Construyendo con compás y regla

Construyendo con compás y regla
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Las construcciones con la ayuda de un compás y una regla  es una sección de la geometría euclidiana , conocida desde la antigüedad .

En problemas de construcción, se supone que el compás y la regla son herramientas ideales, en particular:

• La regla no tiene divisiones y tiene un lado de longitud infinita, pero solo uno.
• La brújula puede tener cualquier abertura (grande o pequeña) (puede dibujar un círculo de radio arbitrario) y conserva la última abertura, es decir, puede dibujar círculos idénticos en cualquier lugar.

Ejemplos

Problema de bisección . Usando un compás y una regla, divide el segmento AB dado en dos partes iguales. Una de las soluciones se muestra en la figura:

• Con un compás dibujamos circunferencias centradas en los puntos A y B con radio AB .
• Encontramos los puntos de intersección P y Q de los dos círculos construidos (arcos).
• Dibuja un segmento o una línea a lo largo de la regla que pase por los puntos P y Q.
• Encontramos el punto medio deseado del segmento AB  , el punto de intersección de AB y PQ .

Formal definición

En tareas de construcción, se considera un conjunto de los siguientes objetos: todos los puntos del plano, todas las líneas del plano y todos los círculos del plano. En las condiciones del problema, un determinado conjunto de objetos se especifica inicialmente (se considera construido). Se permite agregar (construir) al conjunto de objetos construidos:

1. punto arbitrario;
2. un punto arbitrario en una línea dada;
3. un punto arbitrario en un círculo dado;
4. el punto de intersección de dos líneas dadas;
5. puntos de intersección/tangencia de una recta dada y un círculo dado;
6. puntos de intersección/tangencia de dos círculos dados;
7. una línea arbitraria que pasa por un punto dado;
8. una línea recta que pasa por dos puntos dados;
9. un círculo arbitrario centrado en un punto dado;
10. un círculo arbitrario con un radio igual a la distancia entre dos puntos dados;
11. un círculo con centro en un punto dado y con un radio igual a la distancia entre dos puntos dados.

Se requiere, con la ayuda de un número finito de estas operaciones, construir otro conjunto de objetos que esté en una relación dada con el conjunto original.

La solución del problema de la construcción contiene tres partes esenciales:

1. Descripción del método para construir un conjunto dado.
2. Una prueba de que el conjunto construido de la manera descrita está en una relación dada con el conjunto original. Por lo general, la prueba de la construcción se realiza como una prueba regular de un teorema, apoyándose en axiomas y otros teoremas probados.
3. Análisis del método de construcción descrito para su aplicabilidad a diferentes variantes de condiciones iniciales, así como para la unicidad o no de la solución obtenida por el método descrito.

Desafíos conocidos

• El problema de Apolonio de construir un círculo tangente a tres círculos dados. Si ninguno de los círculos dados se encuentra dentro del otro, entonces este problema tiene 8 soluciones esencialmente diferentes.
• El problema de Brahmagupta de construir un cuadrilátero inscrito en sus cuatro lados.

Construcción de polígonos regulares

Los geómetras antiguos sabían cómo construir n - gonos regulares para , y .

En 1796, Gauss mostró la posibilidad de construir n - gonos regulares para , donde  son diferentes números primos de Fermat . En 1836, Wanzel demostró que no había otros polígonos regulares que pudieran construirse con regla y compás.

Problemas irresolubles

Los antiguos griegos establecieron las siguientes tres tareas de construcción:

• trisección de ángulo  : divide un ángulo arbitrario en tres partes iguales;
• doblar un cubo  - construir una arista de un cubo dos veces más grande en volumen que el cubo dado;
• cuadratura de un círculo  es construir un cuadrado que es igual en área al círculo dado.

No fue sino hasta el siglo XIX que se demostró rigurosamente que estos tres problemas no se podían resolver usando solo un compás y una regla. La demostración de la insolubilidad de estos problemas de construcción se logró mediante métodos algebraicos basados ​​en la teoría de Galois [1] . En particular, la imposibilidad de construir una cuadratura de un círculo se deriva de la trascendencia del número π .

Otro problema conocido y sin solución con la ayuda de un compás y una regla es la construcción de un triángulo de acuerdo con tres longitudes dadas de bisectrices [2] . Este problema sigue siendo irresoluble incluso en presencia de una herramienta que realiza la trisección de ángulos , como un tomahawk . [3]

Segmentos permisibles para la construcción utilizando un compás y una regla

Usando estas herramientas, es posible construir un segmento, que en longitud:

1. igual a la suma de las longitudes de varios segmentos;
2. igual a la diferencia en las longitudes de dos segmentos;
3. numéricamente igual al producto de las longitudes de dos segmentos;
4. numéricamente igual al cociente de la división de las longitudes de dos segmentos;
5. numéricamente igual a la raíz cuadrada de la longitud de un segmento dado (se deriva de la posibilidad de construir la media geométrica de dos segmentos, ver ilustración). [cuatro]

Para construir un segmento con una longitud numéricamente igual al producto, privado y raíz cuadrada de las longitudes de los segmentos dados, es necesario establecer un segmento unitario en el plano de construcción (es decir, un segmento de longitud 1), de lo contrario el problema es irresoluble debido a la falta de escala. Extraer raíces de segmentos con otras potencias naturales que no sean una potencia de 2 no es posible usando un compás y una regla. Entonces, por ejemplo, es imposible construir un segmento de longitud a partir de un solo segmento usando un compás y una regla . Este hecho, en particular, implica la irresolubilidad del problema de duplicación del cubo. [5]

Construcciones posibles e imposibles

Desde un punto de vista formal, la solución de cualquier problema de construcción se reduce a una solución gráfica de alguna ecuación algebraica , y los coeficientes de esta ecuación están relacionados con las longitudes de los segmentos dados. Por tanto, podemos decir que el problema de la construcción se reduce a encontrar las raíces reales de alguna ecuación algebraica.

Por lo tanto, es conveniente hablar sobre la construcción de un número, una solución gráfica a una ecuación de cierto tipo.

En base a las posibles construcciones de segmentos, son posibles las siguientes construcciones:

• Construcción de Soluciones a Ecuaciones Lineales .
• Construcción de Soluciones a Ecuaciones Reduciendo a Soluciones de Ecuaciones Cuadráticas .

En otras palabras, es posible construir solo segmentos iguales a expresiones aritméticas utilizando la raíz cuadrada de los números originales (longitudes de segmento dadas).

La solución debe expresarse usando raíces cuadradas , no radicales de grado arbitrario. Incluso si una ecuación algebraica tiene una solución en radicales , esto no implica la posibilidad de construir un segmento igual a su solución con un compás y una regla. La ecuación más simple de este tipo: relacionada con el famoso problema de duplicación del cubo, reducida a esta ecuación cúbica . Como se mencionó anteriormente, la solución de esta ecuación ( ) no se puede construir con un compás y una regla.

La capacidad de construir un 17-ágono regular se deriva de la expresión del coseno del ángulo central de su lado:

lo cual, a su vez, se deriva de la posibilidad de reducir una ecuación de la forma donde  es cualquier número primo de Fermat , mediante un cambio de variable a una ecuación cuadrática.

Variaciones y generalizaciones

• Construcciones con un solo compás. De acuerdo con el teorema de Mohr-Mascheroni, con la ayuda de un compás, puedes construir cualquier figura que se pueda construir con un compás y una regla. En este caso, se considera que una línea está construida si en ella se dan dos puntos.
• Construcciones con una sola regla. Es obvio que solo se pueden realizar construcciones proyectivamente invariantes con la ayuda de una regla. En particular,
  • es imposible incluso dividir el segmento en dos partes iguales,
  • también es imposible encontrar el centro del círculo dado.

Sin embargo,

• en presencia de un círculo previamente dibujado en el plano con un centro marcado y una regla, se pueden realizar las mismas construcciones que con un compás y una regla ( el teorema de Steiner-Poncelet ).
• Si hay dos gracias en la regla, entonces las construcciones con su ayuda son equivalentes a las construcciones con la ayuda de una brújula y una regla ( Napoleón dio un paso importante al probar esto ).

• Construcciones con herramientas limitadas. En problemas de este tipo, las herramientas (en contraste con la formulación clásica del problema) no se consideran ideales, sino limitadas: una línea recta a través de dos puntos se puede dibujar usando una regla solo si la distancia entre estos puntos no excede un cierto valor; el radio de los círculos dibujados con una brújula se puede limitar desde arriba, desde abajo o desde arriba y desde abajo.
• Construcciones usando origami plano , ver reglas de Fujita
• Las construcciones con la ayuda de mecanismos articulados  son construcciones en un plano y en el espacio que utilizan varillas individuales conectadas en los extremos por bisagras. De esta forma, puedes construir cualquier número algebraico [6] .

Datos interesantes

• El patrón central de la bandera nacional de Irán se describe legalmente como una construcción que utiliza un compás y una regla [7] .

Véase también

• Los paquetes de software de geometría dinámica le permiten realizar construcciones virtuales utilizando un compás y una regla en un monitor de computadora.

Notas

1. ↑ Kirichenko, 2005 , pág. una.
2. ↑ ¿Quién y cuándo demostró la imposibilidad de construir un triángulo a partir de tres bisectrices? Archivado el 18 de octubre de 2009 en Wayback Machine . Punto de consulta remota de matemáticas MCNMO .
3. ↑ ¿Es posible construir un triángulo por tres bisectrices, si, además de un compás y una regla, se permite usar una trisectriz ? Copia de archivo del 26 de agosto de 2015 en la Wayback Machine . Punto de consulta remota de matemáticas MCNMO .
4. ↑ Kirichenko, 2005 , pág. cuatro
5. ↑ Kirichenko, 2005 , pág. 9.
6. ↑ Maehara, Hiroshi (1991), Distancias en un gráfico rígido de unidad de distancia en el plano , Matemáticas aplicadas discretas , volumen 31 (2): 193–200 , DOI 10.1016/0166-218X(91)90070-D  .
7. ↑ Bandera iraní estándar Archivado el 21 de junio de 2012 en Wayback Machine  (pers.)

Literatura

• Adler A. Teoría de las construcciones geométricas / Traducido del alemán por G. M. Fikhtengolts. - Tercera edicion. - L. : Uchpedgiz, 1940. - 232 p.
• Alexandrov I. I. Colección de problemas geométricos para la construcción . — Decimoctava edición. - M. : Uchpedgiz, 1950. - 176 p.
• Argunov B. I., Balk M. B. Construcciones geométricas en el plano. Manual para estudiantes de institutos pedagógicos . - Segunda edicion. - M. : Uchpedgiz, 1957. - 268 p.
• Voronets A. M. La geometría de una brújula . - M. - L. : ONTI, 1934. - 40 p. — (Biblioteca Popular en Matemáticas, editada por L. A. Lyusternik).
• Geiler V. A. Problemas de construcción irresolubles  // SOZH . - 1999. - Nº 12 . - S. 115-118 .
• Kirichenko V. A. Construcciones con compás y regla y teoría de Galois  // Escuela de verano "Matemáticas modernas". - Dubná, 2005.
• Manin Yu.I.Libro IV. Geometría // Enciclopedia de matemáticas elementales . - M. : Fizmatgiz, 1963. - 568 p.
• Petersen Yu. Métodos y teorías para resolver problemas de construcción geométrica . - M. : Imprenta de E. Lissner y Yu. Roman, 1892. - 114 p.
• Prasolov VV Tres problemas de construcción clásicos. Duplicación de un cubo, trisección de un ángulo, cuadratura de un círculo . — M .: Nauka, 1992. — 80 p. - ( Clases populares de matemáticas ).
• Construcciones geométricas // Manual de matemáticas (para escuelas intermedias) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S. A. - 3ª ed. — M.: Nauka, cap. edición de Phys.-Math. Literatura, 1983. - S. 200-213. — 480 s.
• Steiner J. Construcciones geométricas realizadas utilizando una línea recta y un círculo fijo . - M. : Uchpedgiz, 1939. - 80 p.
• Curso optativo de matemáticas. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M. : Educación , 1991. - S. 80. - 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .

Enlaces

• Construcciones de polígonos regulares por Dr. Matemáticas en The Math Forum 
• Construcción con la brújula Solo en el corte del  nudo
• Trisección del ángulo de Hipócrates en el corte del nudo 
• Weisstein, Eric W. Angle Trisection  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

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