Familia helly

Una familia Helly de orden k es una familia de conjuntos con la propiedad de que cualquier subfamilia mínima con intersección vacía tiene k o menos conjuntos. De manera equivalente, cualquier subfamilia finita con la propiedad de que cualquier intersección de k conjuntos no es vacía tiene una intersección común no vacía [1] .

Se dice que una familia k es Helle si es una familia Helly de orden k [2] . El concepto lleva el nombre del matemático Edward Helly (1884-1943). El teorema de Helly sobre conjuntos convexos , que motivó la introducción del concepto, establece que los conjuntos convexos en un espacio euclidiano de dimensión n son una familia de Helly de orden n  + 1 [1] . El número k a menudo se omite cuando se analiza el caso k  = 2.

Ejemplos

Formal definición

Más formalmente, una familia Helly de orden k es una familia de conjuntos ( F ,  E ), donde F es un conjunto de subconjuntos de E con la propiedad de que, para cualquier conjunto finito G ⊆ F ,

podemos encontrar un conjunto H ⊆ G tal que

y

[una]

En algunos casos, se considera la misma definición para cualquier subcoleccion de G , sin asumir finitud. Sin embargo, tal definición es una definición más restrictiva. Por ejemplo, los intervalos abiertos del eje real satisfacen la propiedad de Helly para subcolecciones finitas, pero no para infinitas - los intervalos (0,1/ i ) (para i = 1, 2, 3, ...) tienen un par no -intersección vacía, pero la intersección de todos esos intervalos está vacía.

Dimensión Helly

Si una familia de conjuntos es una familia Helly de orden k , entonces se dice que la familia tiene un número Helly k . La dimensión de Helly de un espacio métrico es uno menos que el número de Helly de la familia de bolas métricas en este espacio. Del teorema de Helly se deduce que la dimensión de Helly de un espacio euclidiano es igual a su dimensión como espacio vectorial real [4] .

La dimensión de Helly de un subconjunto S de un espacio euclidiano, como un poliedro, es uno menos que el número de Helly de la familia de traslaciones paralelas S [5] . Por ejemplo, la dimensión Helly de cualquier hipercubo es 1, incluso si dicha figura se encuentra en un espacio euclidiano de dimensiones muy altas [6] .

La dimensión de Helly también se aplica a otros objetos matemáticos. Por ejemplo, Domokos [7] define la dimensión Helly de un grupo (una estructura algebraica formada por una operación biplaza invertible y asociativa) como uno menos que la dimensión Helly de la familia de clases laterales izquierdas del grupo [8] .

Helly propiedad

Si una familia de conjuntos no vacíos tiene una intersección vacía, su número de Helly debe ser al menos dos, por lo que el k más pequeño para el que el caso no es trivial es 2. La propiedad 2-Helly también se conoce como propiedad de Helly . Una familia 2-Hell se conoce como familia Hell [1] [2] .

Un espacio métrico en el que las bolas cerradas son 2-Hell (es decir, un espacio con dimensión Helly 1) se denomina inyectivo o hiperconvexo [9] . La existencia de un caparazón denso permite incrustar cualquier espacio métrico en un espacio con dimensión Helly 1 [10] .

Notas

  1. ↑ 1 2 3 4 Bollobás, 1986 , p. 82.
  2. ↑ 1 2 3 Duchet, 1995 , p. 381–432.
  3. ↑ Este es un caso unidimensional del teorema de Helly. Para conocer la esencia de esta prueba, incluidas las coloridas frases sobre estudiantes dormidos, consulte el artículo de Savchev y Andreescu ( Savchev, Andreescu 2003 , pp. 104–106).
  4. ↑ Martini, 1997 , pág. 92–93.
  5. ↑ Bezdek, 2010 , pág. 27
  6. ↑ Sz.-Nagy, 1954 , pág. 169–177.
  7. ↑ Domokos, 2007 .
  8. ↑ Domokos, 2007 , pág. 49–63.
  9. ↑ M&E. Deza, 2012 , pág. 19
  10. ↑ Isbel, 1964 , pág. 65–76.

Literatura