Fórmula de tangente de medio ángulo

La fórmula de la tangente de un medio ángulo es una fórmula trigonométrica que relaciona la tangente de un medio ángulo con las funciones trigonométricas de un ángulo completo:

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta } {\sin \theta }}=(-1)^{k}{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta )),

donde y se determina a partir de la condición . $k\en \mathbb {Z}$ ${\ estilo de visualización k \ pi \ leq \ theta \ leq (k + 1) \ pi}$

Las siguientes relaciones también están relacionadas con esta fórmula:

{\begin{alineado}\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2))\ &={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta )),\\[10pt]\nombre del operador {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\ sec \theta +\operatorname {tg} \theta ={\frac {1+\operatorname {tg} (\theta /2)}{1-\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1 )^{k}{\sqrt {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}},\\[10pt]\mathrm {ctg} \left({\frac {\theta } {2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta -\operatorname {tg} \theta ={\frac {1-\operatorname {tg} (\theta /2 )}{1+\nombre del operador {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }} }.\end{alineado}}

En las dos últimas expresiones , y se determina a partir de la condición . $k\en \mathbb {Z}$ $\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi \leq \theta \leq \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\pi$

cuando tenemos: $\theta \in \left(-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2))\right)$ $\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {tg} \theta }{1+{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2} \ theta }}}}.$

Prueba geométrica

Sustitución trigonométrica universal

En varias aplicaciones, es útil escribir funciones trigonométricas (como seno y coseno ) en términos de funciones racionales de una nueva variable t , igual a la tangente de un medio ángulo. Estas identidades son útiles para calcular antiderivadas .

La existencia de la fórmula para la tangente de un medio ángulo se basa en el hecho de que un círculo es una curva algebraica de orden 2. Por lo tanto, uno esperaría que las 'funciones circulares' puedan reducirse a funciones racionales.

Las construcciones geométricas se ven así: en un círculo trigonométrico para cualquier punto con coordenadas (cos φ, sin φ), dibujamos una línea recta que pasa por el círculo y el punto con coordenadas (−1,0). Esta línea corta el eje y (y-axis ) en algún punto con la coordenada y = t . Se puede demostrar mediante construcciones geométricas simples que t = tg(φ/2). La ecuación de la línea dibujada es y = (1 + x ) t . La ecuación para determinar los puntos de intersección de la línea especificada y el círculo es una ecuación cuadrática en t . Las dos soluciones a esta ecuación son (−1, 0) y (cos φ, sin φ). Esto nos permite escribir (cos φ, sin φ) como funciones racionales de t (las soluciones se dan a continuación).

Tenga en cuenta también que el parámetro t es la proyección estereográfica del punto (cos φ, sin φ) sobre el eje y con el centro de proyección ubicado en el punto (−1,0). Por lo tanto, la fórmula para la tangente de un medio ángulo nos da la transición de la coordenada estereográfica t al círculo trigonométrico y la coordenada angular estándar φ.

Tenemos

$\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$		$\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$
$\operatorname {tg} \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},$		$\operatorname {ctg} \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t)),$
$\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t)),$

e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it)),

e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it)).

A partir de estas fórmulas, el arco tangente se puede expresar en términos del logaritmo natural

\operatorname {arctg} (t)={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.

Al encontrar antiderivadas de funciones que contienen sen( φ ) y cos( φ ), la sustitución de Weierstrass se ve así. Tomando

t=\operatorname {tg} {\tfrac {1}{2}}\varphi .

obtenemos

{\ estilo de visualización \ varphi = 2 \ nombre del operador {arctg} (t),}

y por lo tanto

d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.

Identidades hiperbólicas

Se pueden obtener derivaciones completamente similares para funciones hiperbólicas . Un punto en una hipérbola (en su rama derecha) está determinado por las coordenadas (ch θ , sh θ ). Proyectándolo sobre el eje y desde el centro (−1, 0), obtenemos lo siguiente:

t=\operatorname {th} {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\operatorname {sh} \theta }{\operatorname {ch} \theta +1}}={\ frac {\nombre del operador {ch} \theta -1}{\nombre del operador {sh} \theta }}

y luego las identidades de las funciones hiperbólicas son

$\operatorname {ch} \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\operatorname {sh} \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},$
$\operatorname {th} \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$		$\operatorname {cth} \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t)),$
$\mathrm {sech} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$		$\mathrm {csch} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t)),$

e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t)),

e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t)).

Karl Weierstrass introdujo el uso de estas sustituciones para encontrar antiderivadas .

Expresar θ en términos de t conduce a las siguientes relaciones entre el arco tangente hiperbólico y el logaritmo natural:

\operatorname {arth} (t)={\frac {1}{2))\ln {\frac {1+t}{1-t)).

Véase también

Enlaces

Tangente de medio ángulo en Planetmath