Matriz definida positiva

En álgebra lineal , una matriz definida positiva es una matriz hermitiana , que en muchos aspectos es análoga a un número real positivo . Este concepto está estrechamente relacionado con la forma bilineal simétrica definida positiva (o forma sesquilineal en el caso de los números complejos ).

Formulaciones

Sea una matriz hermítica de dimensión . Denote el vector transpuesto por , y el vector transpuesto conjugado por . $METRO$ $n\veces n$ $a$ $un^{T}$ $un^{*}$

Una matriz es definida positiva si cumple alguno de los siguientes criterios equivalentes: $METRO$

una.	Para todos los vectores complejos distintos de cero , $z \in \mathbb{C}^n$ $\textbf{z}^{} M \textbf{z} > 0.$ Nótese que la cantidad es siempre real, ya que es una matriz hermitiana . $z^{} M z$ $METRO$
2.	Todos los valores propios , , son positivos. Cualquier matriz hermítica , según el teorema de descomposición espectral, puede representarse como una matriz diagonal real , traducida a otro sistema de coordenadas (es decir , , donde es una matriz unitaria , cuyas filas son vectores propios ortonormales , formando la base ). Según esta definición , una matriz es definida positiva si todos los elementos de la diagonal principal (o, en otras palabras, los valores propios ) son positivos. Es decir, en una base que consta de vectores propios , la acción sobre el vector es equivalente a la multiplicación por componentes por un vector positivo. $METRO$ $\lambda_i, i = 1, 2, \dots, n$ $D$ $M = P^{-1}PD$ $PAGS$ $METRO$ $METRO$ $D$ $METRO$ $METRO$ $METRO$ $z \in \mathbb{C}^n$ $z$
3.	Forma de línea y media $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ define el producto escalar en . Generalizando lo anterior, cualquier producto escalar en se forma a partir de una matriz definida positiva hermítica . $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$
cuatro	$METRO$ es la matriz de Gram formada por el conjunto de vectores linealmente independientes $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k$ para algunos En otras palabras, los elementos se definen de la siguiente manera $k$ $METRO$ $M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{} \textbf{x}_j.$ Así, , donde es una inyectiva , pero no necesariamente una matriz cuadrada . $M = A^{}A$ $A$
5.	Los determinantes de todos los menores angulares de las matrices son positivos ( criterio de Sylvester ). De acuerdo con este criterio, para matrices semidefinidas positivas , todos los menores angulares son no negativos, lo que, sin embargo, no es condición suficiente para que una matriz sea semidefinida positiva, como se puede ver en el siguiente ejemplo $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$

Para matrices simétricas reales en las propiedades anteriores , el espacio puede ser reemplazado por y los vectores transpuestos conjugados por otros transpuestos. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{R} ^{n}$

Formas cuadráticas

También es posible formular la definición positiva en términos de formas cuadráticas . Sea un campo de números reales ( ) o complejos ( ), y sea un espacio vectorial sobre . forma hermitiana $k$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {C}$ $\mathbb{V}$ $k$

B : V \times V \rightarrow K

es una aplicación bilineal , además, el conjugado de es . Tal función se llama definida positiva cuando para cualquier distinto de cero . $B\izquierda(x, y\derecha)$ $B\izquierda(y, x\derecha)$ $B$ $B\izquierda(x, x\derecha) > 0$ $x \en V$

Matrices negativas definidas, semidefinidas e indefinidas

Una matriz hermítica de dimensión se llamará definida negativa si $METRO$ $n\veces n$

x^{*}Mx<0

para todos los distintos de cero (o, de manera equivalente, para todos los distintos de cero ). $x \in \mathbb{R}^n$ $x \in \mathbb{C}^n$

$METRO$ será llamado semidefinido positivo (o definido no negativo ) si

x^{*} M x \geq 0

para todos (o, equivalentemente, para todos ). $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

$METRO$ será llamado semidefinido negativo (o definido no positivo ) si

x^{*} M x \leq 0

para todos (o, equivalentemente, para todos ) [1] . $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

Así, una matriz será definida negativa si todos sus valores propios son negativos, semidefinida positiva si todos sus valores propios son no negativos y semidefinida negativa si todos sus valores propios son no positivos [2] .

Una matriz es semidefinida positiva si y solo si es la matriz de Gram de algún conjunto de vectores. A diferencia de una matriz definida positiva, estos vectores no son necesariamente linealmente independientes . $METRO$

Para cualquier matriz , se cumple lo siguiente: es semidefinida positiva, y . Lo contrario también es cierto: cualquier matriz semidefinida positiva se puede expresar como ( descomposición de Cholesky ). $A$ $A^{*}A$ $\operatorname{rango}\left(A\right) = \operatorname{rango}\left(A^{*}A\right)$ $METRO$ $M = A^{*}A$

Una matriz hermítica que no es ni positiva ni negativamente semidefinida se llama indefinida .

Propiedades adicionales

Introduzcamos la notación para matrices semidefinidas positivas y para matrices definidas positivas. $M \succeq 0$ $M\éxito 0$

Para matrices cuadradas arbitrarias , escribiremos si , es decir, una matriz semidefinida positiva. Así la relación define un orden parcial sobre un conjunto de matrices cuadradas . De manera similar, se puede definir la relación de orden total . $M, N$ $M \succeq N$ $M - N \succeq 0$ $MINNESOTA$ $\exitoso$ $M \succ N$

una.	Cualquier matriz definida positiva es invertible , y su matriz inversa también es definida positiva. Si , entonces . $M \succeq N \succ 0$ $N^{-1} \succeq M^{-1} \succe 0$
2.	Si es una matriz definida positiva y , entonces es una matriz definida positiva. $METRO$ $0 < r \in \mathbb{R}$ $r \cdot M$ Si y son matrices definidas positivas, entonces los productos y también son definidas positivas. Si , entonces también es definida positiva. $METRO$ $norte$ $MNM$ $NMN$ $MN=NM$ $Minnesota$
3.	Si es una matriz definida positiva, entonces los elementos de la diagonal principal son positivos. Por lo tanto, . Es más, $METRO$ $m_{ii}$ $\operatorname{traza}\left(M\right) > 0$ $\| m_{ij} \| \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$ .
cuatro	$METRO$ es una matriz definida positiva si y solo si existe una definida positiva tal que . Denotemos . Tal matriz es única siempre que . Si , entonces . $B \ éxito 0$ $B ^ 2 = METRO$ $B = M^{\frac{1}{2}}$ $B$ $B \ éxito 0$ $M \succ N \succ 0$ $M^{\frac{1}{2}} > N^{\frac{1}{2}}>0$
5.	Si y son matrices definidas positivas, entonces (donde denota el producto de Kronecker ). $METRO$ $norte$ $M\otimes N \succ 0$ $\otimes$
6.	Si y son matrices definidas positivas, entonces (donde denota el producto de Hadamard ). Cuando las matrices son reales, también se cumple la siguiente desigualdad ( desigualdad de Oppenheim ): $METRO$ $norte$ $M\circ N \succ 0$ $\circ$ $MINNESOTA$ $\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}$ .
7.	Si es una matriz definida positiva, a es una matriz hermitiana y , entonces . $METRO$ $norte$ $MN + NM \succeq 0$ $\left(MN+NM \succ 0 \right)$ $N \succeq 0$ $\left( N \succ 0 \right)$
ocho.	Si y son matrices reales semidefinidas positivas, entonces . $METRO$ $norte$ $\operatorname{trace}\left(MN\right)\succeq 0$
9.	Si es una matriz real definida positiva, entonces existe un número tal que , donde es la matriz identidad . $METRO$ $\delta>0$ $M\succeq\delta I$ $yo$

Matrices no hermitianas

Las matrices no simétricas reales también pueden satisfacer la desigualdad para todos los vectores reales distintos de cero . Tal, por ejemplo, es la matriz $x^TM x > 0$ $X$

\begin{bmatriz} 1 y 1 \\ -1 y 1 \end{bmatriz},

ya que para todos los vectores reales distintos de cero $x = (x_1, x_2)^T$

\begin{bmatrix} x_1 y x_2 ​​\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 y 1 \\ -1 y 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .

De manera más general, para todos los vectores reales distintos de cero si y solo si la parte simétrica es definida positiva. $x^TM x > 0$ $X$ $\frac{M + M^T}{2}$

Para matrices complejas, hay varias generalizaciones de la desigualdad . Si para todos los vectores complejos distintos de cero , entonces la matriz es hermitiana . Es decir, si , entonces es hermitiano . Por otro lado, para todos los vectores complejos distintos de cero si y sólo si la parte hermítica es definida positiva. $x^{*} M x > 0$ $x^{*} M x > 0$ $X$ $METRO$ $x^{*} M x > 0$ $METRO$ $\nombre del operador{Re}\left(x^{*} M x\right) > 0$ $X$ $\frac{M + M^{*}}{2}$

Véase también

Notas

↑ Nikolay Bogolyubov, Anatoly Logunov, Anatoly Oksak, Ivan Todorov. Principios generales de la teoría cuántica de campos . - FIZMATLIT, 2006. - S. 20. - 744 p. — ISBN 9785457966253 .
↑ Vasily Fomichev, Andrey Fursov, Sergey Korovin, Stanislav Emelyanov, Alexander Ilyin. Métodos matemáticos de la teoría del control. Problemas de estabilidad, controlabilidad y observabilidad . - FIZMATLIT, 2014. - S. 182. - 200 p. — ISBN 9785457964747 .

Literatura

RA Horn, C. R. Johnson. Análisis matricial, Cambridge University Press, cap. 7, 1985.
R. Bhatia , Matrices definidas positivas, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.