Teoría de fredholm

La teoría de Fredholm es una rama de la teoría de las ecuaciones integrales ; en un sentido estricto, estudiando las ecuaciones integrales de Fredholm , en una interpretación amplia, representando un conjunto de métodos y resultados en la teoría espectral de los operadores de Fredholm y utilizando el concepto de núcleos de Fredholm en un espacio de Hilbert .

Nombrado en honor al principal desarrollador, el matemático sueco Erik Ivar Fredholm .

Ecuaciones homogéneas

Gran parte de la teoría de Fredholm se refiere a encontrar soluciones a la ecuación integral :

g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy

Esta ecuación surge naturalmente en muchos problemas de física y matemáticas, como una inversión de una ecuación diferencial . Es decir, la tarea es resolver la ecuación diferencial:

Lg(x)=f(x)

donde la función está dada y es desconocida. Aquí hay un operador diferencial lineal . Por ejemplo, puede tomar para el operador elíptico : $F$ $gramo$ $L$ $L$

L={\frac{d^{2}}{dx^{2}}}

en tal caso, la ecuación que se resuelve se convierte en la ecuación de Poisson . El método general para resolver este tipo de ecuaciones es utilizar las funciones de Green , es decir, sin actuar directamente, para intentar resolver la ecuación:

LK(x,y)=\delta (xy)

donde es la función delta de Dirac . Más lejos: $\delta(x)$

g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy

Esta integral se escribe en la forma de la ecuación integral de Fredholm . La función se conoce como la función de Green , o el núcleo de la integral . $K(x, y)$

En teoría general, y puede pertenecer a cualquier multiplicidad ; línea real o espacio euclidiano -dimensional en los casos más simples. La teoría general también requiere a menudo que las funciones pertenezcan a un espacio de funciones dado : a menudo, el espacio de funciones integrables al cuadrado o el espacio de Sobolev . $X$ $y$ $metro$

El espacio de funciones realmente utilizado se determina a menudo al resolver el problema de valores propios de un operador diferencial; es decir, según las soluciones:

L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)

donde son valores propios y son vectores propios. El conjunto de vectores propios forma un espacio de Banach , y donde existe el producto interior natural , entonces un espacio de Hilbert , en el que se cumple el teorema de Riesz . Ejemplos de tales espacios son los polinomios ortogonales , que se presentan como soluciones a una clase de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden . $\omega_{n}$ $\psi _{n}(x)$

Dado un espacio de Hilbert, el núcleo se puede escribir de la forma:

K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n))}

donde es dual a . De esta forma, el objeto a menudo se denomina operador de Fredholm o núcleo de Fredholm . Que este es el mismo núcleo se sigue de la completitud de la base espacial de Hilbert, a saber: $\psi _{n}^{*}$ $\psi_{n}$ $K(x, y)$

\delta (xy)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)

Dado que suele aumentar, los valores propios resultantes del operador disminuyen hacia cero. $\omega_{n}$ $K(x, y)$

Ecuaciones no homogéneas

Ecuación integral de Fredholm no homogénea:

f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy

puede escribirse formalmente como:

f=(K-\omega )\phi

Entonces la solución formal es:

\phi ={\frac {1}{K-\omega}}f

Una solución de esta forma se conoce como el formalismo del resolvente , donde el resolvente se define como el operador

R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}

Un conjunto dado de vectores propios y valores propios se puede asociar con una resolución de una forma específica: $k$

R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n} - \ omega }}

con solución:

\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy

Una condición necesaria y suficiente para la existencia de tal solución es uno de los teoremas de Fredholm . El solvente generalmente se expande en una serie de potencias , en cuyo caso se conoce como la serie de Liouville-Neumann . Entonces la ecuación integral se escribe como: $\lambda=1/\omega$

g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy

El resolvente se escribe en una forma alternativa:

R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}

Determinante de Fredholm

El determinante de Fredholm generalmente se define como:

\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr}\,K^{n}\ Correcto]

dónde , y así sucesivamente. La función zeta correspondiente es : $\nombre del operador {Tr}\,K=\int K(x,x)\,dx$ $\operatorname {Tr}\,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$

\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK))).

La función zeta puede considerarse como el determinante del resolvente . La función zeta juega un papel importante en el estudio de los sistemas dinámicos ; este es el mismo tipo general de función zeta que la función zeta de Riemann , sin embargo, en el caso de la teoría de Fredholm, se desconoce el núcleo correspondiente. La existencia de este núcleo se conoce como la conjetura de Hilbert-Poya .

Principales resultados

Los resultados clásicos de esta teoría son los teoremas de Fredholm , uno de los cuales es la alternativa de Fredholm .

Uno de los resultados importantes de la teoría general es que el kernel indicado es un operador compacto , donde el espacio de funciones es el espacio de funciones equicontinuas .

Un resultado relacionado destacado es el teorema del índice , que se refiere al índice de operadores elípticos en variedades compactas .

Historia

El artículo de Fredholm de 1903 en Acta mathematica es uno de los hitos más importantes en la creación de la teoría de operadores . David Hilbert desarrolló el concepto de espacio de Hilbert , incluso en relación con el estudio de las ecuaciones integrales de Fredholm.

Enlaces

E. E. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica , 27 (1903) pp. 365-390.
DE Edmunds y WD Evans (1987), Teoría espectral y operadores diferenciales, Oxford University Press . ISBN 0-19-853542-2 .
BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001), "Fredholm kernel", en Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Bruce K. Driver, " Operadores compactos y de Fredholm y el teorema espectral ", Herramientas de análisis con aplicaciones , Capítulo 35, págs. 579-600.
Robert C. McOwen, " Teoría de Fredholm de ecuaciones diferenciales parciales en variedades riemannianas completas ", Pacific J. Math. 87 , núm. 1 (1980), 169-185.

Literatura

Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.