Diecisiete regulares

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De diecisiete
Diecisiete regulares
Tipo de	polígono regular
costillas	17
Símbolo Schläfli	{17}
Diagrama de Coxeter-Dynkin
tipo de simetría	Grupo diedro (D 18 ) orden 2×18
Esquina interior	≈158,82°
Propiedades
convexo , inscrito , equilátero , equiangular , isotoxal

Un diecisiete-ágono regular es una figura geométrica que pertenece al grupo de los polígonos regulares . Tiene diecisiete lados y diecisiete ángulos , todos sus ángulos y lados son iguales entre sí, todos los vértices se encuentran en un círculo . Entre otros polígonos regulares con un número primo grande (más de cinco ) de lados, es interesante porque se puede construir usando un compás y una regla (por ejemplo, los polígonos de siete , once y trece no se pueden construir con un compás y regla).

Propiedades

El ángulo central α es .

La relación entre la longitud del lado y el radio del círculo circunscrito es

Se puede construir un diecisieteágono regular utilizando un compás y una regla , lo que fue demostrado por Gauss en la monografía " Estudios aritméticos " (1796). También encontró el valor del coseno del ángulo central del diecisiete-ágono:

En el mismo trabajo, Gauss demostró que si los divisores primos impares de n son primos de Fermat diferentes ( números de Fermat ), es decir, números primos de la forma , entonces se puede construir un n-ágono regular utilizando un compás y una regla (ver Gauss -Teorema de Wanzel ).

Hechos

• Gauss estaba tan inspirado por su descubrimiento que al final de su vida legó que se tallara un cuadrado regular de diecisiete en su tumba. El escultor se negó a hacerlo argumentando que la construcción sería tan compleja que el resultado sería indistinguible de un círculo.

• En 1893 , Herbert William Richmond publicó una descripción explícita de la construcción de un diecisiete-ágono regular en 64 pasos. Esta construcción se muestra a continuación.

Edificio

Construcción exacta

1. Dibujamos un gran círculo k ₁ (el futuro círculo circunscrito del diecisieteágono) con centro O .
2. Dibuja su diámetro AB .
3. Construimos una m perpendicular a ella , intersectando k₁ en los puntos C y D.
4. Marcamos el punto E - el medio de DO .
5. En medio de EO marcamos el punto F y dibujamos un segmento FA .
6. Construimos la bisectriz w₁ del ángulo ∠OFA.
7. Construimos w₂ — la bisectriz del ángulo entre m y w₁, que corta a AB en el punto G .
8. Restaure s - perpendicular a w₂ desde el punto F .
9. Construimos w₃ - la bisectriz del ángulo entre s y w₂. Interseca a AB en el punto H.
10. Construimos el círculo de Thales ( k ₂ ) sobre el diámetro HA con el centro en el punto M . Se cruza con CD en los puntos J y K.
11. Dibujamos un círculo k₃ con centro G a través de los puntos J y K. Se interseca con AB en los puntos L y N. Es importante no confundir N con M aquí , se encuentran muy cerca.
12. Construimos una tangente a k₃ a través de N.

Los puntos de intersección de esta tangente con el círculo original k₁ son los puntos P₃ y P₁₄ del diecisiete-ágono deseado. Si tomamos el centro del arco resultante como P₀ y posponemos el arco P₀P₁₄ alrededor del círculo tres veces, se construirán todos los vértices del diecisiete-ágono.

Construcción aproximada

La siguiente construcción, aunque aproximada, es mucho más conveniente.

1. Ponemos un punto en el plano M , construimos un círculo alrededor de él k y dibujamos su diámetro AB ;
2. Reducimos a la mitad el radio AM tres veces por turno hacia el centro (puntos C , D y E ).
3. Dividimos el segmento EB por la mitad (punto F ).
4. construimos una perpendicular a AB en el punto F.

• En resumen: dibujar una perpendicular al diámetro a una distancia de 9/16 del diámetro de B .

Los puntos de intersección de la última perpendicular con el círculo son una buena aproximación para los puntos P₃ y P₁₄.

Con esta construcción se obtiene un error relativo de 0,83%. Las esquinas y los lados son, por lo tanto, un poco más grandes de lo necesario. Con un radio de 332,4 mm, el lado es 1 mm más largo.

Construcción animada de Erchinger

Formas de estrellas

Un diecisieteágono regular tiene 7 formas de estrellas regulares.

• {17/2}

• {17/3}

• {17/4}

• {17/5}

• {17/6}

• {17/7}

• {17/8}

Véase también

• Teorema de Gauss-Wanzel

Enlaces

• Karin Reich . Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). // En el libro: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm . Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlín, Diepholz 2000, pp. 101-118.
• Weisstein, Eric W. Heptadagon en  Wolfram MathWorld .

polígonos
Por número de lados	monógono Grande en Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono Decágono Endecágono Dodecágono Trece tetradecágono Pentágono Hexágono De diecisiete octágono Diecinueveagón Dodecágono Veintiún lados Veintidós ángulo veintetrigon veinte cuadrangular Veinte pentágono Veinte octágono Tridecágono Thirty-Biagon Cuarenta cuadrados Cuarenta bicagón pentecostal pentecostal Hexágono Sesenta y cuatro heptágono octágono nonágono [ es Millagón Diezmil-gon cienmilésima Milliogon infinito
correcto	convexo Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon estrellado Pentagrama Hexagrama heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama
triangulos	Isósceles Derecha Rectangular
cuadriláteros	inscrito descrito no descrito Paralelogramo antiparalelogramo Rectángulo rectángulo dorado Rombo Romboidal Trapecio Deltoides Cuadrado unidad cuadrada lamberto saccheri
ver también	Lista de polígonos Punto perteneciente a un polígono Teorema de Bolyai-Gervin Teorema de Brahmagupta Teorema de Gauss-Wanzel Fórmula pico Teorema de la suma de los ángulos del polígono Relación Bretschneider

Símbolo Schläfli
polígonos	{una} {2} {3} {cuatro} {5} {6} {7} {ocho} {9} {diez} {once} {12} {catorce} {quince} {17} {Dieciocho} {veinte} {treinta} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
polígonos estrella	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Parqués planos _	{3,6} {4,4} {6,3}
Poliedros regulares y parquets esféricos	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Poliedros de Kepler-Poinsot	{5/2.5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
panales	{4,3,4}
Poliedros de cuatro dimensiones	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}