Número pentagonal

Los números pentagonales son una de las clases de números poligonales clásicos . La secuencia de números pentagonales tiene la forma (secuencia A000326 en OEIS ):

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477...

La fórmula general para el enésimo número pentagonal en orden es: $norte$

P_{n}^{(5)}={\frac{3n^{2}-n}{2))

Definición

Los números pentagonales, como todos los demás números angulares clásicos, se pueden definir como sumas parciales de una progresión aritmética que comienza en 1, y su diferencia para los números pentagonales es : $k$ ${\ estilo de visualización k-2 = 3}$

{\ estilo de visualización 1+4+7+10+\puntos}

También se puede definir el -ésimo número pentagonal como la suma de números naturales consecutivos : $norte$

P_{n}^{(5)}=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+\puntos +(2n-1)

La suma del -ésimo número cuadrado con el -ésimo número triangular da el -ésimo número pentagonal: $norte$ $(n-1)$ $norte$

{\ estilo de visualización n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Este teorema fue publicado por primera vez por Nicómaco ("Introducción a la aritmética", siglo II) [1] .

Finalmente, otra forma de definir un número pentagonal es recursivamente :

P_{1}^{(5)}=1;\quad P_{n}^{(5)}=P_{n-1}^{(5)}+3n-2=2P_{n- 1}^{(5)}-P_{n-2}^{(5)}+3

Propiedades

Los números pentagonales están estrechamente relacionados con los triangulares [1] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac{1}{3}}T_{3n-1}

Si especifica una secuencia más general en la fórmula : ${\ estilo de texto {\ frac {n (3n-1)} {2}}}$ $norte$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\puntos

entonces obtenemos números pentagonales generalizados :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... ( secuencia OEIS A001318 )

Leonhard Euler descubrió números pentagonales generalizados en la siguiente identidad :

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots

Las potencias del lado derecho de la identidad forman una secuencia de números pentagonales generalizados [2] . $X$

Prueba para un número pentagonal

tarea _ Averigüe si el número natural dado es pentagonal. ${\ estilo de visualización x> 2}$

Solución. Calculemos el valor de la expresión:

n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.

$X$ es un número pentagonal si y solo si es un número entero, y el número en la secuencia de números pentagonales es igual a $norte$ $X$ $norte.$

Números cuadrados pentagonales

Hay números que son tanto cuadrados como pentagonales [3] :

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801… ( secuencia OEIS A036353

Notas

↑ 12 Dickson , 2005 , pág. 2.
↑ Weinstein F.V. Partición de números. // Diario "Cuántico". - 1988. - Nº 11.
↑ Weisstein, Eric W. " Número cuadrado pentagonal Archivado el 13 de noviembre de 2017 en Wayback Machine ". De MathWorld : un recurso web de Wolfram.

Literatura

Deza E., Deza M. Números rizados. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Dickson LE Poligonal. números piramidales y figurados //Historia de la Teoría de los Números . - Nueva York: Dover, 2005. - Vol. 2: Análisis diofántico. - Pág. 22-23.

Enlaces

Números rizados . Grupo Editorial OSNOVA. Fecha de acceso: 10 de febrero de 2021. (indefinido)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

números rizados

plano

Poligonal clásico	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal dodecagonal
Centrado	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal Nueve ángulos Decagonal

Piramidal	tetraédrico piramidal cuadrada
multifacético	cúbico Octaédrico dodecaédrico icosaédrico octaédrico estrellado

multifacético	pentatópico Bicuadrado