Número perfecto

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Un número perfecto ( otro griego ἀριθμὸς τέλειος ) es un número natural igual a la suma de todos sus propios divisores (es decir, todos los divisores positivos distintos del número en sí). Por ejemplo, el número 6 es igual a la suma de sus propios divisores 1 + 2 + 3 . Este concepto fue introducido por los pitagóricos en el siglo VI a.C. mi.; según su misticismo numerológico , la coincidencia de un número con la suma de sus divisores atestiguaba la especial perfección de tal número [1] .

Si sumamos todos los divisores de un número (es decir, sumamos el propio número) u obtenemos otra definición equivalente: Los números perfectos son números en los que la suma de todos los divisores es 2 veces mayor que el propio número.

A medida que aumentan los números naturales , los números perfectos se vuelven más escasos. No se sabe si el conjunto de todos los números perfectos es infinito. Tampoco se sabe si alguno de ellos es impar.

Los números perfectos forman la secuencia A000396 en OEIS :

1. 6 ,
2. 28 ,
3. 496 _
4. 8128 ,
5. 33 550 336
6. 8 589 869 056 ,
7. 137 438 691 328 ,
8. 2 305 843 008 139 952 128 ,
9. 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 ,
10. 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 ,

…

Ejemplos

• El 1er número perfecto - 6 tiene los siguientes divisores propios: 1, 2, 3; su suma es 6.
• El segundo número perfecto - 28 tiene los siguientes divisores propios: 1, 2, 4, 7, 14; su suma es 28.
• El tercer número perfecto - 496 tiene los siguientes divisores propios: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; su suma es 496.
• El cuarto número perfecto - 8128 tiene los siguientes divisores propios: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; su suma es 8128.

Historia del estudio

Números pares perfectos

El algoritmo para construir números perfectos pares se describe en el Libro IX de los Principios de Euclides , donde se demostró que un número es perfecto si es primo (los llamados números primos de Mersenne ) [2] . Posteriormente, Leonhard Euler demostró que todos los números perfectos pares tienen la forma indicada por Euclides.

En la antigüedad, solo se conocían los primeros cuatro números perfectos (correspondientes a p = 2, 3, 5 y 7), se dan en la Aritmética de Nicómaco de Geraz .

El quinto número perfecto 33 550 336 , correspondiente a p = 13, fue encontrado en 1536 por el matemático holandés Hudalrich Perius ( lat. Hudalrichus Regius ) en el tratado " Utriusque Arithmetices " (1536) [3] . Más tarde, este número también fue descubierto por los historiadores en un manuscrito inédito de Regiomontanus de 1461 [4] .  

En 1603, el matemático italiano Cataldi descubrió y publicó los números perfectos sexto y séptimo: 8589869056 y 137438691328 . Corresponden a p = 17 y p = 19 .

A principios del siglo XX se encontraron tres números perfectos más (para p = 89, 107 y 127). Posteriormente, la búsqueda se ralentizó hasta mediados del siglo XX, cuando, con la llegada de las computadoras, se hicieron posibles cálculos que excedían las capacidades humanas.

Para 2019 se conocen 51 números perfectos, derivados de los números primos de Mersenne , que están siendo buscados por el proyecto de computación distribuida GIMPS .

Números perfectos impares

Aún no se han descubierto los números perfectos impares, pero tampoco se ha demostrado que no existan. También se desconoce si el conjunto de números perfectos impares es finito, si es que existen.

Se ha probado que un número perfecto impar, si existe, es mayor que 10 1500 ; mientras que el número de primos divisores de tal número, teniendo en cuenta la multiplicidad, no es inferior a 101 [5] . El proyecto de computación distribuida OddPerfect.org se dedica a la búsqueda de números perfectos impares .

Propiedades

• Todos los números perfectos pares (excepto el 6) son la suma de cubos de números naturales impares consecutivos

• Todos los números perfectos pares son números triangulares y al mismo tiempo hexagonales , es decir, se pueden representar como para algún número natural .
• La suma de todos los recíprocos de los divisores de un número perfecto (incluido el propio número) es 2. Esto es una consecuencia directa de la definición y del hecho de que la suma de los divisores cuando se divide por el propio número da la suma de los recíprocos de los divisores
• Todos los números perfectos son números de mineral .
• Todos los números perfectos pares excepto el 6 y el 496 terminan en notación decimal con 16, 28, 36, 56 o 76.
• Todos los números perfectos pares en notación binaria contienen primero unos seguidos de ceros (como consecuencia de su representación general).
• Si suma todos los dígitos de un número perfecto par (excepto 6), luego suma todos los dígitos del número resultante y repite hasta obtener un número de un solo dígito [6] , entonces este número será igual a 1 (2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 4 + 9 + 6 \u003d 19, 1 + 9 \u003d 10 ...) Formulación equivalente: el resto de dividir un número par perfecto que no sea 6 entre 9 es 1.

En la religión

La naturaleza especial ("perfecta") de los números 6 y 28 ha sido reconocida en culturas con raíces en las religiones abrahámicas , que afirman que Dios creó el mundo en 6 días y que han notado que la Luna orbita la Tierra en unos 28 días . .

James A. Eshelman en The Hebrew Hierarchical Names of Briah [7] escribe que según gematria :

Igualmente importante es la idea expresada por el número 496. Esta es la "extensión teosófica" del número 31 (es decir, la suma de todos los números enteros del 1 al 31). Entre otras cosas, esta es la suma de la palabra Maljut (reino). Así, el Reino, manifestación plena de la idea primaria de Dios, aparece en gematria como complemento o manifestación natural del número 31, que es el número del nombre 78.

" Leviatán " (literalmente, "retorciéndose"): uno de los cuatro Príncipes de las Tinieblas, encarnado en forma de serpiente. Por lo tanto, sostener Leviatán significa controlar las energías de Nefesh asociadas con el Sephirah Yesod. En segundo lugar, “serpiente curva” también puede significar “serpiente enroscada”, es decir, Kundalini . En tercer lugar, la guematria de la palabra “Leviatán” es 496, así como la palabra “Maljut” (Reino); La idea de que el arcángel Yesod restringe la naturaleza de Maljut proporciona un rico alimento para el pensamiento. En cuarto lugar, el número 496 es la suma de los números del 1 al 31, es decir, la plena expansión o manifestación del nombre "El", el nombre divino de las tres sefirot más elevadas de Briah (incluida la sefira Kether , cuyo ángel es Yehoel).

En La Ciudad de Dios, San Agustín escribió :

El número 6 es perfecto en sí mismo, y no porque el Señor creó todo en 6 días; más bien, al contrario, Dios creó todo en 6 días porque este número es perfecto. Y permanecería perfecto incluso si no hubiera creación en 6 días.

Variaciones y generalizaciones

Los antiguos matemáticos distinguían tres tipos de números naturales , según la suma de sus propios divisores :

• números redundantes , para los que la suma de sus propios divisores es mayor que el propio número;
• números insuficientes , para los cuales la suma de sus propios divisores es menor que el propio número;
• Números perfectos para los que la suma de sus propios divisores es igual al propio número.

La investigación moderna ha demostrado que los subnúmeros son los más comunes, alrededor del 75%. Los números en exceso son un poco menos del 25%. La proporción de números perfectos en el intervalo de 1 a tiende a cero con el crecimiento [9] .

Un número natural cuya suma de todos los divisores es un múltiplo del propio número se llama multiperfecto [10] .

Véase también

• números amistosos
• Números mágicos (física)
• problemas matematicos abiertos
• números semiperfectos
• Números ligeramente redundantes (números casi perfectos)
• Cifras ligeramente insuficientes
• Números súper perfectos

Notas

1. ↑ Uspensky, V. A. Prefacio a las matemáticas [colección de artículos]. - San Petersburgo. : Amphora Trading and Publishing House LLC, 2015. - P. 87. - 474 p. — (Ciencia Popular, n. 12). - ISBN 978-5-367-03606-0 .
2. ↑ Perfecta belleza y perfecta inutilidad de los números perfectos . Consultado el 19 de abril de 2010. Archivado desde el original el 31 de octubre de 2010. (indefinido)
3. ↑ Popov, I. N. Números perfectos y amistosos: guía de estudio . - Arkhangelsk: Estado de Pomor. Universidad. M. V. Lomonosov, 2005. - 153 p. - ISBN 5-88086-514-2 . Archivado el 25 de noviembre de 2021 en Wayback Machine .
4. ↑ 12 números perfectos . Consultado el 21 de septiembre de 2021. Archivado desde el original el 5 de octubre de 2021. (indefinido)
5. ↑ Ochem, Pascal; Rao, Michael. Los números perfectos impares son mayores que 10 1500  // Matemáticas de  computación : diario. - 2012. - vol. 81 , núm. 279 . - Pág. 1869-1877 . — ISSN 0025-5718 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-2012-02563-4 . Archivado desde el original el 15 de enero de 2016.
6. ↑ ver Numerología#Reducción de números a dígitos
7. ↑ Números . Consultado el 10 de septiembre de 2011. Archivado desde el original el 16 de abril de 2015. (indefinido)
8. ↑ Simón Singh . El último teorema de Fermat. Con. 9  (enlace no disponible) .
9. ↑ Stewart, Ian . Los increíbles números del profesor Stewart = los increíbles números del profesor Stewart. - M. : Alpina no ficción, 2016. - S. 103-104. — 422 págs. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
10. ↑ La página de multiplicación de números perfectos . Consultado el 10 de febrero de 2022. Archivado desde el original el 19 de febrero de 2020. (indefinido)

Enlaces

• Depman I. Números perfectos  // Kvant . - 1991. - Nº 5 . - S. 13-17 .
• Evgeny Epifanov. Números perfectos . Elementos. (indefinido)

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