Ito cálculo estocástico

El cálculo de Itô es una teoría matemática que generaliza los métodos de análisis matemático para su aplicación a procesos aleatorios como el movimiento browniano (véase también el proceso de Wiener ). Nombrado en honor al creador, el matemático japonés Kiyoshi Ito . A menudo se utiliza en matemáticas financieras y en la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas . El concepto central de esta teoría es la integral de Itô :

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

donde es un proceso localmente integrable al cuadrado ${\ Displaystyle H_ {s}}$ y adaptadobajo la filtración generada por el proceso que, a su vez, es un movimiento browniano o, en una formulación más general, una semimartingala ${\ Displaystyle X_ {s}}$ [1] . Se puede demostrar que los métodos estándar de cálculo integral no son aplicables a las trayectorias del movimiento browniano. En particular, el movimiento browniano no es una función diferenciable en ningún punto de la trayectoria y tiene una variación infinita en cualquier intervalo de tiempo. Por lo tanto, la integral de Itô no se puede definir en el sentido de la integral de Riemann-Stieltjes . Sin embargo, la integral de Itô se puede definir correctamente si el integrando esun proceso adaptado, es decir, su valor en un momentodepende solo de la información disponible hasta ese momento. ${\ Displaystyle H_ {s}}$ $t$

El comportamiento del valor de las acciones y otros activos financieros se puede modelar mediante procesos estocásticos como el movimiento browniano o el movimiento browniano geométrico más utilizado (véase también el modelo de Black-Scholes ). En este caso, la integral estocástica de Ito representa la ganancia de una estrategia de mercado continua en el tiempo en la que el participante del mercado tiene valores en ese momento. En tal situación, la condición de adaptabilidad del proceso corresponde a la necesaria limitación del modelo, que consiste en que la estrategia de mercado en un momento dado puede basarse únicamente en la información disponible en ese momento. Esta condición impide obtener beneficios ilimitados mediante operaciones muy frecuentes, comprando acciones antes de cada subida de valor y vendiéndolas antes de cada bajada. Además, la condición de adaptabilidad del integrando asegura la corrección de la definición de la integral estocástica como el límite de las sumas de Riemann [1] . $t$ $H_t$ $H$

Ejemplos de resultados importantes de la teoría de Itô son la fórmula de integración por partes y la fórmula de Itô (el cambio de fórmula variable en una integral). Estas fórmulas difieren de las fórmulas clásicas de análisis por la presencia de términos correspondientes a la variación cuadrática.

Notación

La integral del proceso definida anteriormente con respecto al proceso , igual a $Y$ $H$ $X$

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H\,dX\equiv \int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

es también un proceso estocástico dependiente del tiempo, a veces escrito como [2] . $t$ $H\cdot X$

Una forma alternativa de escribir una integral es la forma diferencial y su equivalente . $Y$ $dY=HdX$ $Y-Y_{0}=H\cdot X$

Dado que el cálculo de Itô estudia procesos estocásticos continuos, se supone que se define un espacio de probabilidad filtrado:

(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )

El σ-álgebra simboliza la información disponible hasta el momento . Un proceso se adapta si es medible en una σ-álgebra dada. El movimiento browniano en este caso se entiende como -Browniano, es decir, movimiento browniano estándar, que es medible en y para el cual no depende de ningún [3] . ${\mathcal {F}}_{t}$ $t$ $X$ $X_{t}$ $B$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\displaystyle B_{t+s}-B_{t))$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ estilo de visualización s, t \ geqslant 0}$

Integración con respecto al movimiento browniano

Por analogía con la integral de Riemann-Stieltjes, la integral de Itô se puede definir como el límite de probabilidad de las sumas de Riemann. Tal límite no existe para ninguna trayectoria.

Sea un proceso de Wiener y sea un proceso aleatorio continuo por la izquierda, adaptado y acotado localmente. Si es una secuencia de particiones del intervalo , que se espesa como , entonces la integral de Itô relativa al tiempo es una variable aleatoria igual a $B$ $H$ ${\displaystyle \left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} ))$ ${\ estilo de visualización [0, t]}$ $norte$ $H$ $B$ $t$

\int \limits _{{0}}^{{t}}H\,dB=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sum _{{t_{{i-1}},t_{i }\in \pi _{n}}}}H_{{t_{{i-1}}}}(B_{{t_{i}}}-B_{{t_{{i-1}}}}) ,

donde el límite se toma en términos de probabilidad. Se puede demostrar que este límite existe, es decir, la definición es correcta.

En algunas aplicaciones (por ejemplo, en el teorema de representación de martingalay determinar la hora local) es necesario calcular integrales a partir de procesos discontinuos. Muchos procesos predecibleses la familia más pequeña de procesos que se cierran bajo la operación de tomar el límite de una secuencia y contiene todos los procesos adaptados que se dejan continuos. Si es un proceso predecible tal que para cualquier no negativo $H$ $t$

\int \limits _{0}^{t}H^{2}\,ds<\infty,

entonces es posible definir la integral de con respecto a y en este caso se llama -integrable. Cualquier proceso de este tipo se puede aproximar mediante una secuencia de procesos adaptados, continuos a la izquierda y limitados localmente en el sentido de que $H$ $B$ $H$ $B$ $H_n$

\int \limits _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\rightarrow 0

por probabilidad. Entonces la integral de Itô es igual a

\int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{0}^{t}H_{n}\,dB

donde el límite se toma en términos de probabilidad. Se puede demostrar que este límite existe, es decir, la definición es correcta.

La integral estocástica así definida satisface la isometría de Itô, es decir, la igualdad

\mathbb {E} \left[\left(\int_{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]

para cualquier proceso acotado o, más generalmente, cuando la integral del lado derecho de la igualdad es finita. $H$

Ito proceso

El proceso de Itô es un proceso estocástico adaptado que se puede representar como la suma de una integral con respecto al movimiento browniano y una integral con respecto al tiempo:

X_{t}=X_{0}+\int \limits_{0}^{t}\sigma_{s}\,dB_{s}+\int \limits_{0}^{t}\mu _ {s}\,ds.

Aquí hay un movimiento browniano, es un proceso predecible e integrable, y es un proceso predecible e integrable de Lebesgue , es decir , $B$ $\sigma$ $B$ $\mu$

\int \limits _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty

para cualquier Se puede definir la integral estocástica del proceso de Itô: $t$

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\ int \limites _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.

Esta expresión se define para cualquier integrando predecible y acotado localmente. En una formulación más general, se requiere que sea -integrable, y -Lebesgue integrable, es decir, ${\ estilo de visualización H \ sigma}$ $B$ ${\ Displaystyle H \ mu}$

\int _{0}^{t}(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |)ds<\infty .

Los procesos predecibles que satisfacen esta condición se denominan integrables, el conjunto de todos estos procesos se denota por . $H$ $X$ $L(X)$

Un resultado importante relacionado con el estudio de los procesos de Itô es el lema de Itô. La versión más simple de su formulación es la siguiente: para cualquier función y proceso Itô , el proceso es también un proceso Itô, y la igualdad $f\in C^{2}(\mathbb {R} )$ $X$ $f(X)$

df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_ {t})\sigma _{t}^{2}\,dt.

Esta expresión es un análogo estocástico de la fórmula para cambiar una variable en una integral y la regla para diferenciar una función compleja . Se diferencia de las fórmulas clásicas por la presencia de un término adicional, que incluye la segunda derivada de la función y surge debido a que la variación cuadrática del movimiento browniano no es igual a cero. $F$

Semimartingalas como integradores

La integral de Itô se define con respecto a la semimartingala , o sea, el proceso representado como , donde es la martingala local $X$ ${\ estilo de visualización X = M + A}$ $METRO$ , es un proceso con variación finita. Dichos procesos son, por ejemplo, el proceso de Wiener (que es una martingala), así como procesos con incrementos independientes . $A$

Para un proceso adaptado, limitado localmente y continuo por la izquierda, existe una integral que se puede calcular como el límite de las sumas de Riemann. Sea una secuencia de particiones del intervalo que engrosan como . Después $H$ $H\cdot X$ ${\displaystyle \left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} ))$ ${\ estilo de visualización [0, t]}$ $norte$

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\lim _{{{n\rightarrow \infty }}\sum _{{t_{{i-1}},t_{i}\in \ pi _{n}}}H_{{t_{{i-1}}}}(X_{{t_{i}}}-X_{{t_{{i-1}}}}),

donde el límite se toma en términos de probabilidad.

La definición de la integral estocástica para procesos continuos por la izquierda es lo suficientemente general como para ser utilizada en la mayoría de los problemas de cálculo estocástico, por ejemplo, en aplicaciones del lema de Itô, al cambiar la medida según el teorema de Girsanovy en el estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas . Sin embargo, tal definición resulta inapropiada para otros temas importantes como el teorema de representación de martingala y el estudio de los tiempos locales.

El concepto de integral se puede generalizar de manera única a todos los integrandos predecibles y acotados localmente, de modo que se satisfagan las condiciones del teorema de la convergencia dominada . Si y para algún proceso acotado localmente , entonces $H_{n}\a H$ $|H_{n}|\leqslantJ$ $j$

\int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX

por probabilidad. La unicidad de la generalización es una consecuencia del teorema de la clase monótona.

En general, la integral estocástica se puede definir incluso si el proceso que se predice no está acotado localmente. Los procesos y son limitados. La asociatividad de la integración estocástica implica -integrabilidad si y solo si y . $H\cdot X$ $H$ ${\ estilo de visualización K = 1/(1+|H|)}$ ${\ estilo de visualización KH}$ $X$ $H$ $H\cdot X=Y$ ${\ estilo de visualización Y_ {0} = 0}$ $K\cdot Y=(KH)\cdot X$

Propiedades

La integral estocástica tiene las siguientes propiedades [3] [2] .

La integral estocástica es un proceso aleatorio, que es un elemento del espacio de Skorokhod. Además, la integral estocástica es una semimartingala.

Las discontinuidades de la integral estocástica surgen cuando se multiplica el integrador que tiene saltos y el integrando. El salto del proceso, que es un elemento del espacio de Skorokhod, en un momento del tiempo es igual y a menudo denotado por . Después $t$ $X_{t}-X_{t-}$ ${\ estilo de visualización \ Delta X_ {t}}$

\Delta (H\cdot X)=H\Delta X.

De esto, en particular, se sigue que la integral con respecto a un proceso continuo también es continua.

Asociatividad . Sean y sean procesos predecibles y sean -integrables. Entonces es -integrable si y solo si es -integrable y en ese caso $j$ $k$ $k$ $X$ $j$ ${\ estilo de visualización (K \ cdot X)}$ ${\ estilo de visualización JK}$ $X$

J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X

Convergencia mayorizada . Let y let para algún proceso integrable . Entonces , en probabilidad, para cualquier . En conjuntos compactos la convergencia será uniforme . $H_{n}\a H$ $|H_{n}|\leqslantJ$ $X$ $j$ $H_{n}\cdot X\to H\cdot X$ $t$

La integral estocástica conmuta con la operación de covarianza cuadrática. Si y son semimartingalas, entonces cualquier proceso -integrable también será -integrable y . De ello se deduce que el proceso de variación cuadrática de la integral estocástica es igual a la integral del proceso de variación cuadrática: $X$ $Y$ $X$ ${\ estilo de visualización [X, Y]}$ $[H\cdot X,Y]=H\cdot [X,Y]$

[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]

Integración por partes

Al igual que en el análisis clásico, en el cálculo estocástico un resultado importante es la fórmula de integración por partes . La fórmula de la integral de Itô difiere de la fórmula de la integral de Riemann-Stieltjes con un término adicional igual a la covarianza cuadrática. Esto se debe a que en el cálculo de Itô se estudian procesos con variación cuadrática distinta de cero, que son sólo procesos con variación infinita, como por ejemplo el movimiento browniano. Si y son semimartingalas, entonces $X$ $Y$

X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int \limits _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int \limits _ {0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},

donde es el proceso de covarianza cuadrática. ${\ estilo de visualización [X, Y]}$

Lema de Ito

El lema de Itô es un análogo de la fórmula para diferenciar una función compleja o el cambio de fórmula variable en una integral para la integral estocástica de Itô y uno de los resultados más poderosos y más utilizados del cálculo estocástico.

Sea una semimartingala -dimensional y sea una función dos veces uniforme de a . Entonces es también una semimartingala y $X=(X^{1},\ldots,X^{n})$ $norte$ $F$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\matemáticas {R}$ $f(X)$

df(X_{t})=\sum_{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1} {2}}\sum_{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t} .

Esta fórmula difiere de la regla de la cadena clásica por la presencia de covarianza cuadrática . La fórmula se puede generalizar al caso de semimartingalas discontinuas añadiendo un término correspondiente a los saltos y asegurando la continuidad. ${\ estilo de visualización [X^{i},X^{j}]}$

Integrando martingalas

Martingalas locales

Una propiedad importante de la integral de Itô es la preservación de la propiedad de localidad de las martingalas. Si es una martingala local y es un proceso predecible acotado localmente, entonces la integral también es una martingala local. Es posible dar ejemplos cuando no es local para integrandos que no están acotados localmente, sin embargo, esto solo puede suceder si es discontinuo. Si es una martingala local continua, entonces el proceso predecible es integrable si y solo si $METRO$ $H$ $H\cdot M$ $H\cdot M$ $METRO$ $METRO$ $H$ $METRO$

\int \limits _{o}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty

para cualquiera y siempre es una martingala local. $t$ $H\cdot M$

La afirmación más general de una martingala local discontinua se formula de la siguiente manera: si el proceso es localmente integrable, entonces la integral existe y es una martingala local. $METRO$ ${\sqrt {H^{2}\cdot [M]}}$ $H\cdot M$

Martingalas de integración cuadrada

Para integrandos acotados, la integral estocástica de Itô conserva el espacio de martingalas integrables en cuadrado, es decir, martingalas pertenecientes al espacio de Skorokhod y que satisfacen la propiedad $METRO$

\mathbb {E} \left(M_{t}^{2}\right)<\infty

para cualquier Para cualquier martingala de este tipo , el proceso de variación cuadrática es integrable y se satisface la isometría de Itô: $t$ $METRO$ ${\ estilo de visualización [M]}$

\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int_{0}^{t}H^{2 }\,d[M]\derecha].

Esta igualdad también se cumple en un caso más general: para cualquier martingala , de modo que el proceso sea integrable. La isometría de Itô se usa a menudo como un paso importante en la construcción de la integral estocástica. Puede definirse como la única extensión de la isometría Itô de una cierta clase de integrandos simples al caso de todos los procesos acotados y predecibles. $METRO$ ${\displaystyle H^{2}\cdot[M]_{t))$ $H\cdot M$

$pags$ -martingalas integrables

Para cualquier proceso de integrando predecible acotado, la integral estocástica conserva el espacio de -martingalas integrables, es decir, martingalas pertenecientes al espacio de Skorokhod para el cual $pag>1$ $pags$ $METRO$

\mathbb {E} \left(|M_{t}|^{p}\right)<\infty

para cualquier Por el caso, esto no siempre es así: se pueden dar ejemplos de integrales de procesos predecibles acotados con respecto a martingalas que no son martingalas. $t$ $pag=1$

El máximo del proceso del espacio de Skorokhod se denota como . Para cualquier proceso de integrando predecible acotado, la integral estocástica conserva el espacio de martingalas del espacio de Skorokhod tal que $METRO$ $M_{t}^{*}=\sup _{s\leqslant t}|M_{s}|$ $p\geqslant 1$ $METRO$

\mathbb {E} \left(\left(M_{t}^{*}\right)^{p}\right)<\infty

para cualquier De la desigualdad de Doob se sigue que para este espacio coincide con el espacio de -integrables martingalas. $t$ $pag>1$ $pags$

De acuerdo con las desigualdades de Burkholder-Davis-Gandhi, para cualquiera existen constantes positivas y , dependiendo únicamente de , tal que para cualquier martingala , perteneciente localmente al espacio de Skorokhod, $p\geqslant 1$ $C$ $C$ $pags$ $METRO$

c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{ *})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]

Usando estas relaciones, podemos mostrar que si integramos y si es un proceso predecible acotado, entonces ${\displaystyle \left(M_{t}^{*}\right)^{p))$ $H$

\mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2 }\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty

y, como consecuencia, es una martingala integrable. Esta afirmación sigue siendo cierta en el caso más general cuando el proceso es integrable. $H\cdot M$ $pags$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (H ^ {2} \ cdot [M] \ derecha) ^ {p/2}}$

Véase también

Integral de Stratonovich

Notas

↑ 1 2 Revuz, Yor, 1999 , capítulo IV.
↑ 12 Rogers, Williams, 2000 .
↑ 12 Revuz , Yor, 1999 .

Literatura

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Rogers, C. , Williams, D. Difusiones, procesos de Markov y martingalas - Volumen 2: cálculo de Itô (inglés) . -Cambridge: Cambridge University Press , 2000. -ISBN 0-521-77593-0 .
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