Número súper perfecto

Un número superperfecto  es un número natural n tal que:

donde σ es la suma de los divisores del número n [1] . Los números superperfectos son una generalización de los números perfectos . El término fue acuñado por D. Suryanarayana en 1969 [2] .

Los números superperfectos forman la secuencia: 2 , 4 , 16 , 64 , 4096 , 65536, 262144 , ... (secuencia A019279 en OEIS ).

Todos los números superperfectos pares tienen la forma , donde  es un primo de Mersenne .

No se sabe si existen números superperfectos impares. En 2000, Hunsaker y Pomerance demostraron que no hay números superperfectos impares menores que [3] .

Generalizaciones

Los números perfectos y superperfectos son los ejemplos más simples de una amplia clase de m -números superperfectos que satisfacen:

para m =1 y 2 respectivamente [2] .

Los m -números superperfectos, a su vez, son un caso especial de ( m , k )-números perfectos que satisfacen [4] :

.

En esta notación, los números perfectos son (1,2)-números perfectos, los números multiperfectos son (1, k )-números perfectos, los números superperfectos son (2,2)-números superperfectos y m -los números superperfectos son ( m ,2 ) ) -números perfectos.

Ejemplos de clases de ( m , k )-números perfectos:

metro k ( m , k )-números perfectos OEIS
2 3 8, 21, 512 A019281
2 cuatro 15, 1023, 29127 A019282
2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024 A019283
2 7 24, 1536, 47360, 343976 A019284
2 ocho 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 2681733312222222222222222222222222222222222222222222262222222222222222222222222222222222222N A019285
2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936 A019286
2 diez 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296 A019287
2 once 4404480, 57669920, 238608384 A019288
2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120 A019289
3 ningún 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, … A019292
cuatro ningún 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, … A019293


Notas

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Superperfect Number  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
  2. ↑ 1 2 Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag. B9. ISBN 978-0-387-20860-2 . Zbl 1058.11001.
  3. ↑ A019279
  4. ↑ Cohen, GL and te Riele, JJ "Iterando la función de suma de divisores". Experimentar Matemáticas. 5, 93-100, 1996.

Literatura