Subálgebra de Cartan

La subálgebra de Cartan es una subálgebra de Lie nilpotente igual a su normalizador : ${\mathfrak {a}}\subconjunto {\mathfrak {g}}$

$\underbrace {[{\mathfrak {a}},[{\mathfrak {a}},[\dotsb,[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}}_{n}] \ puntosb ]]] = 0$ para algunos (nilpotencia), $n\en \mathbb{N}$
$\forall Y\not \in {\mathfrak {a}}\ \exists X\in {\mathfrak {a}}:\ \left[X,Y\right]\not \in {\mathfrak {a } }}$ (autonormalización).

El concepto es de gran importancia para la clasificación de álgebras de Lie semisimples y en la teoría de espacios simétricos . Nombrado en honor al matemático francés Elie Cartan .

Definición equivalente: una subálgebra nilpotente es una subálgebra de Cartan si es igual a su componente de ajuste nulo, es decir, el conjunto: ${\mathfrak {a}}\subconjunto {\mathfrak {g}}$

{\mathfrak {g}}_{0}:=\left\{X\in {\mathfrak {g}}:\forall H\in {\mathfrak {a}}\;\;\existe n_ {H,X}\in \mathbb {Z} ,\;\;(\operatorname {ad} H)^{n_{H,X}}(X)=0\right\},

donde está la representación adjunta del grupo de Lie . $\operatorname {anuncio}$

Propiedades

Las subálgebras de Cartan son subálgebras nilpotentes máximas, es decir, no están contenidas en subálgebras nilpotentes estrictamente grandes.

Un álgebra de Lie arbitraria de dimensión finita sobre un campo infinito tiene una subálgebra de Cartan.

Para un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0, todas las subálgebras de Cartan son conjugadas con respecto a los automorfismos del álgebra de Lie y, en particular, son isomorfas. La dimensión del álgebra de Cartan se llama rango del álgebra de Lie. Si el álgebra de Lie tiene solución , entonces estas propiedades también son válidas para campos que no son algebraicamente cerrados. Bajo los mismos supuestos, un subgrupo nilpotente máximo arbitrario cuya dimensión es igual al rango del álgebra de Lie es un subgrupo de Cartan.

La imagen de una subálgebra de Cartan bajo un homomorfismo de álgebra de Lie sobreyectiva es una subálgebra de Cartan.

Si para un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo infinito es un elemento regular, es decir, un elemento para el cual la componente de ajuste cero del endomorfismo tiene una dimensión mínima, entonces la subálgebra cuyos elementos son tales que para algunos es una subálgebra de Cartan . Para campos de característica 0, todas las subálgebras de Cartan tienen la forma del elemento regular correspondiente Cada elemento regular pertenece a uno y sólo un subgrupo de Cartan. $X\in {\mathfrak{g))$ $\operatorname {anuncio} X$ ${\mathfrak {n}}(X,{\mathfrak {g}})$ $Y\in {\mathfrak{g}}$ $\operatorname {anuncio} ^{n}X(Y)=0$ $n\en \mathbb{Z}$ $X\in {\mathfrak{g}}.$

Si es alguna extensión del campo , entonces la subálgebra es una subálgebra de Cartan si y solo si es una subálgebra de Cartan del álgebra ${\ estilo de visualización k \ subconjunto K}$ ${\mathfrak {a}}\subconjunto {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {a}}\otimes_{k}K$ ${\mathfrak {g}}\otimes_{k}K.$

Ejemplos

Cualquier álgebra de Lie nilpotente es igual a su subálgebra de Cartan.

La subálgebra de Cartan de un grupo lineal general sobre algún campo es el álgebra de matrices diagonales .

La subálgebra de Cartan del álgebra de Lie:

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ): \mathrm {Tr} (A)=0\right\}

es una subálgebra de matrices diagonales:

{\mathfrak {a}}_{0}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots,\lambda _{n}):\lambda _{1}+ \ldots +\lambda _{n}=0\right\}.

Cualquier otra subálgebra de Cartan se conjuga con . ${\mathfrak {a}}\subconjunto {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak{a}}_{0}$

Pero, por ejemplo, en álgebra hay subálgebras de Cartan no conjugadas, en particular ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$

{\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)

{\mathfrak {a}}_{2}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right).

La dimensión del álgebra de Cartan en su conjunto no es la dimensión máxima de una subálgebra abeliana, incluso para álgebras simples sobre el campo de los números complejos. Por ejemplo, el álgebra de Lie tiene una subálgebra de Cartan de dimensión , pero la dimensión de su subálgebra abeliana, que consta de todas las matrices de la forma , donde es una matriz arbitraria de dimensión , es . Esta subálgebra no es una subálgebra de Cartan porque está estrictamente contenida en la subálgebra nilpotente de matrices triangulares superiores con entradas diagonales cero. ${\mathfrak {sl}}(2n,\mathbb {R} )$ $2n-1$ ${0\ A \elegir 0\ 0}$ $A$ $n\veces n$ $n^{2}$

Un ejemplo de una subálgebra nilpotente máxima que no es una subálgebra de Cartan es el álgebra matricial de la forma donde es la matriz identidad de orden , y las matrices son triangulares superiores con entradas diagonales cero. Estas matrices forman una subálgebra abeliana del grupo lineal general, y se puede probar que esta álgebra es una subálgebra nilpotente máxima. Sin embargo, si es una matriz diagonal, cuyos elementos no son todos iguales, entonces aunque , y el segundo requisito en la definición de la subálgebra de Cartan no se cumple. ${\mathfrak{h))$ ${\ estilo de visualización \ {aI_ {n} + N \},}$ $a\en \mathbb {R} ,\;\;$ $En}$ $norte$ $N\in {\mathfrak{n}}$ $Y$ $[Y,X]\in {\mathfrak {n))\subset {\mathfrak {h)),\;\;\forall X\in {\mathfrak {h)),$ $Y\no \in {\mathfrak {h))$

Álgebras de mentira semisimple

Si es un álgebra de Lie semisimple sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0, entonces la subálgebra de Cartan es abeliana y las imágenes de la representación adjunta , restringidas a , son simultáneamente diagonalizables en el conjunto de vectores de peso, y es un espacio propio correspondiente al peso . La expansión en una suma directa también es válida. $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {a}}\subconjunto {\mathfrak {g}}$ $\mathrm {anuncio} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{a}$ ${\ estilo de visualización 0}$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\ alfa }

dónde

{\displaystyle \left[X,Y\right]=\alpha (X)Y\quad \forall X\in {\mathfrak {a)),Y\in {\mathfrak {g))_{\alpha ))

{\mathfrak {g}}_{\alpha }\not =0\Longrightarrow \alpha (X)\not =0\quad \forall X\in {\mathfrak {a)).

En particular, en el caso

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ): \mathrm {Spur} (A)=0\right\},

{\mathfrak {a}}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}):\lambda_{1}+\ldots +\ lambda _{n}=0\derecha\}.

Si denotamos una matriz con un elemento en posición y otros elementos iguales a , entonces la expansión es: $e_{ij}$ $una$ $(yo, j)$ ${\ estilo de visualización 0}$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{i\not =j}\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {a}}\oplus \ bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha },

donde para el peso: $\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {g}}_{\alpha }$

\alpha (\lambda _{1},\ldots,\lambda _{n})=\lambda _{i}-\lambda _{j}.

Literatura

Eli Cartan. Sobre la estructura de los grupos de transformaciones finis et continus. - París, 1894. - (Estas).
Anthony W. Knapp. Lie grupos más allá de una introducción. - Segunda edicion. - Boston, MA: Birkhäuser, 2002. - (Progreso en Matemáticas, 140). — ISBN 0-8176-4259-5 .