deriva únicamente del requisito de que la dependencia física sea invariable cuando cambian las escalas de las unidades, incluso si se desconoce la forma específica de la dependencia entre los valores iniciales. . $\Pi$ $\Pi$ $norte$ $p = nk$ $k$ $norte$

Variaciones de nombre

En la literatura en idioma ruso sobre teoría y modelado de dimensiones, generalmente se usa el nombre teorema pi ( -teorema , -teorema ) [1] [2] [3] [4] , que proviene de la designación tradicional de combinaciones adimensionales usando la letra griega (mayúscula o minúscula) " pi ". En la literatura en lengua inglesa, el teorema suele asociarse con el nombre de Edgar Buckingham y en la literatura en lengua francesa con el nombre de Aimé Vashí . $\Pi$ $\Pi$

Antecedentes históricos

Aparentemente, el teorema pi fue probado por primera vez por J. Bertrand [5] en 1878. Bertrand considera ejemplos particulares de problemas de la electrodinámica y la teoría de la conducción del calor, pero su presentación contiene claramente todas las ideas principales de la demostración moderna del teorema pi, así como una clara indicación del uso del teorema pi para modelado. fenomeno fisico. El método de aplicación del teorema pi ( el método de las dimensiones ) se hizo ampliamente conocido gracias a los trabajos de Rayleigh (la primera aplicación del teorema pi en forma general [6] a la dependencia de la caída de presión en la tubería con respecto a la la definición de parámetros probablemente se remonta a 1892 [7] , una prueba heurística que utiliza la expansión de series de potencias en 1894 [8] ).

Una generalización formal del teorema pi al caso de un número arbitrario de cantidades fue formulada primero por Vashí en 1892 [9] , y más tarde y aparentemente de forma independiente por A. Federman [10] , D. Ryabushinsky [11] en 1911 y Buckingham [12] en 1914. Posteriormente, el teorema pi se generaliza por Hermann Weil en 1926 .

Enunciado del teorema

Para simplificar, la formulación para valores positivos se da a continuación . $q_{yo}$

Supongamos que existe una relación entre las cantidades físicas , , , : $norte$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

f(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n})=0,

cuya forma no cambia cuando se cambia la escala de unidades en la clase seleccionada de sistemas de unidades (por ejemplo, si se usa la clase de sistemas de unidades LMT, entonces la forma de la función no cambia con ningún cambio en los estándares de longitud, tiempo y masa, por ejemplo, al cambiar de medidas en kilogramos, metros y segundos a medidas en libras, pulgadas y horas). $F$

Elijamos entre los argumentos de la función el conjunto más grande de cantidades con dimensiones independientes (tal elección puede, en general, hacerse de varias maneras). Entonces si se indica el número de cantidades con dimensiones independientes y se numeran con índices , , , (de lo contrario se pueden renumerar), entonces la dependencia inicial es equivalente a la dependencia entre cantidades adimensionales , , , : $k$ $una$ $2$ $\ldots$ $k$ $F$ $p=nk$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

F(\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{p})=0,

donde son combinaciones adimensionales obtenidas a partir de los restantes valores iniciales , , , al dividir por los valores seleccionados en las potencias correspondientes: $\pi _{p}$ $q_{{k+1}}$ $q_{{k+2}}$ $\ldots$ $q_{n}$

\pi _{1}={\frac {q_{k+1}}{q_{1}^{a}\cdot q_{2}^{b}\cdot \ldots \cdot q_{k} ^{z}}},

\vpuntos

\pi _{p}={\frac {q_{n}}{q_{1}^{A}\cdot q_{2}^{B}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{ Z}}}

(Las combinaciones adimensionales siempre existen porque , , , es un conjunto de cantidades independientes de la dimensión del tamaño más grande, y cuando se les agrega una cantidad más, se obtiene un conjunto con dimensiones dependientes). $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$

Prueba

La demostración del teorema pi es muy sencilla [13] . La dependencia inicial entre , , , se puede considerar como alguna dependencia entre , , , y , , , : $F$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

\Phi (q_{1},q_{2},\ldots,q_{k},\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{p})=0 ,

Además, la forma de la función tampoco cambia cuando se cambia la escala de unidades. Queda por señalar que, debido a la independencia dimensional de las cantidades , , , siempre es posible elegir una escala de unidades tal que estas cantidades sean iguales a uno, mientras que , , , , al ser combinaciones adimensionales , no cambiarán su valores, por lo tanto, con tal escala de unidades elegida, lo que significa que, debido a la invariancia, y en cualquier sistema de unidades, la función en realidad depende solo de : $\Fi$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$ $\Fi$ $\pi _{p}$

\Phi (1,1,\ldots,1,\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{p})\equiv H(\pi_{1}, \pi _{2},\ldots,\pi _{p})=0.

Casos especiales

Aplicación a una ecuación resuelta con respecto a una cantidad

A menudo se utiliza una variante del teorema pi para la dependencia funcional de una cantidad física de varias otras , , , : $q$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

q=f(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n}).

En este caso, el teorema pi establece que la dependencia es equivalente a la conexión

{\ estilo de visualización \ pi = F (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {p}),}

dónde

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ,

y se definen de la misma manera que antes. $\pi _{i}$

El caso cuando el teorema pi da la forma de dependencia hasta un factor

En un caso particular importante, cuando dependiendo de

q=f(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n})

todos los argumentos tienen dimensiones independientes, aplicando el teorema pi da

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ={\text{const)),

es decir, se determina el tipo de dependencia funcional hasta una constante. El valor de la constante no está determinado por los métodos de la teoría de las dimensiones, y para encontrarlo, es necesario usar métodos experimentales u otros métodos teóricos.

Notas sobre la aplicación del teorema pi

La elección de argumentos con dimensiones independientes, por lo general, se puede realizar de varias maneras, por lo que, al aplicar el teorema pi, se pueden obtener expresiones formalmente diferentes. Sin embargo, de hecho, los resultados resultantes son equivalentes, y de una forma de notación se puede obtener otra pasando a combinaciones de parámetros adimensionales.
En la formulación del teorema pi, el requisito de invariancia de dependencia es importante. Si por ejemplo al trabajar en el Sistema Internacional de Unidades (SI) en el experimento se obtuvo la dependencia de la trayectoria recorrida por el cuerpo que cae con el tiempo $s$ $t$

s={\frac{9{,}81\cdot^{2}}{2}},

entonces en esta forma no satisface las condiciones del teorema pi.

Aplicación del teorema pi al modelado físico

El teorema pi se utiliza para el modelado físico de varios fenómenos en aerodinámica , hidrodinámica , teoría de la elasticidad , teoría de la vibración . El modelado se basa en el hecho de que si para dos procesos naturales ("modelo" y "natural", por ejemplo, para el flujo de aire alrededor de un modelo de avión en un túnel de viento y el flujo de aire alrededor de un avión real), argumentos adimensionales (ellos se denominan criterios de similitud ) dependiendo de

{\ estilo de visualización \ pi = F (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {p})}

coinciden, lo que se puede hacer mediante una elección especial de los parámetros del objeto "modelo", entonces los valores adimensionales de la función también coinciden. Esto hace posible "recalcular" los valores experimentales dimensionales de los parámetros del objeto "modelo" al "natural", incluso si se desconoce la forma de la función. Si es imposible lograr la coincidencia de todos los criterios de similitud para los objetos "modelo" y "natural", entonces a menudo se recurre al modelado aproximado, cuando la similitud se logra solo de acuerdo con criterios que reflejan la influencia de los factores más significativos, mientras que el la influencia de los factores secundarios se tiene en cuenta aproximadamente sobre la base de consideraciones adicionales (que no se derivan de la teoría de las dimensiones). $\Pi$ $F$

Ejemplos de aplicaciones del teorema pi

Frecuencia de oscilación de la campana

La emisión de sonido por una campana se produce como resultado de sus propias oscilaciones , que pueden describirse en el marco de la teoría lineal de la elasticidad . La frecuencia del sonido emitido depende de la densidad , el módulo de Young y la relación de Poisson del metal del que está hecha la campana, y del número finito de dimensiones geométricas , , , de la campana: $F$ $\rho$ $mi$ $\nu$ $l_{1}$ $l_{2}$ $\ldots$ $l_{N}$

f=F(\rho ,E,\nu ,l_{1},l_{2},\ldots ,l_{N}).

Si se utiliza la clase de sistemas de unidades LMT, entonces, por ejemplo, , y pueden elegirse como magnitudes con dimensiones independientes (se subrayan las magnitudes seleccionadas incluidas en el subsistema de máximas dimensiones independientes): $\rho$ $mi$ $l_{1}$

f=F({\underline {\rho )),{\underline {E_{\!}}},\nu ,{\underline {l_{1}}},l_{2},\ldots , l_{N}),

y aplicando el teorema pi da

{\frac {fl_{1}}{\sqrt {E/\rho }}}}=G\left(\nu ,{\frac {l_{2}}{l_{1}}},{ \ frac {l_{3}}{l_{1}}},\ldots,{\frac {l_{N}}{l_{1}}}\right).

Si hay dos campanas geométricamente similares hechas del mismo material, entonces para ellas los argumentos de la función son los mismos, por lo que la razón de sus frecuencias es inversamente proporcional a la razón de sus tamaños (o inversamente proporcional a la raíz cúbica de la proporción de sus masas). Este patrón se confirma experimentalmente [14] . $GRAMO$

Tenga en cuenta que si se eligieran otras cantidades, por ejemplo , , y , como cantidades con dimensiones independientes, entonces la aplicación del teorema pi daría formalmente un resultado diferente: $\rho$ $mi$ $l_{2}$

{\frac {fl_{2}}{\sqrt {E/\rho }}}=H\left(\nu ,{\frac {l_{1}}{l_{2}}},{\ fracción {l_{3}}{l_{2}}},\ldots,{\frac {l_{N}}{l_{2}}}\derecha),

pero las conclusiones extraídas, naturalmente, seguirían siendo las mismas.

Resistencia durante el movimiento lento de una pelota en un líquido viscoso

Con un movimiento estacionario lento (a números de Reynolds bajos ) de una esfera en un fluido viscoso, la fuerza de resistencia depende de la viscosidad del fluido , así como de la velocidad y el radio de la esfera (la densidad del fluido no se encuentra entre los parámetros determinantes, ya que a bajas velocidades el efecto de la inercia del fluido es despreciable). Aplicar a la adicción $F$ $\mu$ $V$ $R$

{\ estilo de visualización F = f (\ mu, V, R)}

teorema pi, obtenemos

{\frac {F}{\mu VR}}={\text{const)),

es decir, en este problema, la fuerza de resistencia se encuentra hasta una constante. El valor de la constante no se encuentra a partir de consideraciones dimensionales (la solución del problema hidrodinámico correspondiente da el valor de la constante , que se confirma experimentalmente). $6\pi$

Véase también

Enlaces

Algunos artículos de revisión y fuentes primarias sobre la historia del teorema pi y la teoría de la similitud . Archivado el 13 de abril de 2021 en Wayback Machine .

Notas

↑ Barenblatt G. I. Similitud, autosimilitud, asintótica intermedia. Teoría y aplicaciones a la hidrodinámica geofísica. - L. : Gidrometeoizdat , 1978. - S. 25. - 208 p.
↑ Sedov L. I. Métodos de similitud y dimensión en mecánica . - M. : Nauka , 1981. - S. 31. - 448 p.
^ Bridgman P. Análisis dimensional . - Izhevsk: RHD, 2001. - S. 45. - 148 p.
^ Huntley G. Análisis dimensional . - M .: Mir , 1970. - S. 6. - 176 p. (prefacio a la edición rusa)
↑ Bertrand J. Sur l'homogénété dans les formules de physique // Comptes rendus. - 1878. - T. 86 , N º 15 . - S. 916-920 .
↑ Cuando, después de aplicar el teorema pi, surge una función arbitraria de combinaciones adimensionales.
↑ Rayleigh. Sobre la cuestión de la estabilidad del flujo de líquidos // Revista filosófica. - 1892. - T. 34 . - S. 59-70 .
↑ Strett J. W. (Lord Rayleigh). Teoría del Sonido . - M. : GITTL, 1955. - T. 2. - S. 348. - 476 p.
↑ Vaschy A. Sur les lois de similitud en physique // Annales Telegraphiques. - 1892. - T. 19 . — P. 25–28 . Las citas del artículo de Vash con la formulación del teorema pi se dan en el artículo: Macagno E. O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute. - 1971. - T. 292 , núm. 6 _ - S. 391-402 .
↑ Federman A. Sobre algunos métodos generales de integración de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden // Actas del Instituto Politécnico de San Petersburgo del Emperador Pedro el Grande. Departamento de Tecnología, Ciencias Naturales y Matemáticas. - 1911. - T. 16 , núm. 1 . - S. 97-155 .
↑ Riabouchinsky D. Method des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique // L'Aérophile. - 1911. - S. 407-408 .
↑ Buckingham E. Sobre sistemas físicamente similares: ilustraciones del uso de ecuaciones dimensionales // Physical Review. - 1914. - V. 4 , No. 4 . - S. 345-376 .
↑ Sena L. A. Unidades de cantidades físicas y sus dimensiones. - M.: Ciencia , 1977. - S. 91-92.
↑ Pukhnachev Y. Dispersión, atenuación, refracción: tres claves para desentrañar la paradoja // Ciencia y vida. - 1983. - Nº 2 . - S. 117-118 .

Cantidades adimensionales en física
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