Resolvente de una ecuación algebraica

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El resolvente de una ecuación algebraica de grado es una ecuación algebraica con coeficientes racionalmente dependientes de los coeficientes , tal que el conocimiento de las raíces de esta ecuación nos permite resolver la ecuación original resolviendo ecuaciones más sencillas (es decir, tales que su grado no sea mayor que ). $f(x)=0$ $norte$ ${\ estilo de visualización g (y) = 0}$ $f(x)$ $norte$

El resolvente también se llama la expresión racional en sí misma , es decir, la dependencia de las raíces del resolvente como ecuación en las raíces de la ecuación original. $y=y(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})$ ${\ estilo de visualización g (y) = 0}$

Resoluciones de ecuaciones de grados inferiores en una variable

De manera informal, la idea de obtener los resolventes de ecuaciones algebraicas , según Lagrange , es la siguiente. Compongamos alguna expresión algebraica , preferiblemente lo más simple posible, a partir de las raíces de la ecuación original con las siguientes propiedades:

el número de valores diferentes de la expresión para todas las permutaciones posibles de las raíces sería menor que el grado de la ecuación original;

polinomios simétricos elementales en los valores de la expresión serían funciones de polinomios simétricos elementales en las raíces de la ecuación original. Entonces los coeficientes de la ecuación, cuyas raíces son los valores encontrados de la expresión, se expresan racionalmente , según las relaciones de Vieta , a través de los coeficientes de la ecuación original;

el sistema de ecuaciones resultante con incógnitas, las raíces de la ecuación original, se reduciría a uno lineal y sería consistente.

Así, la secuencia de acciones:

encuentra la expresión correspondiente a partir de las raíces;
calcular los coeficientes de la ecuación de resolución, cuyas raíces son los valores de la expresión encontrada, a través de los coeficientes del original;
encontrar las raíces del solvente;
finalmente, restaurar las raíces de la ecuación original a partir de las raíces encontradas del resolvente.

De acuerdo con la teoría de las extensiones cíclicas, es posible una solución en radicales de una ecuación algebraica general hasta su grado no mayor a cuatro. A continuación se muestran ejemplos de resolventes de ecuaciones algebraicas de segundo, tercer y cuarto grado en una variable, y se muestra (sin involucrar la teoría general y solo mediante cálculos elementales) cómo obtener los resolventes mismos y, en base a ellos, el general solución de las ecuaciones correspondientes.

Resolvente de una ecuación cuadrática

Inferencia por expresión para raíces

Dada una ecuación cuadrática :

hacha^{2}+bx+c=0

Encontremos un resolvente lineal. Escribamos la igualdad no trivial más simple que no cambia bajo permutación y lugares $x_{1}$ $x_{2}$

{\ estilo de visualización (x_{1}-x_{2})^{2}=y_{1}}

{\ estilo de visualización (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=y_{1}}

Considerando , , $x_{1}+x_{2}=-b/a$ $x_{1}x_{2}=c/a$

{\ estilo de visualización (b/a)^{2}-4c/a=y_{1))

y será la raíz del resolvente - la ecuación lineal ${\ Displaystyle y_ {1}}$

a^{2}yb^{2}+4ca=0\qquad \qquad \qquad \qquad (1.1)

Resolvamos el sistema

{\begin{casos}(x_{1}-x_{2})^{2}=y_{1}\\x_{1}+x_{2}=-b/a\\\end{ casos}}

Elegimos el signo al sacar la raíz cuadrada , luego su solución ${\ estilo de visualización +}$

{\begin{alineado}x_{1}&=({\sqrt {y_{1}}}-b/a)/2\\x_{2}&=(-{\sqrt {y_{1 }}}-b/a)/2\\\end{alineado}}\qquad \qquad \qquad \qquad (1.2)

Elegir un signo diferente antes de la raíz invierte las soluciones. Notamos aquí que el cambio de signos antes de la raíz cuadrada es equivalente a calcular la función de valor complejo raíz cuadrada , que siempre tiene dos (excepto el argumento igual a cero) valores diferentes, por ejemplo . $\ {\sqrt {i}}_{1,2}=\left(e^{\frac {\pi i}{4)),e^{\frac {5\pi i}{4} }\right)=\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),-{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right )$

Resolvente de una ecuación cúbica

Dada la ecuación cúbica reducida , generalmente se escribe en la forma

x^{3}+3px+2q=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.1)

Salida directa

Escribamos la identidad

(a+b)^{3}-3ab(a+b)-a^{3}-b^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.2)

Entonces, por construcción

x_{1}=a+b\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.3)

será la raíz de la ecuación

x^{3}-3abx-a^{3}-b^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.4)

Encontremos las raíces restantes (2.4). Por un corolario del teorema de Bezout (2.2) es divisible por un binomio sin resto. Compartamos: ${\ estilo de visualización x-(a+b)}$

x^{3}-3abx-a^{3}-b^{3}=(x-(a+b))(x^{2}+(a+b)x+a^{2 }-ab+b^{2})

y encontrar las raíces del segundo factor

x^{2}+(a+b)x+a^{2}-ab+b^{2}=0

usando el resolvente (1.1):

y_{1}=(a+b)^{2}-4(a^{2}-ab+b^{2})=-3(ab)^{2}

y según (1.2)

{\begin{alineado}x_{2}=\rho a+\rho ^{2}b\\x_{3}=\rho ^{2}a+\rho b\\\end{alineado))\ cuádruple \cuádruple \cuádruple \cuádruple \cuádruple \cuádruple (2.5)

donde es la raíz cúbica primitiva de la unidad , sus propiedades son: ${\displaystyle\rho ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$

\rho ^{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}

, , , , .

{\ estilo de visualización \ rho ^ {2} + \ rho = -1}

{\ estilo de visualización \ rho ^ {3} = 1}

{\ estilo de visualización (\ rho ^ {2}) ^ {3} = 1}

\rho ^{4}=\rho \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.6)

Entonces, sabemos cómo resolver (2.4), queda reducir (2.1) a la forma (2.4). Para que las raíces de las ecuaciones (2.1) y (2.4) coincidan, deben tener los mismos coeficientes en las potencias y términos libres. Si y se encuentran como expresiones de y , entonces también se conocerán las soluciones (2.1). Igualando los coeficientes, obtenemos el sistema: $X$ $a$ $b$ $pags$ $q$

{\begin{casos}p=-ab\\2q=-a^{3}-b^{3}\\\end{casos}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad ( 2.7)

Habiendo elevado al cubo la primera ecuación (2.7), obtenemos una ecuación cuadrática para y ${\ estilo de visualización a^{3}}$ ${\ estilo de visualización b ^ {3}}$

y^{2}+2qy-p^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \qquad (2.8)

que será el resolvente de la ecuación (2.1). sus raíces

{\displaystyle y_{1,2}=-q\pm {\sqrt {q^{2}+p^{3))))

Volviendo a la variable original ( ; ), de (2.3), (2.5) encontramos todas las raíces (2.1): ${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{y_{1))))$ ${\displaystyle b={\sqrt[{3}]{y_{2))))$

x_{1}={\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}+{\sqrt[{3}]{-q -{\raíz cuadrada {q^{2}+p^{3))))}

{\displaystyle x_{2}=\rho {\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}+\rho ^{2}{\sqrt [{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3)))))))

{\displaystyle x_{3}=\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}+\rho {\sqrt [{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3)))))))

Al calcular dos raíces cúbicas, se debe elegir uno de los tres valores de la función raíz cúbica de valor complejo para que se cumpla la primera de las relaciones (2.7). En las tres soluciones, este valor elegido para cada raíz debe ser el mismo.

Inferencia por expresión para raíces

Supongamos que no conocemos la existencia del resolvente (2.8). Lo encontraremos por la expresión para las raíces. Encontremos una expresión que tome dos valores cuando se reordenan las raíces de la ecuación original (2.1) . Considerar: ${\ estilo de visualización 3! = 6}$

\left(x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}\right)^{3}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.9)

De (2.6) se siguen las propiedades de la expresión (2.9) bajo el grado:

x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}=\rho \left(x_{2}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_ {1}\right)=\rho ^{2}\left(x_{3}+\rho x_{1}+\rho ^{2}x_{2}\right)\quad (2.10)

y al cubo, los tres dan lo mismo, es decir, el valor (2.9) no cambia durante el ciclo . La transposición da una expresión diferente, por lo que de seis permutaciones posibles, solo dos son únicas, digamos: $(123)$ ${\ estilo de visualización (1)(23)}$

{\begin{alineado}y_{1}=\left({\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\right )^{3}\\y_{2}=\left({\frac {x_{1}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{2}}{3}}\right)^ {3}\end{alineado}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.11)

donde es un factor de normalización. Calcular las sumas y productos en términos de los coeficientes de la ecuación original nos da los coeficientes del resolvente (2.8): ${\frac{1}{3}}$

{\begin{alineado}y_{1}+y_{2}&=-2q\quad \quad \quad \quad \quad (2.12)\\y_{1}y_{2}&=-p^ {3}\quad \quad \quad \quad \quad (2.13)\end{alineado}}

cálculo

Denotar

{\begin{alineado}R&=x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}\ \S&=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}\end{alineado}}\quad \ cuádruple \cuádruple \cuádruple \cuádruple (2.14)

Calculamos cubos (2.11) usando igualdades (2.10) para la primera expresión y similares para la segunda (en lugar de calcular el cubo, multiplicamos tres expresiones (2.10)). Obtenemos:

27y_{1}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+3\rho ^{2}R+3\rho S+6x_ {1}x_{2}x_{3}

27y_{2}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+3\rho ^{2}S+3\rho R+6x_ {1}x_{2}x_{3}

Según las identidades de Newton :

{\begin{alineado}x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+6x_{1}x_{2}x_{3}&= \ e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}+6e_{3}&=\\9e_{3}&=-18q\end{alineado}}\quad \quad \cuádruple \cuádruple \cuádruple (2.15)

donde ; ; , después $e_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ $e_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=3p$ $e_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}=-2q$

{\begin{alineado}9y_{1}&=\rho ^{2}R+\rho S-6q\\9y_{2}&=\rho ^{2}S+\rho R-6q\end{ alineado}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.16)

Probemos la igualdad (2.12). Agregamos (2.16):

{\begin{alineado}9(y_{1}+y_{2})&=(\rho ^{2}+\rho )R+(\rho ^{2}+\rho )S-12q\ \&=-(R+S+12q)\end{alineado}}

donde (2.6) se usa. Calculemos : ${\ estilo de visualización R + S}$

{\begin{alineado}R+S&=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{3}(x_{1}+x_{3 })+x_{2}x_{3}(x_{2}+x_{3})\\&=(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}x_{2 }+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})-3x_{1}x_{2}x_{3}\\&=e_{1}e_{2}-3e_{3} =6q\end{alineado}}

y_{1}+y_{2}={\frac {-(6q+12q)}{9}}=-2q

Deducir (2.13) es algo más difícil. Multiplicamos (2.16):

{\begin{alineado}3^{4}y_{1}y_{2}&=(\rho ^{2}R+\rho S-6q)(\rho ^{2}S+\rho R- 6q)\\&=(\rho ^{2}R+\rho S)(\rho ^{2}S+\rho R)-6q(\rho ^{2}+\rho )(R+S)+36q ^{2}\\&=(\rho ^{2}+\rho )RS+R^{2}+S^{2}+6q(R+S)+36q^{2}\\&=- RS+(R+S)^{2}-2RS+6q(R+S)+36q^{2}\\&=36q^{2}+36q^{2}+36q^{2}-3RS\\ &=108q^{2}-3RS\end{alineado}}

Queda por encontrar . De (2.14) después de la multiplicación: ${\ estilo de visualización RS}$

RS=x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3})+3x_{1} ^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}+T\cuádruple \cuádruple \cuádruple \cuádruple \cuádruple (2,17)

donde ya conocemos los primeros términos, pero los calculamos por separado: $T=x_{1}^{3}x_{2}^{3}+x_{1}^{3}x_{3}^{3}+x_{2}^{3}x_{3 }^{3}$

T=x_{1}^{3}x_{2}^{3}x_{3}^{3}\left({\frac {1}{x_{1}^{3))}+ {\frac {1}{x_{2}^{3}}}+{\frac {1}{x_{3}^{3}}}\right)

La expresión entre paréntesis es la suma de los cubos de las raíces de la ecuación (2.1), donde se reemplaza por : $X$ ${\frac{1}{x'))$

2qx'^{3}+3px'^{2}+1=0

Polinomios simétricos elementales para ello: , , . De las identidades de Newton $e_{1}'=-{\frac{3p}{2q))$ $e_{2}'=0$ $e_{3}'=-{\frac{1}{2q))$

x_{1}'^{3}+x_{2}'^{3}+x_{2}'^{3}=e_{1}'^{3}+3e_{3}'

obtenemos

{\begin{alineado}T&=e_{3}^{3}(e_{1}'^{3}+3e_{3}')\\&=-8q^{3}\left(\ izquierda(-{\frac {3p}{2q}}\derecha)^{3}-{\frac {3}{2q}}\derecha)\\&=27p^{3}+12q^{2}\ end{alineado}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.18)

Ahora (2.17) se calcula:

{\begin{alineado}RS&=e_{3}\cdot 3e_{3}+3e_{3}^{2}+T\\&=12q^{2}+12q^{2}+27p^ {3}+12q^{2}\\&=36q^{2}+27p^{3}\end{alineado}}

Finalmente

3^{4}y_{1}y_{2}=108q^{2}-3(36q^{2}+27p^{3})=-3^{4}p^{3}

y (2.13) está probada.

Entonces puedes resolver el sistema resultante:

{\begin{alineado}{\begin{casos}\left({\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\ derecha)^{3}&=y_{1}\\\izquierda({\frac {x_{1}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{2}}{3}}\derecha )^{3}&=y_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}&=0\end{cases}}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \cuádruple \cuádruple (2.19)

Extrayendo raíces cúbicas de las partes correctas de (2.19), tenemos un sistema de ecuaciones lineales :

{\begin{alineado}{\begin{casos}x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}&=3{\sqrt[{3}]{y_ {1}}}\\x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+\rho x_{3}&=3{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_ {1}+x_{2}+x_{3}&=0\end{casos}}\end{alineados}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.20)

Sumando las 3 ecuaciones, de (2.6) obtenemos inmediatamente la raíz , luego multiplicamos la primera ecuación por y la segunda por , y sumamos las tres - obtenemos . Después de eso, viceversa, el primero en , y el segundo en y sumando los tres, obtenemos . En total, todas las raíces de la ecuación (2.1): $x_{1}$ $\rho^{2}$ $\rho$ $x_{2}$ $\rho$ $\rho^{2}$ ${\ estilo de visualización x_ {3))$

{\begin{alineado}x_{1}&={\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{ 2}&=\rho {\sqrt[{3}]{y_{1}}}+\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{3}& =\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{y_{1}}}+\rho {\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\\end{alineado}}

Aquí también es necesario elegir correctamente los valores de las raíces cúbicas. Por las fórmulas de Vieta, es fácil comprobar que

3p=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=-3{\sqrt[{3}]{y_{1))}{ \sqrt[{3}]{y_{2}}}

Por lo tanto, necesitamos elegir valores tales que

{\sqrt[{3}]{y_{1}}}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}=-p

Ahora obtenemos lo mismo (2.11), asumiendo que conocemos el resolvente (2.8). Como , , entonces resolvemos el sistema ${\ estilo de visualización a^{3}=y_{1}}$ ${\ estilo de visualización b ^ {3} = y_ {2}}$

{\begin{alineado}{\begin{casos}x_{1}&=a+b\\x_{2}&=\rho a+\rho ^{2}b\\x_{3}&= \rho ^{2}a+\rho b\\\end{casos}}\end{alineados}}

con respecto a y . Suma las tres ecuaciones nuevamente, multiplicando la segunda por y la tercera por , y luego súmalas multiplicando la segunda por y la tercera por . recibiremos de inmediato $a$ $b$ $\rho$ $\rho^{2}$ $\rho^{2}$ $\rho$

{\begin{alineado}b={\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\\a={\frac { x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+\rho x_{3}}{3}}\\\end{alineado}}

es decir, de hecho las dos primeras soluciones de (2.20); y la expresión deseada (2.9) se escribe inmediatamente.

Resolvente de una ecuación de cuarto grado

Sea una ecuación reducida de cuarto grado :

x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.1)

Salida directa

Representamos la ecuación (3.1) como un producto de dos trinomios cuadrados:

{\ estilo de visualización (x^{2}+p_{1}x+q_{1})(x^{2}+p_{2}x+q_{2})=0}

Multiplicamos los trinomios e igualamos los coeficientes a las mismas potencias . Obtenemos un sistema de ecuaciones: $X$

{\begin{casos}p_{1}+p_{2}=0\\q_{1}+q_{2}+p_{1}p_{2}=a\\p_{1}q_{ 2}+p_{2}q_{1}=b\\q_{1}q_{2}=c\\\end{casos}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.2)

De la primera ecuación (3.2) denotamos

{\displaystyle p=p_{1}=-p_{2))

La ecuación se escribirá así:

{\ estilo de visualización (x^{2}+px+q_{1})(x^{2}-px+q_{2})=0}

Usando la última notación, de la segunda y cuarta ecuaciones (3.2) obtenemos para la ecuación cuadrática: $q_1, q_2$

Q^{2}-(a+p^{2})Q+c=0

Sus raices:

q_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(a+p^{2}\pm {\sqrt {(p^{2}+a)^{2}- 4c}}\right)\quad \quad (3.3)

De la tercera ecuación del sistema (3.2)

p(q_{2}-q_{1})=b\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.4)

Elevando al cuadrado este último y sustituyendo la diferencia de (3.3) en él, obtenemos ${\ estilo de visualización (q_{2}-q_{1})^{2}=(p^{2}+a)^{2}-4c}$

{\displaystyle p^{2}((p^{2}+a)^{2}-4c)=b^{2))

Denotando , obtenemos una ecuación cúbica para , que será el resolvente: $y=-p^{2}$ $y$

y^{3}-2ay^{2}+(a^{2}-4c)y+b^{2}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ cuádruple (3.5)

Tenga en cuenta que la última ecuación también es el resolvente de la original (3.1), donde se reemplaza por . Además, sería posible reemplazar , pero con un menos es más conveniente para una solución adicional. $b$ $-b$ ${\ estilo de visualización y = p ^ {2}}$

Inferencia por expresión para raíces

Obtenemos el resolvente (3.5) de las relaciones dadas para sus raíces. Componer una expresión

{\ estilo de visualización (x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})}

Con todas las permutaciones posibles de variables , obtenemos solo tres expresiones diferentes para : ${\ estilo de visualización x_ {i}}$ $x_{j},i,j=1,2,3,4$ $y$

y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.6)

y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})

Los tres valores corresponden a una ecuación cúbica cuyas raíces son. Para encontrarlo, es necesario calcular los coeficientes en las potencias a través de los coeficientes de la ecuación original (3.1). Calcularlos es sorprendentemente más fácil que resolver una ecuación cúbica: $y$

y_{1}+y_{2}+y_{3}=2a

y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3}=a^{2}-4c\quad \quad \quad \quad \quad \quad ( 3.7)

{\displaystyle y_{1}y_{2}y_{3}=-b^{2))

cálculo

Primera igualdad (3.7):

y_{1}+y_{2}+y_{3}=2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2 }x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})=2a

Para calcular el segundo, reescribimos (3.6) en la forma:

{\displaystyle y_{1}=a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4))

{\displaystyle y_{2}=a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4))

{\displaystyle y_{3}=a-x_{1}x_{4}-x_{2}x_{3))

Encontremos : ${\ Displaystyle y_{1}y_{2))$

y_{1}y_{2}=(a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4})(a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_ {4})=a^{2}-a(a-x_{1}x_{4}-x_{2}x_{3})+x_{1}^{2}x_{2}x_{3} +x_{2}^{2}x_{1}x_{4}+x_{3}^{2}x_{1}x_{4}+x_{4}^{2}x_{2}x_{3 }

Similarmente

y_{1}y_{3}=a^{2}-a(a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4})+x_{1}^{2}x_ {2}x_{4}+x_{2}^{2}x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}x_{2}x_{4}+x_{4}^{2} x_{1}x_{3}

y_{2}y_{3}=a^{2}-a(a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4})+x_{1}^{2}x_ {3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}+x_{3}^{2}x_{1}x_{2}+x_{4}^{2} x_{1}x_{2}

Sumando las tres últimas igualdades, obtenemos:

y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3}=3a^{2}-a(y_{1}+y_{2}+y_{ 3})+

x_{1}(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4})+x_{ 2}(x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}x_{3}x_{4})+

x_{3}(x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{3})+x_{ 4}(x_{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{4})=

3a^{2}-2a^{2}-x_{1}(b+x_{2}x_{3}x_{4})-x_{2}(b+x_{1}x_{3 }x_{4})-x_{3}(b+x_{1}x_{2}x_{4})-x_{4}(b+x_{1}x_{2}x_{3})=

a^{2}-b(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-4x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=a ^{2}-4c

Y la tercera igualdad (3.7):

y_{1}y_{2}y_{3}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})(x_{1}+x_{3})( x_{2}+x_{4})(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})=

{\ estilo de visualización -(x_{1}+x_{2})^{2}(x_{2}+x_{4})^{2}(x_{2}+x_{3})^{2}= }

-((x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{4})(x_{2}+x_{ 3}))^{2}=

-(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{3}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{ 4}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4})^{2}=

{\ estilo de visualización -(x_{2}^{2}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-b)^{2}=-b^{2))

La identidad se utiliza en los cálculos . $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$

Decisión adicional

Entonces puedes proceder de dos maneras:

La primera forma

Las tres raíces de la ecuación cúbica (3.5) corresponden a tres conjuntos de números , que se obtienen si, reordenando las 4 raíces de la ecuación original (3.1) de tres formas, la representamos como producto de dos trinomios cuadrados. Por tanto, al resolver el resolvente (3.5), basta con elegir una de las raíces , con otra elección de raíz, las 4 soluciones correspondientes de la ecuación (3.1) serán permutaciones de las soluciones obtenidas. ${\displaystyle pag,q_{1},q_{2))$ $y$

Habiendo resuelto el resolvente (por ejemplo, según la fórmula de Cardano ), elegimos cualquier raíz, sea . ${\ Displaystyle y_ {1}}$

Ahora necesitamos volver a elegir cualquier signo delante de la raíz cuadrada y luego encontrar eligiendo tales signos delante de las raíces de las soluciones (3.3) para que se satisfaga la igualdad (3.4). Después de eso, no es difícil encontrar 4 raíces de dos trinomios. Finalmente: ${\displaystyle p=\pm {\sqrt {-y_{1))))$ ${\ estilo de visualización q_ {1}, q_ {2}}$

x_{1},_{2}=(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q_{1}}})/2

x_{3},_{4}=(p\pm {\sqrt {p^{2}-4q_{2}}})/2

donde corresponde a (el primer trinomio), y corresponde a (el segundo trinomio). $pags$ ${\ estilo de visualización q_ {1}}$ ${\ estilo de visualización -p}$ ${\ estilo de visualización q_ {2}}$

La segunda forma

Al resolver, se requieren las 3 raíces del resolvente (3.5), que se encuentren.

Elegimos la correspondencia de la raíz del resolvente con las raíces del primer trinomio y del segundo. De manera similar a las raíces del primer trinomio y el segundo; raíces del primer trinomio y del segundo. Entonces para retenciones: $y_1$ $x_{1},x_{2}$ ${\ estilo de visualización x_{3},x_{4))$ $y_2$ ${\ estilo de visualización x_{1},x_{3))$ ${\ estilo de visualización x_ {2}, x_ {4}}$ ${\ Displaystyle y_ {3}}$ ${\ estilo de visualización x_{1},x_{4))$ ${\ estilo de visualización x_{2},x_{3))$ $y_1$

{\ estilo de visualización -p^{2}=y_{1}}

Según las fórmulas de Vieta para el primer y segundo trinomio, respectivamente:

{\displaystyle -p=x_{1}+x_{2))

. .

{\displaystyle p=x_{3}+x_{4))

después

y_{1}=-p^{2}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

Habiendo hecho lo mismo con las raíces (cada una tendrá la suya propia ), obtenemos de nuevo el sistema (3.6). Ecuación (relación de Vieta para el coeficiente de la ecuación original en ) $y_{2},y_{3}$ $pags$ ${\ estilo de visualización x^{3))$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.8)

cierra el sistema (3.6). La sustitución de (3.8) en tres ecuaciones (3.6) conduce inmediatamente al sistema

{\begin{casos}{\begin{alineado}&(x_{3}+x_{4})^{2}=-y_{1}\\&(x_{2}+x_{4} )^{2}=-y_{2}\\&(x_{2}+x_{3})^{2}=-y_{3}\\&x_{1}+x_{2}+x_{3 }+x_{4}=0\\\end{alineado}}\end{casos}}

Al resolverlo, existe una dificultad para elegir un signo al extraer una raíz cuadrada. Uno podría comprobar el signo igual

p{\sqrt {(p^{2}+a)^{2}-4c}}=b

que se obtuvo en la derivación directa del resolvente (al elevar al cuadrado la última igualdad, se agregaron raíces extra con signos opuestos), consistentemente para , pero hagámoslo más simple. Elegimos cualquier signo al extraer la raíz cuadrada, por ejemplo , y escribimos el sistema, denotando , , : $p=\pm {\sqrt {-y_{1}}},p=\pm {\sqrt {-y_{2}}},p=\pm {\sqrt {-y_{3}}}$ ${\ estilo de visualización-}$ ${\sqrt {-y_{1}}}=u$ ${\sqrt {-y_{2}}}=v$ ${\sqrt {-y_{3}}}=w$

{\begin{casos}{\begin{alineado}&x_{3}+x_{4}=-u\\&x_{2}+x_{4}=-v\\&x_{2}+x_{ 3}=-w\\&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\\end{alineado}}\end{casos}}

Este es un sistema de ecuaciones lineales ; resuelto simplemente por sustitución. Su solución:

{\begin{alineado}x_{1}&=(-uvw)/2\\x_{2}&=(-u+v+w)/2\\x_{3}&=(u- v+w)/2\\x_{4}&=(u+vw)/2\\\end{alineado}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.9)

Tenga en cuenta que un solo cambio de signo de cualquiera de los términos transforma la solución en una solución y viceversa (por ejemplo, cambiar a se traduce en ). Por lo tanto, si la elección de los signos resulta incorrecta, entonces es suficiente cambiar el signo de cualquier término en la solución y se volverá verdadero. De acuerdo con las relaciones de las raíces con los coeficientes del resolvente, no se puede decir sobre la elección correcta del signo, ya que es el resolvente de dos ecuaciones. Esto significa que necesitamos buscar una relación entre las raíces y los coeficientes del original, y el coeficiente debe participar en ella . Escribimos la relación de Vieta para ello: $tu$ $v$ $w$ $\mathbf{x}$ $-\mathbf {x}$ $tu$ ${\ estilo de visualización -u}$ ${\ estilo de visualización (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$ ${\ estilo de visualización (-x_{2},-x_{1},-x_{4},-x_{3})}$ $x_{yo}$ $b$

x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4}=-b

Sustituyendo aquí las expresiones (3.9), obtenemos

uvw=b\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.10)

, cálculo

De (3.8) y (3.9)

{\begin{alineado}b&=-(x_{1}x_{2}(x_{3}+x_{4})+(x_{1}+x_{2})x_{3}x_{ 4})\\&=u(x_{3}x_{4}-x_{1}x_{2})\\&={\frac {u}{4}}\left(u^{2}- (vw)^{2}-(u^{2}-(v+w)^{2})\derecha)\\&={\frac {u}{4}}\izquierda(u^{2} -v^{2}+2vw-w^{2}-u^{2}+v^{2}+w^{2}+2vw\right)\\&=4uvw/4=uvw\end{alineado }}

que significa verificacion

{\sqrt {-y_{1}}}{\sqrt {-y_{2}}}{\sqrt {-y_{3}}}=b

y si el signo resulta ser incorrecto, lo reemplazaremos por ejemplo con . Para obtener la solución final, calculamos (3.9) con los signos elegidos. ${\ estilo de visualización {\ raíz cuadrada {-y_ {1}}}}$ ${\ estilo de visualización - {\ sqrt {-y_ {1}}}}$

Literatura

MM. Postnikov. Teoría de Galois. - M.: Editorial Factorial Press, 2003. ISBN 5-88688-063-1
Kaluzhnin L.A., Sushchansky V.I. Transformaciones y permutaciones: traducido del ucraniano. - M.: Nauka, 1979
Prasolov V.V., Soloviev Yu.P. Funciones elípticas y ecuaciones algebraicas. - M.: Editorial Factorial, 1997. ISBN 5-88688-018-6