Mosaico homogéneo

Un mosaico uniforme es un mosaico transitivo de vértice en un plano con caras poligonales regulares .

Un mosaico uniforme puede existir tanto en el plano euclidiano como en el plano hiperbólico . Los mosaicos uniformes están relacionados con los poliedros uniformes finitos , que se pueden considerar como mosaicos uniformes de la esfera .

La mayoría de las teselaciones uniformes se pueden obtener mediante la construcción de simetría de Wythoff , a partir de un solo punto de generación dentro de la región fundamental . El grupo de simetría plana tiene una región fundamental poligonal y se puede representar por el orden de los espejos en una secuencia de vértices.

Un dominio fundamental triangular tiene órdenes especulares ( p q r ), y un dominio triangular rectangular tiene órdenes especulares ( p q 2), donde p , q , r son números enteros mayores que uno. Un triángulo puede ser un triángulo esférico , un triángulo euclidiano o un triángulo en el plano hiperbólico, que depende de los valores de p , q y r .

Hay varios esquemas simbólicos para nombrar las figuras resultantes, comenzando con el símbolo de Schläfli modificado para el área fundamental en forma de triángulo rectángulo ( p q 2) → { p , q }. El diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico con aristas p , q , r etiquetadas . Si r = 2, el gráfico es lineal, ya que los nodos de orden 2 no forman reflejos. El carácter de Wythoff usa 3 enteros con una barra vertical de separación (|) entre ellos. Si el punto generador no está en un espejo, el símbolo del vértice opuesto al espejo se coloca antes de la barra vertical.

Finalmente, los mosaicos se pueden describir en términos de su configuración de vértice , es decir, secuencias de polígonos alrededor de cada vértice.

Todos los mosaicos uniformes se pueden construir usando varias operaciones aplicadas a los mosaicos regulares . Los nombres de estas operaciones fueron dados por el matemático estadounidense Norman Johnson , estos son truncamiento ( truncamiento , corte de vértices), rectificación ( truncamiento completo , corte de vértices hasta que los bordes originales desaparezcan por completo) y cantelación ( biselado , corte de bordes). El omnitruncamiento ( truncation ) es una operación que combina el truncamiento y el biselado. El desaire (cortar las narices) es una operación de truncamiento alternado de formas totalmente truncadas. (Consulte Operadores de construcción de Wythoff para obtener una explicación detallada de las operaciones).

Grupos de Coxeter

Los grupos de Coxeter en el plano definen la construcción de Wythoff y pueden representarse mediante diagramas de Coxeter-Dynkin :

Para grupos con orden de números enteros:

Simetría Orbifold	grupo coxeter			Gráfico de Coxeter	notas
Compacto
*333	(3 3 3)		[3 [3] ]		3 formas de espejo, 1 snub
*442	(4 4 2)		[4,4]		5 formas de espejo, 1 chato
*632	(6 3 2)		[6,3]		7 formas de espejo, 1 chato
*2222	(∞2∞2)	×	[∞,2,∞]		3 formas de espejo, 1 snub
No compacto ( bordillo )
*∞∞	(∞)		[∞]
*22∞	(2 2∞)	×	[∞,2]		2 formas de espejo, 1 snub

Simetría Orbifold	grupo coxeter		Gráfico de Coxeter	notas
Compacto
*pq2	(pq 2)	[pq]		2(p+q) < pq
*pqr	(pqr)	[(pqr)]		pq+pr+qr < pqr
paracompacto
*∞p2	(pag ∞ 2)	[p,∞]		p>=3
*∞pq	(pq∞)	[(p, q, ∞)]		p,q>=3, p+q>6
*∞∞p	(p∞∞)	[(p,∞,∞)]		p>=3
*∞∞∞	(∞∞∞)	[(∞,∞,∞)]

Teselaciones uniformes en el plano euclidiano

Existen grupos de simetría en el plano euclidiano, que se obtienen a partir de los triángulos fundamentales (4 4 2), (6 3 2) y (3 3 3). Cada uno de ellos está representado por un conjunto de líneas rectas (espejos) que dividen el plano en triángulos fundamentales.

Estos grupos de simetría crean 3 mosaicos regulares y 7 mosaicos semirregulares. El número de mosaicos semirregulares se repite para diferentes construcciones de simetría.

El grupo de simetría prismática, representado por el símbolo (2 2 2 2), está dado por dos conjuntos de espejos paralelos, que, en general, pueden tener una región fundamental rectangular. El grupo no forma nuevas teselaciones.

Además, el grupo de simetría prismática representado por el símbolo (∞ 2 2) tiene un dominio fundamental infinito. El grupo da dos mosaicos uniformes, un prisma de ángulo infinito y un antiprisma de ángulo infinito .

Combinando las caras de los extremos de estos dos mosaicos prismáticos, obtenemos un mosaico homogéneo sin Withoff en el plano. Se llama parquet triangular isokurnosny y consta de capas sucesivas de cuadrados y triángulos.

Triángulo fundamental rectángulo ( p q 2)

( pag q 2)	Fondo. triangulos	Padre	Truncado	Completamente truncado	Bicut	Completamente bicut (doble)	biselado	Truncado	nariz chata
símbolo de Wythoff		q | p2_ _	2 q | pags	2 | pag q	2p | _ q	pag | q2_ _	pag q | 2	pag q 2 |	| pag 2 _
Símbolo Schläfli		t { pags , q }	t { pags , q }	r{pq}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	Sr{p,q}
Gráfico de Coxeter
figura de vértice		pag q	q.2p.2p	(pq) 2	p.2q.2q	qp_ _	p.4.q.4	4.2p.2q	3.3.p.3.q
Mosaico Cuadrado (4 4 2)		{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
Mosaico hexagonal (6 3 2)		{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Triángulos fundamentales generales (pqr)

Símbolo de Wythoff (pqr)	Fondo. triangulos	q | relaciones públicas	pedido | pags	r | pq	rp | q	pag | qr	pq | r	pqr |	| pqr
Gráfico de Coxeter
Configuración de vértice		(pq) r	r.2p.q.2p	(pr) q	q.2r.p.2r	(qr) pag	q.2r.p.2r	r.2q.p.2q	3.r.3.q.3.p
triangulares (3 3 3)		(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Dominios fundamentales no simplistas

El único dominio fundamental posible en el espacio euclidiano que no es un símplex es el rectángulo (∞ 2 ∞ 2) con el diagrama de Coxeter . De esta zona sólo se producen parquets cuadrados .

Teselaciones homogéneas en el plano hiperbólico

Hay infinitas teselaciones uniformes de polígonos regulares convexos en el plano hiperbólico , cada uno basado en un grupo de simetría especular diferente (pqr).

Los ejemplos que se muestran aquí se dan en la proyección del disco de Poincaré .

Los diagramas de Coxeter-Dynkin se dan en forma lineal, aunque en realidad son triángulos en los que el segmento final r está conectado al primer nodo.

Además, en el plano hiperbólico hay regiones fundamentales cuadrangulares a partir de (2 2 2 3) que pueden formar nuevas formas. También hay regiones fundamentales con vértices en el infinito, como (∞ 2 3).

Triángulos fundamentales de ángulo recto ( p q 2)

(pq 2)	Fondo. triangulos	Padre	truncado	Completamente truncado	Bicut	Completamente bicut (doble)	biselado	Truncado	nariz chata
símbolo de Wythoff		q | p2	2 q | pags	2 | pq	2p | q	pag | q2	pq | 2	pq 2 |	| pq 2
Símbolo Schläfli		t{pq}	t{pq}	r{pq}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	Sr{p,q}
Diagrama de Coxeter-Dynkin
figura de vértice		pag q	(q.2p.2p)	(pqpq)	(pág. 2q.2q)	qp_ _	(pág. 4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.p. 3.q)
(plano hiperbólico) (5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(Plano hiperbólico) (5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(Plano hiperbólico) (7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(Plano hiperbólico) (8 3 2)	V4.6.16	{8,3} ]	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

Triángulos fundamentales (pqr) de forma general

Símbolo de Wythoff (pqr)	Fundam. triangulos	q | relaciones públicas	pedido | pags	r | pq	rp | q	pag | qr	pq | r	pqr |	| pqr
Diagrama de Coxeter-Dynkin
figura de vértice		(pr) q	(r.2p.q.2p)	(pq) r	(q.2r.p. 2r)	(qr) pag	(r.2q.p. 2q)	(2p.2q.2r)	(3.r.3.q.3.p)
Hiperbólico (4 3 3)	V6.6.8	(3.4) 3	3.8.3.8	(3.4) 3	3.6.4.6	(3.3) 4	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
Hiperbólico (4 4 3)	V6.8.8	(3.4) 4	3.8.4.8	(4.4) 3	3.6.4.6	(3.4) 4	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
Hiperbólico (4 4 4)	V8.8.8	(4.4) 4	4.8.4.8	(4.4) 4	4.8.4.8	(4.4) 4	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

Lista extendida de mosaicos uniformes

Hay varias formas de ampliar la lista de mosaicos homogéneos:

1. Las formas de vértice pueden tener caras degeneradas y envolver un vértice más de una vez.
2. Puede habilitar mosaicos con polígonos de estrella .
3. Los apeirogons , {∞}, se pueden usar como caras de mosaico .
4. La restricción de que las caras de un mosaico se tocan de borde a borde se puede eliminar, lo que da como resultado mosaicos adicionales como el mosaico pitagórico .

Los triángulos de grupo de simetría con caras degeneradas incluyen:

Los triángulos de grupo de simetría con infinitos incluyen:

Branko Grünbaum en el libro de 1987 Tilings and patterns (Mosaics and patterns) en la sección 12.3 enumera 25 mosaicos uniformes, incluidos 11 convexos y 14 más, a los que llama mosaicos huecos . Entre estas últimas se incluyen las dos primeras teselaciones extendidas mencionadas anteriormente, teselaciones con caras poligonales estrelladas y figuras de vértice.

Harold Coxeter y otros en el artículo de 1954 'Uniform polyhedra' en la Tabla 8 Uniform tilings enumera las primeras tres extensiones y enumera 38 uniform tiles.

Finalmente, si contamos mosaicos con 2 infinitos, podemos contar un total de 39 mosaicos uniformes.

7 nuevos mosaicos con caras {∞} con formas de vértice y símbolos de Wythoff :

1. ∞.∞ (dos semiplanos, diedro infinito )
2. 4.4.∞ — ∞ 2 | 2 ( prisma de ángulo infinito )
3. 3.3.3.∞ - | 2 2 ∞ ( antiprisma de ángulo infinito )
4. 4.∞.4/3.∞ - 4/3 4 | ∞ (parqué cuadrado alterno)
5. 3.∞.3.∞.3.∞ - 3/2 | 3 ∞ (parqué triangular alternativo)
6. 6.∞.6/5.∞ - 6/5 6 | ∞ (mosaico trihexagonal alternado, solo con hexágonos)
7. ∞.3.∞.3/2 - 3/2 3 | ∞ (mosaico trihexagonal alternado, solo con triángulos)

La lista restante incluye 21 mosaicos con 7 {∞} caras (infinite-gons). Si los mosaicos se dibujan como gráficos, solo quedan 14 mosaicos únicos, y el primero es idéntico al mosaico 3.4.6.4 .

21 mosaicos agrupados por gráficos comunes con indicación de la figura del vértice y el símbolo de Wythoff:

Mosaicos autoduales

Los mosaicos pueden ser autodual . Un parquet cuadrado con el símbolo Schläfli {4,4} es autodual. La figura muestra dos parquets cuadrados (rojo y negro) duales entre sí.

Véase también

• Símbolo de Wythoff
• Lista de mosaicos uniformes
• Teselaciones uniformes en el plano hiperbólico
• poliedro uniforme

Notas

Literatura

• Politopos uniformes de Norman Johnson , manuscrito (1991)
  • NW Johnson : La teoría de los politopos y panales uniformes , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
• Grünbaum, Branko , G. C. Shephard. Mosaicos y Patrones  (indefinido) . — WH Freeman and Company, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 . (Teselado de estrellas sección 12.3)
• HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins, JCP Miller, Poliedros uniformes , Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR : [1] (Tabla 8)

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Teselación uniforme  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
• Teselaciones uniformes en el plano de Euclides Archivado el 4 de junio de 2016 en Wayback Machine .
• Tessellations of the Plane Archivado el 24 de febrero de 2020 en Wayback Machine .
• David Bailey's World of Tessellations Archivado el 2 de abril de 2016 en Wayback Machine .
• mosaicos k-uniformes
• mosaicos n-uniformes Archivado el 21 de mayo de 2016 en Wayback Machine .
• Richard Klitzing, 4D, mosaicos euclidianos Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .

Panales regulares y uniformes convexos fundamentales en espacios de dimensiones 2–10

Familia / / Mosaico homogéneo {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal Panales convexos homogéneos {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 panal de cinco dimensiones uniforme {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Panal de 24 celdas panal de seis dimensiones uniforme {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 panal uniforme de siete dimensiones {3 [7] } 7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ panal de ocho dimensiones uniforme {3 [8] } 8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 panal uniforme de nueve dimensiones {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Panales n -dimensionales uniformes {3 [n] } n _ hδn_ _ qδn_ _ 1 k2 • 2 k1 • k 21