Espacio completo checo

El espacio completo de Cech es un espacio topológico que es un conjunto G-delta (es decir, la intersección de una familia contable de conjuntos abiertos ) en algún ambiente Hausdorff compactum .

Definiciones equivalentes

A través de ambient compacta

Un espacio de Tychonoff se llama Cech completo si se cumple una de las siguientes declaraciones equivalentes: $X$

el espacio es un conjunto de tipos en algún ambiente compacto; $X$ $G_{\delta}$
el espacio es un conjunto tipográfico en algunas de sus compactaciones ; $X$ $G_{\delta}$ $c X$
el espacio es un conjunto tipo en cada una de sus compactaciones ; $X$ $G_{\delta}$ $c X$
el espacio es una tipología ambientada en la compactación Stone-Cech ; $X$ $G_{\delta}$ $\ beta X$
el resultado de alguna compactación es un conjunto de tipos en ; $cX\setminus c(X)$ $F_{\sigma}$ $c X$
el resultado de cada compactación es un conjunto de tipos en ; $cX\setminus c(X)$ $F_{\sigma}$ $c X$
el crecimiento de la compactación Cech-Stone es un conjunto de tipo en . $\beta X\setminus \beta(X)$ $F_{\sigma}$ $\ beta X$

Característica interna

Un espacio de Tikhonov es Cech completo si y solo si contiene una familia numerable de cubiertas abiertas , tal que la intersección de cualquier sistema centrado de conjuntos cerrados , en el que para cada uno existe un conjunto con un diámetro menor que la cubierta , no es vacío (dicen que el diámetro del conjunto , menor que la tapa , si existe de , tal que ). $X$ $\{\mathfrak{U}_n\}_{n\in\N}$ $\mathfrak{F}$ $n\en N$ $F\en \mathfrak{F}$ $\mathfrak{U}_n$ $F$ $\mathfrak{U}_n$ $tu$ $\mathfrak{U}_n$ $F\subconjunto U$

Preservación de la integridad según Cech durante las operaciones

Un subespacio de un espacio Cech-completo es Cech-completo si y solo si puede representarse como la intersección de un conjunto cerrado y un conjunto de tipo . En particular, la completitud de Cech es heredada por conjuntos cerrados y conjuntos de tipo . $A$ $X$ $F\cap M$ $F$ $G_{\delta}$ $G_{\delta}$

La suma de una familia de espacios topológicos es Cech completa si y solo si todos los espacios de esta familia son Cech completos.

Un producto de una familia numerable de espacios topológicos es Cech completo si y solo si todos los espacios son Cech completos. Además, el producto de una familia incontable de espacios Cech-completos puede no ser Cech-completo.

Si hay un mapeo perfecto entre los espacios de Tikhonov y , entonces el espacio es Cech completo si y solo si el espacio es Cech completo . Sin embargo, la integridad de Cech generalmente no se conserva bajo la transición a la imagen bajo un mapeo continuo abierto y cerrado . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Relación con otras clases de espacios

Clases más estrechas

Todos los espacios localmente compactos (en particular, todos los espacios compactos) son Cech completos.

Un espacio metrizable es Cech completo si y solo si es metrizable por una métrica completa.

Clases más amplias

Todo espacio Cech-completo es un espacio k y es un espacio de Baire .

Literatura

Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.