Circulo unitario

El círculo unitario es un círculo con radio 1 centrado en el origen [1] . Este concepto es muy utilizado para definir y estudiar funciones trigonométricas .

Propiedades y conceptos relacionados

El interior del círculo unitario se llama círculo unitario .

Para las coordenadas de todos los puntos en el círculo unitario, según el teorema de Pitágoras , se cumple la igualdad . Esta igualdad se puede ver como la ecuación del círculo unitario. $x^2 + y^2 = 1$

Funciones trigonométricas

Con la ayuda del círculo unitario, las funciones trigonométricas se pueden describir claramente (en el contexto de tal descripción, el círculo unitario a veces se denomina " círculo trigonométrico ", lo que no tiene mucho éxito, ya que es el círculo el que se considera, y no el círculo ).

El seno y el coseno se pueden describir de la siguiente manera: si conecta cualquier punto en el círculo unitario con el origen , obtiene un segmento que forma un ángulo con respecto al semieje positivo de la abscisa. Entonces obtenemos [2] : $(x, y)$ $(0, 0)$ $\alfa$

\cos\alfa = x

\sin\alfa = y

Al sustituir estos valores en la ecuación del círculo, obtenemos : $x^2 + y^2 = 1$

\ cos ^ 2 \ alfa + \ sin ^ 2 \ alfa = 1

(Se utiliza la siguiente notación común: .) $\cos^2x = (\cosx)^2$

La periodicidad de las funciones trigonométricas también se describe claramente, ya que la posición del segmento correspondiente al ángulo no depende del número de "revoluciones completas":

\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)

\cos(x + 2\pik) = \cos(x)

para todos los enteros , es decir, para . $k$ $k\in \mathbb Z$

Plano complejo

En el plano complejo , la circunferencia unitaria es el conjunto de números complejos cuyo módulo es 1:

{\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \))

Cualquier número complejo distinto de cero se puede escribir únicamente como donde el número tiene módulo 1 y por lo tanto pertenece al círculo unitario, $z$ ${\ estilo de visualización z = | z | u,}$ $tu$

El conjunto es un subgrupo del grupo de los números complejos por multiplicación. A su vez, contiene grupos finitos de raíces del -ésimo grado de unidad , importantes en álgebra, que forman los vértices de un -ágono regular a lo largo del círculo unitario. $GRAMO$ $GRAMO$ $norte$ $norte$

Medida en radianes

La medida en radianes de un ángulo se puede definir como la longitud del arco que un ángulo dado corta de un círculo unitario (el centro del círculo coincide con el vértice del ángulo) [3] .

Variaciones y generalizaciones

El concepto de círculo unitario se generaliza al espacio -dimensional ( ), en cuyo caso se habla de una " esfera unitaria ". $norte$ $n>2$

Notas

↑ Mundo matemático .
↑ Gelfand et al., 2002 , pág. 24-27.
↑ Gelfand et al., 2002 , pág. 7-8.

Literatura

Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometría . - M. : MTSNMO, 2002. - 199 p. — ISBN 5-94057-050-X .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Unit Circle (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

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