Vista fundamental

En la teoría de la representación de grupos de Lie y álgebras de Lie, una representación fundamental  es una representación de dimensión finita irreducible de un grupo de Lie semisimple o álgebra de Lie cuyo peso más alto es el peso fundamental. Por ejemplo, el módulo definitorio de un grupo de Lie clásico es una representación fundamental. Cualquier representación irreducible de dimensión finita de un grupo de Lie semisimple o álgebra de Lie está completamente determinada por su mayor peso ( teorema de Cartan ) y puede construirse a partir de representaciones fundamentales utilizando el procedimiento descrito por Eli Cartan . Así, las representaciones fundamentales son, en cierto sentido, bloques de construcción elementales para representaciones arbitrarias de dimensión finita.

Ejemplos

• En el caso de un grupo lineal general, todas las representaciones fundamentales son potencias externas del módulo definidor.
• En el caso del grupo unitario especial SU ( n ) , las n − 1 representaciones fundamentales son productos exteriores formados por tensores antisimétricos , donde k = 1, 2, ..., n − 1 .
• La representación de espín de la doble cubierta de un grupo ortogonal impar, el grupo espinor impar , y las dos representaciones de espín quiral de la doble cubierta de un grupo ortogonal par, los grupos espinores pares, son representaciones fundamentales que no se pueden realizar en el espacio de tensores.
• La representación adjunta de un grupo de Lie simple de tipo E 8 es una representación fundamental.

Explicación

Las representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto simplemente conectado están indexadas por sus pesos más altos . Estos pesos son puntos de red en la ortante Q + en la red de peso del grupo de Lie que consta de pesos integrales dominantes. Se puede demostrar que existe un conjunto de pesos fundamentales indexados por los vértices del diagrama de Dynkin , tal que cualquier peso dominante es una combinación lineal entera no negativa de los pesos fundamentales. Las representaciones irreducibles correspondientes son representaciones fundamentales de los grupos de Lie. A partir de la descomposición del peso dominante en términos de pesos fundamentales, se puede obtener el producto tensorial correspondiente de las representaciones fundamentales y destacar una instancia de la representación irreducible correspondiente a este peso dominante.

Otras aplicaciones

Fuera de la teoría de Lie, el término "representación fundamental" se usa a veces para referirse a la representación exacta, la más pequeña en dimensión, aunque a menudo también se le llama representación estándar o definitoria. Este término tiene más raíces históricas que un significado matemático bien definido.

Literatura

• Fulton, William; Harris, Joe. teoría de la representación. Un primer plato. - Nueva York: Springer-Verlag , 1991. - V. 129. - (Textos de posgrado en Matemáticas, Lecturas en Matemáticas). — ISBN 978-0-387-97495-8 .
• Humphreys, James E. Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación. - Birkhäuser, 1972. - ISBN 978-0-387-90053-7 . .
• Grupos Zhelobenko D. P. Compact Lie y sus representaciones. — M .: Nauka, 1970.