El séptimo problema de Hilbert

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El séptimo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas que David Hilbert propuso el 8 de agosto de 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos . El problema está relacionado con la prueba y estudio de la trascendencia e irracionalidad de algunos números.

Planteamiento del problema

A continuación se muestra un extracto del informe de Hilbert [1] dedicado al séptimo problema.

Los teoremas de la función exponencial aritmética de Hermite y su desarrollo por parte de Lindemann sin duda seguirán siendo asombrosos para los matemáticos de todas las generaciones. Pero ahora surge el problema: ir más allá por el camino pavimentado, como ya hizo Hurwitz en sus dos interesantes estudios "Sobre las propiedades aritméticas de ciertas funciones trascendentales" [2] . Por lo tanto, me gustaría señalar la clase de problemas que, en mi opinión, deberían ser considerados como los más cercanos en esta dirección. Cuando nos enteramos de que ciertas funciones trascendentales especiales , que juegan un papel esencial en el análisis , toman valores algebraicos para ciertos valores algebraicos del argumento, entonces esta circunstancia nos parece especialmente sorprendente y digna de mayor estudio. Siempre esperamos que las funciones trascendentales tomen, en términos generales, valores trascendentales para los valores algebraicos de los argumentos, y aunque somos muy conscientes de que incluso existen funciones trascendentales enteras que toman valores racionales para todos los valores algebraicos . del argumento, todavía consideramos muy probable que una función como, por ejemplo, exponencial , que, obviamente, para todos los valores racionales del argumento toma valores algebraicos, en cambio, siempre tomará valores trascendentales . para todos los valores irracionales algebraicos. A esta declaración también se le puede dar una forma geométrica de la siguiente manera. Si en un triángulo isósceles la razón del ángulo de la base al ángulo del vértice es un número algebraico pero no racional, entonces la razón de la base al lado es un número trascendental . A pesar de la simplicidad de esta proposición, así como de su similitud con los problemas resueltos por Hermite y Lindemann, su demostración me parece extremadamente difícil, así como la demostración de que el grado de una base algebraica y un exponente algebraico irracional -como un número o - siempre hay un número trascendental, o al menos uno irracional. Se puede estar seguro de que la solución de este y otros problemas similares nos conducirá a nuevos puntos de vista sobre la esencia de los números irracionales y trascendentales especiales [3] . $e^{{i\pi z}}$ $z$ $z$ $\alfa ^{{\beta ))$ $\alfa$ $\beta$ $2^{{\raíz cuadrada {2}}}$ $e^{{\pi}}=i^{{-2i}}$

Solución

El propio Hilbert consideró muy difícil el séptimo problema. Karl Siegel cita a Hilbert [4] , en el que atribuye el tiempo para resolver el séptimo problema mucho más allá de probar la hipótesis de Riemann y el teorema de Fermat .

Sin embargo, una solución parcial relacionada con la trascendencia de la razón de la base al lado lateral de un triángulo isósceles fue obtenida por A. O. Gelfond ya en 1929 [5] , y la trascendencia del número fue probada por R. O. Kuzmin en 1930 [6 ] . En 1934, Gelfond obtuvo la solución definitiva al problema [7] : demostró que un número de la forma donde es un número algebraico distinto de y a es un número algebraico irracional es siempre trascendental [8] (el número más tarde incluso recibió la nombre de la constante de Gelfond ). Un poco más tarde, la solución también fue obtenida por Theodor Schneider [9] . $2^{{{\raíz cuadrada 2}}}$ ${\ estilo de visualización \ alfa ^ {\ beta},}$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización 0}$ $una,$ $\beta$ $e^{\pi}$

Notas

↑ Hilberto, David . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (alemán) (enlace inaccesible) . — Texto del informe leído por Hilbert el 8 de agosto de 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos de París. Consultado el 27 de agosto de 2009. Archivado desde el original el 8 de abril de 2012.
↑ Hurwitz, Adolf . Über arithmetische Eigenschaften gewisser transcendenten Functionen (alemán) // Mathematische Annalen . - Berlín: Springer, 1883. - Bd. 22 , núm. 2 . - S. 211-229 . (enlace no disponible)
↑ Traducción del informe de Hilbert del alemán - M. G. Shestopal y A. V. Dorofeev , publicado en el libro Hilbert's Problems / Ed. P. S. Alexandrova . - M. : Nauka, 1969. - S. 36-37. — 240 s. — 10.700 copias. Archivado el 17 de octubre de 2011 en Wayback Machine .
↑ Siegel CL Números trascendentales . - Princeton: Princeton University Press, 1949. - vol. 16. - 102 pág. - (Anales de estudios matemáticos). — ISBN 0-691-09575-2 . Archivado el 12 de noviembre de 2012 en Wayback Machine - P. 84.
↑ Gelfond A. Sur les nombres transcendants (francés) // Comptes Rendus de l'Académie des sciences. - París, 1929. - Vol. 189 . - P. 1224-1228 .
↑ Kuzmin R. O. Sobre una nueva clase de números trascendentales // Boletín de la Academia de Ciencias de la URSS. séptima serie. Departamento de Ciencias Físicas y Matemáticas. - 1930. - Nº 6 . - S. 585-597 .
↑ Gelfond A. O. Sobre el séptimo problema de Hilbert // Informes de la Academia de Ciencias de la URSS. - 1934. - T. 2 . - S. 1-6 .
↑ Rybnikov K. A. . Historia de las matemáticas. 2ª ed. - M. : Editorial de Moscú. un-ta, 1974. - 455 p. - art. 304.
↑ Schneider T. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen (alemán) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1934. - Bd. 172 . - S. 65-69 .

Literatura

Gelfond A. O. . Sobre el séptimo problema de Hilbert // Problemas de Hilbert / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 p. — 10.700 copias. Archivadoel 17 de octubre de 2011 enWayback Machine - págs. 121-127.
Feldman N.I. El séptimo problema de Hilbert. - M. : Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1982. - 312 p.
Bolibrukh A. A. . Séptimo problema de Hilbert: Números irracionales // Problemas de Hilbert (100 años después) . - M. : MTSNMO , 1999. - 24 p. - ( Biblioteca "Educación Matemática" , número 2). - 3000 copias.
Tikhomirov V. M. , Uspensky V. V. Matemáticas soviéticas de los años 30 (II): A. O. Gelfond y L. G. Shnirelman, parte "El séptimo problema de Alexander Osipovich Gelfond y Hilbert" // Educación matemática , serie No. 3. - 2000. - Edición. 4 . - S. 33-48 .

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