Panal (geometría)

Un panal  es un relleno de espacio con poliedros que no se cortan , en el que no hay espacio vacío. Esta es una generalización del concepto matemático de mosaico o parquet a cualquier dimensión.

Los panales generalmente se consideran en el espacio euclidiano ("plano") habitual. También se pueden construir en espacios no euclidianos , como el panal hiperbólico . Cualquier poliedro uniforme finito se puede proyectar sobre su circunsfera , dando un panal uniforme en el espacio esférico.

Clasificación

Hay infinitas celdas y solo se pueden clasificar parcialmente. Los mosaicos más regulares reciben el mayor interés, aunque se descubre una y otra vez una rica y amplia gama de otros mosaicos.

Los panales más simples se forman a partir de capas de prismas construidos a partir de parquets en un plano. En particular, las copias de cualquier paralelepípedo pueden llenar el espacio, siendo los panales cúbicos un caso especial, ya que solo ellos forman panales regulares en el espacio ordinario (euclidiano). Otro ejemplo interesante es el tetraedro de Hill y sus generalizaciones, que también forman un mosaico en el espacio.

Panales 3D homogéneos

Un panal homogéneo 3D  es un panal en el espacio 3D compuesto por poliedros uniformes que tienen los mismos vértices (es decir, el grupo de isometría del espacio 3D que conserva el mosaico es transitivo en los vértices ). Hay 28 ejemplos de mosaicos convexos en el espacio euclidiano tridimensional [1] , también llamados panales de Arquímedes .

Un panal se llama regular si el grupo de isometría que conserva el teselado actúa transitivamente sobre las banderas , donde la bandera  es un vértice que descansa sobre una arista que pertenece a la cara (todas juntas). Cualquier panal regular es automáticamente homogéneo. Sin embargo, solo hay un tipo de panal regular en el espacio tridimensional euclidiano: los panales cúbicos . Dos celdas son casi regulares (hechas de dos tipos de celdas regulares):

El panal tetraédrico-octaédrico y el panal tetraédrico-octaédrico rotado consisten en capas formadas por la tercera o segunda posición de tetraedros y octaedros. Se puede obtener un número infinito de celdas únicas alternando estas capas de diferentes maneras.

Poliedros que llenan espacios

Los panales tridimensionales que tienen todas las celdas idénticas, incluida la simetría, se dice que son transitivos o isocóricos . Se habla de una celda de tales panales como poliedros que llenan el espacio [2] .

Solo cinco poliedros que llenan espacios pueden llenar el espacio euclidiano tridimensional usando solo traslación paralela. Se llaman paraleloedros :

1. Panales cúbicos (o variaciones: cuboide , hexágono rómbico o cuboide );
2. Panales prismáticos hexagonales [3] ;
3. Panales dodecaédricos rómbicos ;
4. Panales dodecaédricos alargados [4] ;
5. Panal de cubos profundamente truncados [5] .

Otros ejemplos notables:

• Panales prismáticos triangulares .
• Panales prismáticos triangulares rotados uniformemente
• Panales triakistetraédricos truncados . Las celdas del mosaico Voronoi de átomos de carbono en el diamante se ven así [6] .
• Panales dodecaédricos trapezoidal-rómbicos [7] .
• Teselaciones isoédricas simples [8] .

Otros panales con dos o más poliedros

A veces se pueden combinar dos [9] o más politopos diferentes para llenar un espacio. Un ejemplo bien conocido es la estructura Weir-Phelan , tomada de la estructura de los cristales de hidrato de clatrato [10] .

Estructura Weir-Phelan (con dos tipos de células)

Panales 3D no convexos

Los ejemplos documentados son raros. Se pueden distinguir dos clases:

• celdas no convexas empaquetadas sin superposición, similar a mosaicos de polígonos cóncavos; incluyen empaquetar pequeños dodecaedros rómbicos estrellados como en el cubo de Yoshimoto ;
• mosaicos con celdas superpuestas, en los que las densidades positivas y negativas se “destruyen” con la formación de un continuo de densidad uniforme, similar a los mosaicos con superposición sobre planos.

Panales hiperbólicos

En el espacio hiperbólico tridimensional , el ángulo diedro de un poliedro depende del tamaño del poliedro. Los panales hiperbólicos regulares incluyen dos tipos con cuatro o cinco dodecaedros que comparten bordes. Sus ángulos diedros serían entonces π/2 y 2π/5, ambos menores que los del dodecaedro euclidiano. Excepto por este efecto, los panales hiperbólicos satisfacen las mismas restricciones que los panales euclidianos y los poliedros.

Se investigan 4 tipos de panales hiperbólicos regulares compactos y muchos panales hiperbólicos homogéneos .

Dualidad de panales en tres dimensiones

Para cualquier celda, hay celdas dobles que se pueden intercambiar:

Para celdas correctas:

• Los panales cúbicos son autodual.
• Los panales que consisten en octaedros y tetraedros son duales a los panales de dodecaedros rómbicos.
• Los panales en capas obtenidos de mosaicos planos uniformes son duales a los obtenidos de mosaicos duales.
• Los panales duales del resto de los panales de Arquímedes son transitivos entre células y se describen en el artículo de Inchbald [11] .

Panales auto-dual

Los panales pueden ser auto-dual . Todos los panales hipercúbicos n -dimensionales con símbolos de Schläfli {4,3 n −2,4 } son autodual.

Véase también

• Lista de mosaicos uniformes
• Lista de politopos y compuestos multidimensionales regulares § Mosaicos del espacio tridimensional euclidiano

Notas

1. ↑ Grünbaum, 1994 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Poliedro que llena el espacio  en el sitio web de Wolfram MathWorld .
3. ↑ [1] Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine . Prismas homogéneos que llenan el espacio basados ​​en triángulo, cuadrado y hexágono.
4. ↑ [2] Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine Dodecaedros rómbico-hexagonal homogéneos que llenan el espacio
5. ↑ [3] Archivado el 14 de enero de 2006 en Wayback Machine . Octaedros truncados homogéneos que llenan el espacio.
6. ↑ Poliedro de Voronoi
7. ↑ Qian, Strahs, Schlick, 2001 , pág. 1843-1850
8. ↑ Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005 , p. 358-362.
9. ↑ Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 16 de mayo de 2012. Archivado desde el original el 30 de junio de 2015.  (indefinido)  Gabbrielli, Ruggero. Un poliedro de trece lados que llena el espacio con su copia quiral.
10. ↑ Pauling, 1960 .
11. ↑ Inchbald, 1997 , pág. 213–219.

Literatura

• HS M Coxeter . Capítulo 8: Trancación //Politopos regulares . — 3ra edición. - Nueva York: Dover Publications Inc., 1973. - P.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Williams, R. Capítulo 5: Empaquetamiento de poliedros y relleno de espacios // La base geométrica de la estructura natural: un libro de referencia sobre diseño . - Nueva York: Dover Publications , 1979. - págs  . 164-199 .
• K. Critchlow. Orden en el espacio. - Nueva York: Thames & Hudson Inc., 1997. - ISBN 0-500-34033-1 .
• Branko Grunbaum. Teselaciones uniformes de 3 espacios // Geombinatorials . - 1994. - Edición. 4(2) .
• P. Pearce. La estructura en la naturaleza es una estrategia para el diseño. — Cambridge, Massachusetts, Londres: MIT Press, 1978.
• Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. Un nuevo programa para optimizar modelos de límite periódicos de biomoléculas solvatadas (PBCAID). // Revista de Química Computacional. - 2001. - T. 22 , núm. 15 _
• O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Teselaciones simples isoédricas: binodales y por teselas con <16 caras  // Acta Cryst. - 2005. - Edición. A61 .
• Linus Pauling. La naturaleza del enlace químico . - Prensa de la Universidad de Cornell, 1960. - ISBN 0-8014-0333-2 .
• G. Inchbald. Los duales de Archimedean Honeycomb // The Mathematical Gazette. - 1997. - Edición. 81 , julio .

Enlaces

• Glosario para Hiperespacio
• Cinco poliedros que llenan espacios , Guy Inchbald
• Los duales en panal de Arquímedes , Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80 , noviembre de 1996, págs. 466-475.
• Raumfueller (poliedros que llenan el espacio) por TE Dorozinski

Panales regulares y uniformes convexos fundamentales en espacios de dimensiones 2–10

Familia / / Mosaico homogéneo {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal Panales convexos homogéneos {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 panal de cinco dimensiones uniforme {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Panal de 24 celdas panal de seis dimensiones uniforme {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 panal uniforme de siete dimensiones {3 [7] } 7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ panal de ocho dimensiones uniforme {3 [8] } 8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 panal uniforme de nueve dimensiones {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Panales n -dimensionales uniformes {3 [n] } n _ hδn_ _ qδn_ _ 1 k2 • 2 k1 • k 21