Matriz conjugada hermítica

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Una matriz conjugada hermitiana o matriz transpuesta conjugada es una matriz * con elementos complejos obtenidos a partir de la matriz original transponiendo y reemplazando cada elemento por su conjugado complejo . $A$ $A$

Las matrices conjugadas hermitianas juegan el mismo papel en el estudio de espacios vectoriales complejos que las matrices transpuestas en el caso de espacios reales.

Definición y notación

Si la matriz original tiene tamaño , entonces el conjugado hermitiano de k tendrá tamaño y su enésimo elemento será igual a: $A$ $m\veces n$ $A$ $un^{*}$ $n \veces m,$ $(yo, j)$

\left(A^*\right)_{ij} = \overline{A_{ji}},

donde denota el número complejo conjugado k (el número conjugado k es , donde y son números reales ). $\overline{z}$ $z$ $a+bi$ $a-bi$ $a$ $b$

De lo contrario, esta definición se puede reescribir de la siguiente manera:

$A^{*}=\left({\overline {A}}\right)^{\text{T}}={\overline {{A}^{\text{T}}}}.$

La matriz conjugada de Hermitian generalmente se denota como o ( H del inglés Hermitian - Hermitian), pero a veces se usan otras notaciones: $un^{*}$ $A^H$

$A^{\daga}$ - en mecánica cuántica ;
$un ^ +$ - pero esta notación se puede confundir con la notación de una matriz pseudoinversa .

Ejemplo

si un

A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}

después

A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}.

Definiciones relacionadas

Si una matriz consta de números reales , entonces su matriz conjugada hermitiana es solo una matriz transpuesta : $A$

A^* = A^T,

a_{ij} \in \mathbb{R}.

La matriz cuadrada se llama: $A$

Hermitiano si ; $A^*=A$
anti- ermitaños o sesgo-ermitaños si ; $A^* = -A$
normal si ; $A^*A = AA^*$
si unitario , donde es la matriz identidad . $A^*A = AA^* = Yo$ $yo$

Propiedades

$(A + B)^* = A^* + B^*$ para dos matrices cualesquiera y de las mismas dimensiones. $A$ $B$
$(cA)^* = \overline{c} A^*$ para cualquier escalar complejo . $c \in \mathbb{C}$
$(AB)^* = B^* A^*$ para cualquier matriz y , tal que su producto esté definido . Tenga en cuenta que en el lado derecho de la igualdad, el orden de la multiplicación de matrices se invierte. $A$ $B$ $AB$
$(A^*)^* = A$ para cualquier matriz . $A$
Los valores propios , el determinante y la traza se cambian a conjugados de la matriz conjugada hermítica, en comparación con el original.
$A$ es invertible si y solo si la matriz es invertible . Donde: $un^{*}$ ${\ estilo de visualización (A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}}$
$\langle Ax, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle$ para cualquier matriz de tamaño y cualquier vector y . La notación denota el producto escalar estándar de vectores en un espacio vectorial complejo. $A$ $m\veces n$ $x \in \mathbb{C}^n$ $y \in \mathbb{C}^m$ $\langle\cdot,\cdot\rangle$
Las matrices y son hermíticas y semidefinidas positivas para cualquier matriz (no necesariamente cuadrada). Si es cuadrada y no degenerada, entonces estas dos matrices serán definidas positivas. $AA^*$ $A^*A$ $A$ $A$

Véase también

El operador adjunto es una generalización del concepto de matriz conjugada hermitiana para espacios de dimensión infinita.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Conjugate Transpose (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Vectores y matrices

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